Задачи с параметрами и методы их решения
.pdf1.Уравнение (1) имеет смысл при a − 0; значения x должны удовлетворять условиям cos 2x − 0, tg 2x − 0,5.
2.Разделив числитель и знаменатель дроби в левой части урав-
нения (1) на cos2 2x, а первой дроби в правой части на cos 2x, получим уравнение
2 tg2 2x – 6a tg 2x – 11 |
= |
2(2a + 1) |
– |
1 |
. |
(2) |
||
---------------a---(----2----tg-------2----x-----–------1---)-------------- |
1------- |
–----2----tg-------2----x-- |
a-- |
|||||
|
|
|
|
3. Пусть t = tg 2x. То#да после упрощения уравнения (2) оно примет вид
t2 – (3a – 1)t + 2a2 + a – 6 = 0. |
(3) |
Уравнение (3) имеет два орня t1 = a + 2 и t2 = 2a – 3.
4. Ранее было отмечено, что значения x должны удовлетворять условию tg 2x − 0,5. Поэтому необходимо ис лючить те значения a, при оторых t1 или t2 (или оба числа) равны 0,5. Имеем:
а) t1 = a + 2 = 0,5, от уда a = –1,5; при этом t2 = –6; б) t2 = 2a – 3 = 0,5, от уда a = 1,75; при этом t1 = 3,75.
5. |
1 |
π n |
, n Ý Z; |
Ответ: если a = –1,5, то x = -- |
arctg (–6) + ------ |
||
|
2 |
2 |
|
|
1 |
πk |
|
|
если a = 1,75, то x = -- |
arctg 3,75 + ------ , k Ý Z; |
|
|
2 |
2 |
|
если a − –1,5, a − 1,75, a − 0, то
1 |
πm |
x = -- |
arctg (2a – 3) + -------- , m Ý Z; |
2 |
2 |
1 |
π l |
, l Ý Z. |
x = -- |
arctg (a + 2) + ----- |
|
2 |
2 |
|
18. В зависимости от значений параметра a решить уравнение
--a-----sin--------x-------–----2- |
= |
a-----cos-----------x------–----2- . |
(1) |
a – 2 cos x |
|
a – 2 sin x |
|
1. Перейдем от дробно#о уравнения (1) целому с учетом ОДЗ. При условиях a – 2 cos x − 0 и a – 2 sin x − 0 получим равносильное уравнение
(sin x – cos x)(a2 – 2a(sin x + cos x) + 4) = 0. |
(2) |
2. Уравнение (2) сводится сово упности уравнений:
π |
+ πn, n Ý Z, независимо от a; |
а) sin x – cos x = 0, x = -- |
|
4 |
|
211
б) sin x + cos x = |
a2 + 4 |
, или |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
--------------- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
π |
= |
a2 + 4 |
|
(3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x – -- |
|
--------------- . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 2a |
|
|
|||
3. Рассмотрим модуль правой части уравнения (3): |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
+ 4 |
|
= |
1 |
|
a |
|
2 |
|
2 |
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
--------------- |
|
------- |
|
-- |
+ -- |
|
l ------- |
||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
2a |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
a |
|
2 |
|
|
(та а |
|
|
l 2). Поэтому уравнение (3) не имеет орней. |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
z + -- |
|
||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
+ πn, n Ý Z, — орни уравне- |
||
4. В п. 2 мы установили, что x = -- |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
ния (2) (не зависящие от параметра a). Одна о из множества орней
π |
|
следует отбросить те орни, при оторых a – 2 cos x = 0 |
||||||||
-- |
+ πn |
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
, sin x |
a |
|
|
|
и a – 2 sin x = 0, или cos x = -- |
= -- . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
5. Представим множество |
π |
|
|
|
|
||||
|
-- + πn а объединение двух мно- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
жеств: -- |
+ 2πk |
и |
------ |
+ 2πk , k Ý Z. |
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ 2πk, то cos x = |
2 |
a |
при a = |
2 . |
|||
|
а) Если x = -- |
------- |
и cos x = -- |
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Значит, при a = |
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
2 орни x = -- + 2πk — посторонние. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
2 |
a |
при a = – |
2 . |
|
б) Если x = ------ |
+ 2πk, то cos x = –------- |
и cos x = -- |
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Значит, при a = – |
|
|
|
5π |
|
|
|
|
||
2 орни x = ------ + 2πk — посторонние. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6. К этим же выводам приводит и условие a – 2 sin x = 0, та |
