Задачи с параметрами и методы их решения
.pdfности, оно верно при x = π и x = 2π. Поэтому числа a и b удовлетворяют равенствам
–2a + b2 = cos (πa + b2) – 1, |
(2) |
b2 = cos (2πa + b2) – 1. |
(3) |
2.Та а cos (2πa + b2) m 1, то из равенства (3) следует, что b2 m 0. Этому условию удовлетворяет толь о b = 0; то#да cos 2πa =
=1, т. е. a — целое число.
3.При b = 0 равенство (2) примет вид 1 – 2a = cos πa. Но –1 m m cos πa m 1, от уда –1 m 1 – 2a m 1, т. е. 0 m a m 1. В промежут е 0 m a m 1 имеются толь о два целых числа: a = 0 и a = 1.
4.Ита , условию задачи мо#ут удовлетворять толь о следующие пары чисел: а) a = 0, b = 0; б) a = 1, b = 0.
5.Если a = 0, b = 0, то равенство (1), очевидно, выполняется при всех x.
6.Если a = 1, b = 0, то равенство (1) та же выполняется при всех x.
7.Следовательно, обе пары чисел a = 0, b = 0 и a = 1, b = 0 удовлетворяют условию задачи.
8.Ответ: (0; 0); (1; 0).
30. При а их значениях параметра a уравнение
(x2 + 9) cos ax = 2(x2 – 3x + 9) |
(1) |
имеет решения? Найти эти решения.
1. Уравнение (1) равносильно уравнению
cos ax = |
2(x2 |
– 3x + 9) |
, |
(2) |
||
-------------x---2---- |
+------9------------ |
|||||
|
|
|
правая часть оторо#о положительна при всех x и в силу неравенства |cos ax| m 1 не превосходит единицы.
2. Решив неравенство
2(x2 – 3x + 9)
-------------------------------------- m 1, x2 + 9
за лючаем, что равенство (2) возможно лишь при x cos 3a = 1.
3. Отсюда следует, что 3a = 2πk, k Ý Z, т. е. a =
2π k
4. Ответ: если a = ---------- , k Ý Z, то x = 3.
3
= 3, т. е. о#да
2π k
---------- , k Ý Z.
3
221
31. В зависимости от значений параметра a решить уравнение
x2 + 4x cos ax + 4 = 0. |
(1) |
1. Перепишем уравнение (1) следующим образом:
(x + 2 cos ax)2 + 4(1 – cos2 ax) = 0. |
(2) |
2. Оба сла#аемых в левой части уравнения (2) неотрицательны. Следовательно, это уравнение равносильно системе
x + 2 cos ax = 0, 1 – cos2 ax = 0,
или, что то же самое, сово упности двух систем:
x + 2 cos ax = 0, cos ax = 1;
x + 2 cos ax = 0, cos ax = –1.
3. Решив систему (3), находим x = –2, a = πn, n Ý Z.
4. |
|
π |
+ πk, k Ý Z. |
Решив систему (4), получим x = 2, a = -- |
|||
|
|
2 |
|
5. |
π |
+ πk, k Ý Z, то x = 2; |
|
Ответ: если a = -- |
|
||
|
2 |
|
|
если a = πn, n Ý Z, то x = –2;
при дру#их a уравнение не имеет решений.
