Задачи с параметрами и методы их решения

Рис. 68

3°. Отметим свойства фун ции y = = arccos x:

а) D(arccos) = [–1; 1]; б) E(arccos) = [0; π];

в) фун ция убывающая; #) arccos (–x) = π – arccos x.

9. Ф н ция y = arctg x

возрастает (рис. 69, а) и принимает все числовые значения, т. е. E(tg) = (–×; +×). Поэтому фун ция y = tg x на промежут е

Рис. 69

191

фун цию, оторую называют ар тан енсом и обозначают y = = arctg x. Геометричес и arctg x означает величину у#ла (ду#и), за-

2°. Графи фун ции y = arctg x изображен на рис. 69, б. Этот

в) фун ция нечетная, т. е. arctg (–x) = = –arctg x;

#) фун ция возрастающая.

10. Ф н ция y = arcctg x

1°. На промежут е (0; π) отан#енс убывает (рис. 70, а) и принимает все числовые значения, т. е. E(ctg) = (–×; +×). Поэтому фун ция y = ctg x на промежут-е (0; π) обратима, т. е. имеет обратную фун цию, оторую называют ар отаненсом и обозначают y = arcctg x. Геометричес и arcctg x означает величину у#ла (ду#и), за люченно#о в промежут е (0; π),отан#енс оторо#о равен x.

Рис. 70

192

2°. Графи фун ции y = arcctg x изображен на рис. 70, б. Этот #рафи симметричен #рафи у фун ции y = ctg x, x Ý (0; π), относительно прямой y = x.

3°. Отметим свойства фун ции y = arcctg x: а) D(arcctg) = (–×; +×);

б) E(arcctg) = (0; π);

в) фун ция убывающая;

#) arcctg (–x) = π – arcctg x.

11.Не оторые соотношения для обратных три(онометричес их ф н ций

Следовательно, для любо#о x, взято#о на отрез е –1 m x m 1, имеем

2°. Записи y = arccos x и x = cos y, 0 m y m π, равносильны. Поэтому для любо#о x та о#о, что –1 m x m 1, имеем

4°. Записи y = arcctg x и x = ctg y, 0 < y < π, равносильны. Та-им образом, для любо#о x та о#о, что –× < x < +×, имеем

5°. Фун ции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x и y = arcctg x

называют обратными три онометричес ими ф н циями (или ар ф н циями).

193

6°. Приведем еще не оторые формулы, позволяющие находить значения три#онометричес их фун ций от ар фун ций.

Например, вычислим cos (arcsin x). Положим arcsin x = y. То#-

194

Тема 12

1.Решение три(онометричес их равнений вида sin x = a

2.Решение три(онометричес их равнений вида cos x = a

3.Решение три(онометричес их равнений вида tg x = a

4.Решение однородных три(онометричес их равнений

5.Решение систем три(онометричес их равнений

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Решение три(онометричес их равнений вида sin x = a

1°. Формула для орней уравнения sin x = a, #де –1 m a m 1,

имеет вид

x = (–1)karcsin a + πk, k Ý Z.

2°. Частные случаи:

а) sin x = 0, x = πk, k Ý Z;

3°. Формула для орней уравнения sin2 x = a, #де 0 m a m 1, имеет вид

x = äarcsin a + πk, k Ý Z.

2. Решение три(онометричес их равнений вида cos x = a

1°. Формула для орней уравнения cos x = a, #де –1 m a m 1, имеет вид

x = äarccos a + 2πk, k Ý Z.

2°. Частные случаи:

а) cos x = 1, x = 2πk, k Ý Z;

в) cos x = –1, x = π + 2πk, k Ý Z.

195

3°. Формула для орней уравнения cos2 x = a, #де 0 m a m 1, имеет вид

x = äarccos a + πk, k Ý Z.

3. Решение три(онометричес их равнений вида tg x = a

1°. Формула для орней уравнения tg x = a имеет вид

x = arctg a + πk, k Ý Z.