|||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
а при x = -- + 2πn имеем sin x = cos x. |
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Ответ: если a − – |
|
π |
|
|
|
|
|||
|
2 , то x = -- + 2πk; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
+ 2πk; |
|
|
|
|
|
если a − 2 , то x = ------ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
если a − ä 2 , то x = |
π |
πn, n, k Ý Z. |
|
|
||||
|
|
-- + |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
212
19. При а их значениях параметра a уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin2 3x – (a + 0,5) sin 3x + 0,5a = 0 |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||
имеет ровно три орня, принадлежащие отрез у |
|
2π |
|
? |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
------ ; π |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1. Решив уравнение (1) а вадратное относительно sin 3x, |
|||||||||||||
получаем, что оно равносильно сово упности двух уравнений: |
|
||||||||||||
sin 3x = 0,5; |
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||
sin 3x = a. |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
2. Уравнение (2) на отрез е |
|
2π |
|
имеет два орня: x |
|
= |
13π |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
------ ; π |
1 |
---------- |
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
17π
иx2 = ---------- .
18
3.Следовательно, значение параметра a удовлетворяет требованию задачи, если уравнение (3) на данном отрез е имеет одинорень.
4. Фун ция y = sin 3x на отрез е |
|
2π |
|
принимает все зна- |
|
|
|||
|
------ ; π |
|||
|
|
3 |
|
|
чения от 0 до 1, причем аждое из этих значений, за ис лючением 1, — дважды. Поэтому требование задачи будет выполнено толь о при значении a = 1.
5.Ответ: a = 1.
20.При а их положительных значениях параметра a неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнению
cos (5a – 9)x = cos (9a + 17)x |
(1) |
и расположенные в поряд е возрастания, образуют бес онечную арифметичес ую про#рессию?
1. Приведем уравнение (1) виду
sin (7a + 4)x sin (2a + 13)x = 0.
2. Та а по условию a > 0, то 7a + 4 − 0, 2a + 13 − 0 и неотрицательные решения исходно#о уравнения задаются двумя сериями:
x = |
-------π--k------- |
, #де k Ý Z, k l 0; |
(2) |
|
7a + 4 |
|
|
x = |
πn |
, #де n Ý Z, n l 0. |
(3) |
2----a-----+------13----- |
213
3. Здесь аждое из соотношений (2) и (3) образует бес онечную арифметичес ую про#рессию с первым членом, равным нулю, и раз-
ностями d1 = |
π |
и d2 = |
π |
соответственно. |
7----a-----+------4- |
2----a-----+------13----- |
4. Эти две арифметичес ие про#рессии образуют одну бес онечную арифметичес ую про#рессию при условии, что хотя бы одно из
чисел d----1- |
или d----2- |
является натуральным. |
||
d2 |
d1 |
|
|
|
5. Рассмотрим случай, о#да |
||||
|
d1 |
= |
2a + 13 |
= p, #де p — натуральное. |
|
----- |
--7-----a----+-----4---- |
||
|
d2 |
|
|
Отсюда находим a = 4----p-----–------13---- |
> 0. Из это#о неравенства следует, |
||||||
2 – 7p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
; |
5 |
; |
1 |
|
что p Ý {1; 2; 3}, и, значит, a Ý |
-- |
------ |
------ |
. |
|||
|
|
5 |
|
12 |
|
19 |
|
6. Рассмотрим случай, о#да |
|
|
|
|
|
|
d2 |
= |
|
7a + 4 |
= q, #де q — натуральное. |
|||||||||
----- |
2----a-----+------13----- |
||||||||||||
d1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда находим a = |
4-------–----13-------q- |
> 0. Здесь та же о азывается, что |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2q – 7 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
22 |
; 35 |
|
q Ý {1; 2; 3} и, следовательно, a Ý -- ; |
------ |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
7. Ответ: a |
|
|
1 |
; |
5 |
; |
9 |
; |
22 |
; 35 |
|
|
|
Ý |
19------ |
12------ |
5-- |
--3---- |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. При а их целых отрицательных n фун ция
25x f(x) = cos 7nx sin ----------
n2
является периодичес ой с периодом T = 7π?