(3)
(4)
32. В зависимости от значений параметра a определить число орней уравнения
sin4 x – cos4 x = a(tg4 x – ctg4 x), |
(1) |
|||||
принадлежащих интервалу |
|
0; |
π |
. |
|
|
|
-- |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
1. Перепишем уравнение (1) в виде |
|
|
||||
|
|
|
|
sin8 x – cos8 x |
, |
|
sin4 x – cos4 x = a-------------------------------------- |
|
|||||
|
|
|
|
sin4 x cos4 x |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
(sin4 x – cos4 x)[sin4 x cos4 x – a(sin4 x + cos4 x)] = 0. |
(2) |
222
2. Уравнение (2) равносильно сово упности двух уравнений:
sin4 x – cos4 x = 0, |
(3) |
sin4 x cos4 x – a(sin4 x + cos4 x) = 0. |
(4) |
3. Уравнение (3) при любом значении параметра a имеет на ин-
тервале |
|
0; |
π |
|
π |
|
-- |
|
орень x = -- . |
||
|
|
2 |
4 |
4. Уравнение (4) в результате преобразований приводится виду
sin4 2x + 8a sin2 2x – 16a = 0. |
(5) |
Пола#ая y = sin2 2x, получим уравнение
y2 + 8ay – 16a = 0, |
(6) |
оторое имеет действительные орни, если е#о дис риминант D = = 64(a2 + a) l 0, т. е. если a l 0 или если a m –1.
При та их значениях a орнями уравнения (6) являются
y1 = 4(a(a + 1) – a), y2 = –4(a(a + 1) + a).
5.Пусть a > 0. То#да y2 < 0 и толь о орень y1 уравнения (6) может дать решения уравнения (5).
6.Учитывая, что речь идет об интервале 0; π , приходим не-
--2
равенству
|
|
|
|
|
0 < 4( a(a + 1) – a) < 1, |
||
|
|
|
1 |
. При та их значениях a уравнение (5) имеет на |
|||
от уда 0 < a < -- |
|||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
интервале |
|
0; |
π |
|
два орня. |
|
|
|
-- |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
||
7. При a = |
1 |
|
получим y |
|
= 1, поэтому уравнение (5) имеет на |
||
-- |
|
1 |
|||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
интервале |
|
0; |
π |
|
|
|
π |
|
-- |
|
толь о один орень x = -- . |
||||
|
|
2 |
|
|
4 |
||
8. При a > |
1 |
уравнение (5) решений не имеет. |
|||||
-- |
|||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9. При a = 0 на интервале |
|
0; |
π |
|
уравнение (5) та же не имеет |
|
-- |
|
|||
|
|
2 |
|
решений.
223
10. Если a m –1, то нетрудно убедиться, что орни y1 и y2 не удовлетворяют условиям 0 < y1 < 1, 0 < y2 < 1, и, следовательно, уравнение (5) снова не имеет решений.
11. |
Ответ: если a Ý (–×; 0] |
Ÿ |
|
1 |
; +× |
|
, то один орень; |
|
|||||||
|
-- |
||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
если a Ý 0; 1--8 , то три орня.
33. При а их значениях параметра a уравнения |
|
2 sin7 x – (1 – a) sin3 x + (2a3 – 2a – 1) sin x = 0 |
(1) |
и |
|
2 sin6 x + cos 2x = 1 + a – 2a3 + a cos2 x |
(2) |
равносильны?
1.Заметим, что x = π — орень уравнения (1) при любом a. То#- да со#ласно условию это значение должно быть и орнем уравнения (2).
2.Подставляя x = π в уравнение (2), получаем равенство a3 = a. Отсюда следует, что ис омые значения параметра a мо#ут принадлежать толь о множеству {0; –1; 1}.
3.Пусть a = 0. То#да уравнения (1) и (2) перепишутся соответственно в виде
sin x(sin2 x – 1)(2 sin4 x + 2 sin2 x + 1) = 0,
и
sin2 x (sin2 x – 1)(sin2 x + 1) = 0.
Та а
2 sin4 x + 2 sin2 x + 1 − 0 и sin x + 1 − 0,
то при a = 0 уравнения (1) и (2) равносильны. 4. Пусть a = –1. То#да получим уравнения
sin x (2 sin6 x – 2 sin2 x – 1) = 0 и sin2 x (2 sin4 x – 3) = 0,оторые, а и в предыдущем случае, равносильны, пос оль у
2 sin6 x – 2 sin2 x – 1 = 2 sin2 x (sin4 x – 1) – 1 < 0, 2 sin4 x – 3 < 0.
