Задачи с параметрами и методы их решения

#) log3 4x + log3 |x – 2| – log3 log2 a = 0 имеет три орня.

7. При а их значениях a имеет единственное решение система

выполняется для любых x.

10. В зависимости от значений параметра a решить уравнение

log3 (31 – |x2 – 6x + 5|) = a.

11. При а их значениях параметра a сумма вадратов орней уравнения

2 log4 (2x2 – x + 2a – 4a2) + log0,5 (x2 + ax – 2a2) = 0

больше 1?

12. При а их значениях параметра a для любо#о значения параметра b существуют решения уравнения

log2 (1 – x – x2) = b + log1 – x – x2 2,

удовлетворяющие условию 0 < x < 0,5?

13. Найти все значения x, удовлетворяющие уравнению

351

15. В зависимости от значений параметра a решить неравенство

loga (1 – 8a–x) l 2(1 – x).

Ответы

орней нет. 6. а) a = 162 ; б) a Ý (–×; 3); в) a Ý (31; +×); ) a Ý (1; 16). 7. а) 1,5; б) –4. 8. а) –7; б) –4. 9. y Ý (–×; –1) Ÿ (1; +×). 10. Если a < 3, то

x1 = 1, x2 = 5; если a > log3 31, то орней нет. 11. a Ý (–1; 0) Ÿ (0,4; 0,5).

то решений нет; если 0 < a < 1, то loga (4 + 16 + a2 ) m x < loga 8; если a > 1, то x l loga (4 + 16 + a2 ).

352

Тема 18

1.Понятие первообразной ф н ции

2.Основное свойство первообразной ф н ции

3.Криволинейная трапеция и ее площадь

4.Форм ла Ньютона—Лейбница

5.Основные правила инте(рирования

6.Вычисление площадей с помощью инте(рала

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Понятие первообразной ф н ции

1°. Под дифференцированием фун ции f(x) мы понимаем нахождение производной f′(x).

Например, если f(x) = cos 2x, то f′(x) = –sin 2x · (2x)′ = –2 sin 2x для всех x Ý R.

2°. Нахождение фун ции f(x) по заданной ее производной f′(x) называют операцией инте рирования.

3°. Та им образом, операция инте#рирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция инте#рирования состоит в том, что по заданной производной f′(x) находят (восстанавливают) фун цию f(x).

4°. Например, пусть f′(x) = 4x3. Следует найти f(x). Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно установить, что f(x) = x4. Ле# о до#адаться, что f(x) находится неоднозначно.

5°. В ачестве f(x) можно взять и та ие фун ции, а f(x) = = x4 + 2, f(x) = x4 – 5, f(x) = x4 + 5 и др., пос оль у производная

аждой из данных фун ций равна 4x3. Все эти фун ции отличаются дру# от дру#а толь о постоянным сла#аемым.

6°. Общее решение задачи можно записать в виде f(x) = x4 + C, #де C — произвольное действительное число. Любую из найденных фун ций f(x) называют первообразной для фун ции f′(x) = 4x3.

7°. Фун цию F называют первообразной для фун ции f на заданном промежут е, если для всех x из это#о промежут а F′(x) = f(x).

353

Та , фун ция F(x) = x4 есть первообразная для фун ции f(x) =

= 4x3 на промежут е (–×; +×), пос оль у при всех x Ý R справедливо равенство F′(x) = (x4)′ = 4x3.

8°. Множество всех первообразных для фун ции f(x) можно представить в виде F(x) + C, #де C Ý R.

2. Основное свойство первообразной ф н ции

1°. Т е о р е м а. Если фун ция F есть первообразная для фун - ции f на промежут е X, то при любой постоянной C фун ция

та же является первообразной для фун ции f на промежут е X. Любую первообразную фун ции f на промежут е X можно записать в виде F(x) + C.

2°. Ка ую бы постоянную в выражении (1) ни подставить вместо C, получится первообразная для фун ции f. Выражение F(x) + C

называют общим видом первообразных для фун ции f.

3°. Ка ую бы первообразную для фун ции f ни взять, ее можно получить из выражения (1) при соответствующем подборе постоянной C.

4°. Геометричес и основное свойство первообразных можно интерпретировать та : #рафи и всех первообразных данной фун ции f(x) получаются с помощью параллельно#о переноса любо#о из этих #рафи ов вдоль оси Oy

(рис. 103).

5°. Таблица первообразных не оторых ф н ций

354

3. Криволинейная трапеция и ее площадь

1°. Криволинейной трапецией называют фи#уру, о#раниченную #рафи ом неотрицательной и непрерывной на отрез е [a; b] фун - ции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

4. Форм ла Ньютона—Лейбница

1°. Инте ралом от a до b фун ции f называют приращение первообразной F этой фун ции, т. е. F(b) – F(a) (очевидно, что это приращение не зависит от выбора первообразной).

b

2°. Инте#рал от a до b фун ции f обозначается та : ∫ f(x) dx (чи-

a

тается: «инте#рал от a до b эф от и с дэ и с»). Числа a и b называют

пределами инте#рирования, a — нижним, b — верхним преде-

лом. Зна ∫ называют зна ом инте рала, фун цию f — подын-

те ральной ф н цией, x — переменной инте рирования. Отрезо с онцами a и b называют отрез ом инте рирования.