1. Та а по условию при любом значении x должно выполняться равенство
π 25x π
cos 7n(x + 7 ) · sin ---------- (x + 7 ) = cos 7nx · sin n2
то оно будет выполняться и при x = 0.
25x |
, |
(1) |
---------- |
||
n2 |
|
|
214
2. При x = 0 получим |
|
|
|
cos 7n(0 + 7π) · sin 25------ |
(0 + 7π) = cos 49πn · sin 175----------- |
π-- |
= 0. |
n2 |
n2 |
|
|
3. Та а cos 49πn − 0 при целых отрицательных n, то должно выполняться равенство
sin 175----------- |
π-- |
= 0. |
(2) |
n2 |
|
|
|
4. Равенство (2) имеет место, о#да
175-----------π-- |
= πk, т. е. 175--------- |
= k, #де k Ý Z. |
n2 |
n2 |
|
5.Пос оль у нас интересуют толь о целые отрицательные n, простым перебором находим, что n Ý {–1; –5}.
6.Подставляя значения n = –1 и n = –5 в соотношение (2), убеждаемся, что в обоих случаях получается тождество.
7.Ответ: n Ý {–1; –5}.
22.В зависимости от значений параметров a и b решить уравнение
|
|
tg x – 2a – tg x – 2b = 2. |
|
||
1. |
Пола#ая u = |
tg x – 2a , v = tg x – 2b , u l 0, v l 0, получим |
|||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u – v = 2. |
(1) |
2. |
Кроме то#о, имеем |
|
|||
|
u2 – v2 = (tg x – 2a) – (tg x – 2b), |
|
|||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 – v2 = 2(b – a). |
(2) |
3. |
Уравнения (1) и (2) образуют систему |
|
|||
|
|
|
|
u – v = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от уда находим v = |
1 |
|
u2 – v2 = 2(b – a), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||
-- (b – a – 2); та а v l 0, то b l a + 2. |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
4. Вернемся обозначению v = tg x – 2b . Возведя обе части это#о равенства в вадрат, получим v2 = tg x – 2b, от уда
tg x = v |
2 |
+ 2b, или tg x = |
b – a – 2 |
|
2 |
|
-----------2---------- |
|
+ 2b. |
||
|
|
|
|
215
5. Ответ: если b – a l 2, то
x = arctg |
b – a – 2 |
|
2 |
+ πk, k Ý Z; |
--------------------- |
+ 2b |
|||
|
2 |
|
|
|
если b – a < 2, то орней нет. |
|
|
|
|
23. При а их значениях параметра k уравнение |
|
|||
cos 2x + 2 sin x + 2k2 – 2k – 1 = 0 |
(1) |
имеет хотя бы одно решение? Найти сумму та их целых значений k.
1. Та а cos 2x = 1 – 2 sin2 x, то уравнение (1) примет вид |
|
1 – 2 sin2 x + 2 sin x + 2k2 – 2k – 1 = 0. |
(2) |
а) Пусть sin x = t, |t| m 1; то#да уравнение (2) запишется та : |
|
t2 – t – k2 + k = 0. |
(3) |
б) Уравнение (3) имеет орни t1 = k и t2 = 1 – k.
в) Вернемся подстанов е t = sin x; имеем t1 = k = sin x, t2 =
=1 – k = sin x.
2.Уравнение (3) имеет хотя бы одно решение, если выполняется сово упность неравенств
|k| m 1,
|k – 1| m 1.
а) Из рис. 71 видно, что ис омыми целыми значениями k являются –1, 0, 1 и 2.
б) Сумма этих целых значений k рав-
Рис. 71 |
на 2. |
|
3.Ответ: k Ý [–1; 2]; 2.
24.При а ой зависимости между параметрами a и b имеет решение уравнение sin ax sin bx = 1?