224
Та им образом, и при a = –1 уравнения (1) и (2) равносильны. 5. Пусть a = 1. То#да уравнения (1) и (2) примут соответственно
вид
sin x (2 sin6 x – 1) = 0, sin2 x (2 sin4 x – 1) = 0.
1
Следовательно, с одной стороны, sin x = 6 -- , а с дру#ой sin x =
2
1
= 4 -- . Поэтому при a = 1 уравнения (1) и (2) не равносильны.
2
6. Ответ: a Ý {0; –1}.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Найти все значения a, при оторых имеет решение данное уравнение:
а) cos2 x + 6 sin x = 4a2 – 2; б) 5 sin x + 2 cos x = a;
в) a cos x – 2 sin x = |
2 + 2 – a . |
||
2. Решить относительно x уравнение: |
|||
а) a sin2 x + cos x = 0; |
|
|
|
б) cos x – sin x = a; |
|
|
|
|
|
a |
; |
в) sin (a + x) + sin x = cos -- |
|||
|
|
2 |
|
#) sin (x + a) + cos (x + a) = sin (x – a) + cos (x – a); |
|||
д) sin4 x – 2 cos2 x + a2 = 0; |
|
||
|
a |
|
|
е) cos6 x – sin6 x = -- cos 2x; |
|
||
|
8 |
|
|
sin x – 1 |
sin x – 2 |
|
|
ж) ---------------------- |
+ a = ---------------------- . |
|
|
sin x – 2 |
sin x |
– 3 |
|
3. |
Найти орни уравнения |cos 2x| = |sin2 x – a|, удовлетворяю- |
||||||
щие условию 0 m x m 2π. |
|
|
|
|
|
||
4. |
|
|
|
2 |
– sin2 x |
= a имеет на от- |
|
При а их значениях a уравнение ------------------------- |
|||||||
|
|
|
|
1 |
+ sin x |
|
|
рез е [0; 2π] ровно один орень? |
|
|
|||||
5. |
Решить систему уравнений: |
|
|
||||
а) |
|
sin x + sin y = a, |
б) |
|
cos x – cos y = a, |
|
|
|
|
|
|||||
|
π |
|
2π |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x + y = -- ; |
|
|
x + y = ------ . |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
225
Ответы
1. а) |a| m |
2 ; б) |a| m 29 ; в) a Ý [ 5 |
– 1; 2]. 2. а) Если a − 0, то x = |
|||||
= äarccos 1--------------------------------– |
1 + 4a2- |
+ 2πn; если a = 0, то x = |
--π |
+ πn; б) если a Ý [– 2 ; |
2 ], |
||
|
2a |
|
|
2 |
|
|
|
то x = – --π ä arccos ------a- |
+ 2πn; если a Ô [– |
2 ; |
|
2 ], то x Ý ¾; в) если a = π + |
|||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
+ 2πk, то x Ý R; если a Ô π + 2πk, то x = – |
a |
+ (–1) |
n π |
= πk, |
|||
2-- |
-- + πn; ) если a |
||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
то x Ý R; если a − πk, то x = --π |
+ πk; д) если a Ý (–×; – 2 ) Ÿ ( |
2 ; +×), то |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Ý ¾; если a = ä 2 , то x = πk; если a Ý (– |
2 ; |
2 ), то x = ä1-- |
arccos (3 – |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
– 2 3 – a2 ) + πk; е) если a Ý (–×; 6] Ÿ [8; +×), то x = π------n + |
--π ; если a Ý (6; 8), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
то x1 = |
π n |
+ |
π , x2 = |
|
π n ä 1 |
arccos (a – 7); ж) если a Ý |
|
|
1 ; |
1 |
|
|
, то x = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
n |
arcsin |
|
5 |
– |
1 |
|
|
1 + |
4 |
+ |
πn; если |
a Ô |
|
1 |
; |
1 |
|
, то орней нет. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= (–1) |
|
-- |
-- |
|
|
--a |
|
------ |