3°. Заметим, что верхний предел инте#рирования необязательно больше нижне#о предела; может быть a > b, a = b.

4°. По определению инте#рала: если F′ = f, то

Это равенство называют форм лой Ньютона—Лейбница. 5°. Для удобства записи приращение первообразной F(b) – F(a)

со ращенно обозначают та : F(x) ba , т. е. F(b) – F(a) = F(x) ba .

6°. Формулу для вычисления площади риволинейной трапеции (см. п. 3) с помощью инте#рала можно записать та им образом:

355

Формула (2) верна для любой фун ции f, непрерывной на отрез е [a; b].

x

7°. Инте#рал вида ∫ f(t)dt называют инте ралом с перемен-

a

ным верхним пределом. Этот инте#рал есть та ая первообразная фун ции f, оторая в точ е x = a обращается в нуль, и, следовательно, справедлива формула

5. Основные правила инте(рирования

1°. Постоянный множитель можно вынести за зна инте#рала:

2°. Инте#рал от суммы равен сумме инте#ралов:

3°. Справедлива следующая форм ла замены переменной:

#де t = kx + p, k и p — постоянные, причем новые пределы инте#рирования получаются из формулы t = kx + p заменой x на a и на b.

6. Вычисление площадей с помощью инте(рала

1°. Пусть фун ция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрез-е [a; b]. То#да, а известно, площадь соответствующей риволинейной трапеции (рис. 105, а) находится на формуле

b

∫ f(x) dx = F(x) ba = F(b) – F(a).

a

356

Рис. 105

2°. В том случае, о#да непрерывная фун ция f(x) неположительна на отрез е [a; b], для вычисления площади соответствующей риволинейной трапеции (рис. 105, б) следует использовать формулу

b

S = –∫ f(x) dx.

a

3°. Пусть фун ция f(x) непрерывна на отрез е [a; b] и принимает на этом отрез е а положительные, та и отрицательные значения. То#да нужно разбить отрезо [a; b] на та ие части, в аждой из оторых фун ция не изменяет свой зна , затем вычислить по приведенным выше формулам соответствующие этим частям площади и эти площади сложить.

Например, площадь фи#уры, изображенной на рис. 106, находится по формуле

c b

S = –∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx.

a c

357

4°. Площадь фи#уры, о#раниченной #рафи ами двух непрерывных фун ций f1(x) и f2(x) и двумя прямыми x = a и x = b, #де f1(x) l f2(x) на отрез е [a; b] (рис. 107), находится по формуле

b b

S = ∫ f1(x) dx – ∫ f2(x) dx.

a a

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти все числа a (a > 0), для аждо#о из оторых выполняется неравенство

a

∫ (2 – 4x + 3x2)dx m a.

0

1. Преобразуем левую часть данно#о неравенства. Со#ласно формуле Ньютона—Лейбница, имеем

a

∫ (2 – 4x + 3x2) dx = (2x – 2x2 + x3) a0 = 2a – 2a2 + a3.

0

2.Поэтому исходное неравенство можно переписать та : 2a – 2a2 + a3 m a, или a(a – 1)2 m 0.

3.Учитывая условие a > 0, получаем, что a = 1.

4.Ответ: a = 1.

2.Найти все решения уравнения

a

∫ cos (x + a2) dx = sin a,

0

принадлежащие отрез у [2; 3].

1. Найдем инте#рал в левой части уравнения:

a

∫ cos (x + a2) dx = sin (x + a2) a0 = sin (a + a2) – sin a2.

0

2. То#да исходное уравнение можно переписать в виде sin (a + a2) – sin a2 = sin a.

358

3. Применяя известные формулы, получим

5. Уравнение (1) имеет решения a = 2πk, k Ý Z. Уравнение (2) имеет решения a = ä2πn , n = 0, 1, 2, ... .

Уравнение (3) равносильно бес онечной сово упности уравнений

6. а) Дис риминант аждо#о из уравнений (4) равен 1 + 8lπ, и значит, при целых отрицательных l соответствующие уравнения не имеют решений.

б) Если же l есть одно из чисел 0, 1, 2, ... , то уравнение (4) име-

7.Теперь в найденных множествах решений сово упности уравнений (1)—(3) выберем числа, принадлежащие отрез у [2; 3].

8.Очевидно, что ни одно из решений уравнения (1) не принадлежит отрез у [2; 3], а из решений уравнения (2) толь о одно при-

надлежит этому отрез у: a = 2π .

359

10. Ясно, что толь о число l = 1 удовлетворяет этому неравенству. Соответствующее ему решение данно#о уравнения имеет вид

3. Найти все значения параметра a (a l 1), при аждом из оторых площадь фи#уры, лежащей в полуплос ости x l 0 и о#раниченной

прямыми y = 1, y = 2 и ривыми y = ax2, y = 1 ax2, будет наиболь-

--

2

шей. Найти эту площадь S.

1. На рис. 108 изображены данные ривые при фи сированном значении a и прямые y = 1, y = 2.

Рис. 108

360