1.Исходное уравнение равносильно сово упности двух систем:
sin ax = 1, |
(1) |
|
sin bx = 1; |
||
|
||
sin ax = –1, |
(2) |
|
sin bx = –1. |
||
|
216
2. Для системы (1) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ax = |
--π |
+ 2πk = |
|
--π |
(4k + 1), k Ý Z, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx = |
--π |
+ 2πn = |
|
--π |
(4n + 1), n Ý Z, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
от уда следует, что a-- |
= |
-- |
4---k------+----1- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
b |
|
|
4n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Для системы (2) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ax = – |
--π |
|
+ 2πk = |
--π |
|
(4k – 1), k Ý Z, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx = – |
--π |
|
+ 2πn = |
--π |
|
(4n – 1), n Ý Z, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
= |
4k – 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и, значит, -- |
4-----n------–----1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Ответ: a-- |
= --4-----k----+----1- |
или a-- |
= |
-- |
4---k------–----1- |
, k, n Ý Z. |
|
|
|||||||||
|
|
b |
4n + 1 |
b |
|
|
4n – 1 |
|
|
|
|
||||||
25. В зависимости от значений параметра a решить уравнение |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|cos 2x| = |sin2 x – a|. |
|
|
(1) |
|||||||
1. Та а обе части уравнения (1) неотрицательны, то после |
|||||||||||||||||
возведения в вадрат получим равносильное уравнение |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
cos2 2x = sin4 x + a2 – 2a sin2 x. |
|
|
(2) |
||||||||||
2. Упростим уравнение (2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos |
2 |
2x = |
|
1 – cos 2x 2 |
|
– 2a |
1 – cos 2x |
2 |
, |
|
||||||
|
|
|
---- |
- |
--------2------------- |
|
|
-------------2------------- |
+ a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cos2 2x + 2(1 – 2a) cos 2x – (1 – 2a)2 = 0. |
(3) |
|||||||||||||||
3. Уравнение (3) сводится следующей сово упности: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x = 2a – 1; |
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x = 1-------–----2----a- . |
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4. Решим уравнение (4). Здесь должно выполняться условие |
|||||||||||||||||
|2a – 1| m 1, т. е. 0 m a m 1; имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x = ä |
1-- |
arccos (2a – 1) + πn, n Ý Z. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
217
5. Решим уравнение (5). Здесь должно выполняться условие m 1, т. е. –1 m a m 2; имеем
1– 2a π
x = ä-- arccos ---------------- + k, k Ý Z.
2 3
6.Ответ: если a < –1 или a > 2, то орней нет; если –1 < a < 0 или 1 m a m 2, то
1 1 – 2a π
x = ä-- arccos ---------------- + k, k Ý
2 31
если 0 m a m 1, то x = ä |
1-- |
arccos |
1-------–----2----a- |
+ πk, |
||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
x = ä |
1-- |
arccos (2a – 1) + πn, k, n Ý |
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
26. В зависимости от значений параметра a решить уравнение
4 3
|tg x + a ctg x| = ---------- .
3
Z;
Z.
(1)
π k
1. Допустимыми значениями переменной x являются все x − ------ ,
2
k Ý Z. При та их значениях x, пола#ая y = tg x, перепишем уравнение (1) в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y + -- |
|
= ---------- . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2. Если a = 0, то y = |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ä---------- . При a − 0 уравнение (2) равносиль- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но сово упности уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
– ---------- y + a = 0, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
+ ---------- y + a = 0. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Дис риминанты обоих уравнений сово упности (3) совпада- |
||||||||||||||||||
ют и имеют вид D = 4 |
4 |
– a |
|
. Поэтому если a > |
4 |
, то уравнение (1) |
||||||||||||
-- |
|
-- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
не имеет решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Пусть D l 0. То#да, решив уравнения (3), находим |
|
|||||||||||||||||
y |
|
2 |
3 |
|
|
|
4 |
– a , y |
|
2 |
3 |
|
4 |
(4) |
||||
1, 2 |
= ---------- ä |
|
-- |
3, 4 |
= –---------- ä |
|
-- – a . |
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
218
При a = |
4 |
2 |
3 |
-- |
имеем y = ä---------- . В остальных случаях все орни |
||
|
3 |
|
3 |
определяются формулами (4).