-- |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
1-- |
arccos |
1----------------– 2a , π ä |
1-- |
arccos 1 – 2a , 2π –---------------- |
1-- |
arccos 1 – 2a---------------- |
|
|
( де –1 m a m 2); |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
arccos (2a – 1), π |
ä |
1 |
arccos (2a – 1), 2π – |
1 |
arccos (2a – 1) ( де 0 m a m 1). |
|||||||||||||||||||||||||||
-- |
-- |
|
|
-- |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. a = 0,5. 5. а) Если a Ý (–×; – |
2 ) Ÿ ( |
2 ; +×), то решений нет; если a = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= – |
2 , то x = 3----π-- |
+ 2πk, y = – --π |
– 2πk; если a Ý (– |
|
2 ; |
|
|
|
2 ), то x |
1 |
= --π + |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ arccos a--------- |
2- + 2πk, y |
1 |
= --π |
– arccos a---------2- – 2πk, x |
2 |
= --π |
– arccos a----- |
----2- + 2πk, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y2 = |
π |
+ arccos |
a |
2 |
|
|
– 2πk; если a = |
2 , то x = |
π |
|
+ 2πk, y = |
π |
|
– 2πk; |
|||||||||||||||||||
4-- |
-----2----- |
|
|
-- |
|
-- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||
б) если a Ý (–×; – |
3 ) Ÿ ( 3 ; +×), то решений нет; если a = – |
|
3 , то x = |
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
5----π-- |
– 2πk, y = – --π |
|
|
|
+ 2πk; если a Ý (– |
3 ; |
3 ), то x = π +(–1)k + 1 ×-- |
|||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
× arcsin a--------- |
3- |
+ |
π----k-- |
, y = |
--π |
+ (–1)k arcsin a---- |
-3---- |
3- + |
π-- k---- |
; если a = |
|
3 , то x = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= – --π |
– 2πk, y = |
5----π-- |
+ 2πk. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
226
Тема 13
1.Решение три(онометричес их неравенств вида sin x > a, sin x < a
2.Решение три(онометричес их неравенств вида cos x > a, cos x < a
3.Решение три(онометричес их неравенств вида tg x > a, tg x < a
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1.Решение три(онометричес их неравенств вида sin x > a, sin x < a
1°. Неравенства, содержащие переменную толь о под зна-ом три#онометричес ой фун ции, называют три онометриче- с ими.
2°. При решении три#онометричес их неравенств используют свойство монотонности три#онометричес их фун ций, а та же промежут и их зна опостоянства.
3°. Для решения простейших три#онометричес их неравенств вида sin x > a, sin x < a используют единичную о ружность или #ра-
фи фун ции y = sin x. 4°. Важно знать, что:
sin x = 0, если x = πk, k Ý Z;
sin x = –1, если x = –π + 2πk, k Z;
-- Ý
2
π |
+ 2πk, k Ý Z; |
sin x = 1, если x = -- |
|
2 |
|
sin x > 0, если 2πk < x < π + 2πk, k Ý Z |
|
(рис. 72, а); |
|
sin x < 0, если –π + 2πk < x < 2πk, k Ý Z |
|
(рис. 72, б). |
Рис. 72 |
227
2.Решение три(онометричес их неравенств вида cos x > a, cos x < a
1°. Для решения простейших три#онометричес их неравенств вида cos x > a, cos x < a используют единичную о ружность или #рафи фун ции y = cos x.
2°. Важно знать, что:
π |
+ πk, k Ý Z; |
cos x = 0, если x = -- |
|
2 |
|
cos x = –1, если x = π + 2πk, k Ý Z; cos x = 1, если x = 2πk, k Ý Z;
|
|
π |
π |
+ 2πk, k Ý Z (рис. 73, а); |
||
cos x > 0, если 2πk – -- |
< x < -- |
|||||
2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
π |
3π |
|||
cos x < 0, если 2πk + -- |
< x < ------ + 2πk, k Ý Z (рис. 73, б). |
|||||
2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 73
3.Решение три(онометричес их неравенств вида tg x > a, tg x < a
1°. Для решения простейших три#онометричес их неравенств вида tg x > a, tg x < a используют единичную о ружность или #рафи фун ции y = tg x.
2°. Важно знать, что:
|
π |
+ πk, k Ý Z (рис. 74, а); |
tg x > 0, если πk < x < -- |
||
|
2 |
|
π |
< x < πk, k Ý Z (рис. 74, б); |
|
tg x < 0, если πk – -- |
||
2 |
|
|
π |
+ πk, k Ý Z. |
тан#енс не существует, если x = -- |
|
2 |
|
228
Рис. 74
З а м е ч а н и е. Неравенства ctg x > 0 и ctg x < 0 выполняются на тех же интервалах, что и неравенства tg x > 0 и tg x < 0.
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решить неравенство sin x > a, #де 0 < a < 1.
I способ. 1. На единичной о ружности построим ду#и AC и AC1, синус оторых равен a (рис. 75).
2. Из рисун а видно, что данному неравенству удовлетворяют все ду#и, началом о- торых является точ а C, а онцом — любая внутренняя точ а ду#и CBC1, т. е.
Рис. 75
arcsin a < x < π – arcsin a.
3.Чтобы получить все решения данно#о неравенства, достаточно прибавить онцам это#о промежут а 2πk, k Ý Z.
4.Ответ: arcsin a + 2πk < x < π – arcsin a + 2πk, k Ý Z.
IIспособ. 1. Построим #рафи фун ции y = sin x и прямую y =
=a (рис. 76).
Рис. 76
229
2.На рисун е отмечены нес оль о промежут ов значений x,
удовлетворяющих данному неравенству; одним из них является (arcsin a; π – arcsin a).
3.Используя периодичность синуса, запишем ответ.
2.Решить неравенство sin x < a, #де 0 < a < 1.
1.Используя рис. 75, за лючаем, что данному неравенству удовлетворяют все ду#и, началом оторых является точ а C1,
а онцом — любая внутренняя точ а ду#и C1AC, т. е.
–π – arcsin a < x < arcsin a.
2.Чтобы получить все решения данно#о неравенства, прибавим онцам это#о промежут а 2πk, k Ý Z.
3.Ответ: –π – arcsin a + 2πk < x < arcsin a + 2πk, k Ý Z.
4.Тот же результат получится, если рассмотреть #рафи фун - ции y = sin x и прямую y = a (см. рис. 76), а затем отметить те промежут и, на оторых синусоида лежит ниже прямой y = a.
3.Решить неравенство cos x > a, #де –1 < a < 0.
1.На единичной о ружности построим ду#и AC и AC1, осинус
оторых равен a (рис. 77).
2. Из рисун а видно, что данному неравенству удовлетворяют все ду#и, началом о- торых является точ а C1, а онцом — любая
|
внутренняя точ а ду#и C1AC, т. е. |
|
–arccos a < x < arccos a. |
|
3. Учитывая периодичность осинуса, за- |
|
пишем ответ. |
|
4. Ответ: –arccos a + 2πk < x < arccos a + |
Рис. 77 |
+ 2πk, k Ý Z. |
4. Решить неравенство cos x < a, #де –1 < a < 0.
1. Используя рис. 77, за лючаем, что данному неравенству удовлетворяют все ду#и, началом оторых является точ а C, а онцом — любая внутренняя точ а ду#и CA1C1, т. е.
arccos a < x < 2π – arccos a.
2.Учитывая периодичность осинуса, запишем ответ.
3.Ответ: arccos a + 2πk < x < 2π – arccos a + 2πk, k Ý Z.
230