|
4 |
, то |
|
|
|
|
5. Ответ: если a < 0 или 0 < a < -- |
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
ä |
4 |
+ πn, n Ý Z; |
|
x = arctg ä---------- |
-- – a |
||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
3 |
+ πk, k Ý Z; |
||
если a = 0, то x = äarctg ---------- |
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
3 |
|
|
|
если a = -- |
, то x = äarctg ---------- + πm, m Ý Z; |
|||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
, то орней нет. |
|
|
|
|
|
если a > -- |
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
27. Определить все значения параметра a, при оторых уравнение (a – 3) sin2 x + (a – 4) cos x + 1 = 0
имеет единственный орень в интервале |
|
0; |
π |
|
, и у азать этот |
|
-- |
|
|||
|
|
2 |
|
||
орень. |
|
|
|
|
|
1. Положим y = cos x, sin2 x = 1 – y2 и сведем три#онометриче- |
|||||
с ое уравнение ал#ебраичес ому: |
|
|
|
|
|
(a – 3)y2 – (a – 4)y + 2 – a = 0. |
|
(1) |
2.Требуется найти те значения a, при оторых уравнение (1) имеет единственный орень в интервале (0; 1).
3.Та ое требование реализуется в двух случаях:
а) уравнение (1) имеет единственный орень, оторый принадлежит интервалу (0; 1); это в свою очередь возможно либо при a – 3 = 0, либо при D = 0;
б) уравнение (1) имеет два орня, причем один из них принадлежит интервалу (0; 1), а дру#ой находится вне это#о интервала.
4. Рассмотрим по отдельности эти возможности.
а) При a = 3 уравнение (1) примет вид y – 1 = 0. То#да е#о орень y = 1 Ô (0; 1) и, значит, a = 3 не удовлетворяет у азанному требованию.
Та а D = (a – 4)2 + 4(a – 3)(a – 2) = 5a2 – 28a + 40 > 0 при любом a, т. е. случай D = 0 не имеет места.
219
б) Уравнение f(y) = 0 имеет единственный орень в интервале (0; 1), если f(0) · f(1) < 0. В данном случае
f(y) = (a – 3)y2 – (a – 4)y + 2 – a,
т. е. f(0) = 2 – a, f(1) = (a – 3) – (a – 4) + 2 – a = 3 – a. Ис омые значения a должны удовлетворять условию (2 – a)(3 – a) < 0, от у- да 2 < a < 3.
5. Ита , уравнение (1) имеет единственный орень в интервале (0; 1), если a Ý (2; 3). Найдем этот орень. Имеем
y1 = |
a – 4 – 5a2 – 28a + 40 |
, y2 = |
a – 4 + 5a2 – 28a + 40 |
. |
----------------------2----(---a----–----3-----)-------------------- |
----------------------2----(---a----–-----3----)--------------------- |
Та а 2 < a < 3, то y1 > 1, а y2 Ý (0; 1).
6. Из равенства cos x = y2 найдем соответствующий орень данно#о уравнения.
7. |
Ответ: a Ý (2; 3); x = arccos |
a – 4 + 5a2 |
– 28a + 40 |
. |
||
----------------------2---- |
(---a----–-----3----)--------------------- |
|||||
|
|
|
28. Найти все пары чисел (a; b), для аждой из оторых при любом x справедливо равенство
a sin x + b = sin (ax + b). |
(1) |
1.Из условия следует, что равенство (1) должно выполняться,
вчастности, при x = 0.
2.При этом значении x получим равенство b = sin b, оторое справедливо толь о при b = 0, т. е. 0 = sin 0 = 0.
3.Подставив b = 0 в равенство (1), приходим уравнению
a sin x = sin ax,
оторое имеет решение при любом x толь о в тех случаях, о#да a Ý {–1; 0; 1}.
4.Ответ: (–1; 0); (0; 0); (1; 0).
29.Найти все пары чисел (a; b), для аждой из оторых при всех x справедливо равенство
a(cos x – 1) + b2 = cos (ax + b2) – 1. |
(1) |
1. Пусть (a; b) — пара чисел, удовлетворяющих условию задачи. Пос оль у данное равенство справедливо при любом x, в част-
220