2°. Частные случаи:

а) tg x = 0, x = πk, k Ý Z;

3°. Формула для орней уравнения tg2 x = a, #де a Ý [0; +×), имеет вид

x = äarctg a + πk, k Ý Z.

4. Решение однородных три(онометричес их равнений

1°. Уравнение вида

a sin x + b cos x = 0 (a − 0, b − 0)

называют однородным равнением первой степени относительно sin x и cos x. Оно решается делением обеих е#о частей на cos x − 0. В результате получается уравнение вида atg x + b = 0.

2°. Уравнение вида

называют однородным равнением второй степени относительно sin f(x) и cos f(x), если все три оэффициента a, b, c или а иелибо два из них отличны от нуля. Считая, что a − 0, разделим обе части уравнения на cos2 f(x) − 0; то#да получим

3°. Уравнение (2) равносильно уравнению (1), та а орни уравнения cos2 f(x) = 0 не являются орнями уравнения (1).

4°. Одна о если a = 0, то уравнение (1) примет вид

b sin f(x) · cos f(x) + c cos2 f(x) = 0.

196

Полученное уравнение решают разложением е#о левой части на множители:

cos f(x)(b sin f(x) + c cos f(x)) = 0.

5. Решение систем три(онометричес их равнений

1°. При решении систем три#онометричес их уравнений последние сводят либо одному уравнению с одним неизвестным, либосистеме уравнений относительно самих ар#ументов или фун ций этих ар#ументов.

2°. Рассмотрим лишь не оторые типы систем три#онометриче- с их уравнений и наиболее употребляемые методы их решения.

3°. Решим систему вида

а) С ладывая и вычитая уравнения системы (1), получаем равносильную систему

cos (x – y) = a + b,

(2)

cos (x + y) = b – a.

б) Система (2), а значит, и система (1) имеют решения то#да и толь о то#да, о#да выполняются условия –1 m a + b m 1 и –1 m m b – a m 1.

#де k и n — любые целые числа, а зна и выбираются произвольно. в) Пусть arccos (a + b) = α, arccos (b – a) = β. Та им образом,

формулы (3) определяют четыре серии решений:

197

#) Решив эти системы, находим:

x = 0,5(α + β) + π(k + n), y = 0,5(β – α) + π(n – k);

x = 0,5(β – α) + π(k + n), y = 0,5(α + β) + π(n – k);

x = 0,5(α – β) + π(k + n), y = –0,5(α + β) + π(n – k);

x = –0,5(α + β) + π(k + n), y = 0,5(α – β) + π(n – k).

4°. Анало#ично решается система вида

sin x cos y = a, cos x sin y = b.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

2. Пусть sin 2x = y, #де |y| m 1. То#да после этой замены уравнение (2) примет вид

3. Найдем орни уравнения (3):

3 y = 1 ä 3 + 2a , #де a l –-- .

2

198

3 1

5.Ответ: a Ý – .

2.Выяснить, при а их значениях параметра a уравнение--2-- ;2

2. Для то#о чтобы уравнение (2) имело решение, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

2a – a2 l 1

(та а 0 m cos2 π(a + x) m 1). 3. То#да

4.Неравенство (3) верно толь о при a = 1.

5.Если a = 1, то находим

cos2 πx = 1, πx = πk, x = k, k Ý Z.

6.Ответ: при a = 1; x = k, k Ý Z.

3.При аждом значении параметра a решить уравнение

1. Решим данное уравнение а вадратное относительно синуса, введя о#раничение –1 m sin x m 1.

199

2. Уравнение (1) сводится сово упности двух уравнений:

5.Решив систему (4), находим –3 m a m 5.

6.Ответ: если a Ý [–3; 5], то

x = (–1)k arcsin (4 + a – 2) + πk, k Ý Z; если a Ô [–3; 5], то орней нет.

4. При аждом значении параметра a решить уравнение

sin2 x + a sin x – a2 + 1 = 0.

1.Решим данное уравнение а вадратное относительно синуса, используя о#раничение –1 m sin x m 1.

2.Пусть sin x = t; то#да

3. Уравнение sin x = t1 имеет решение, если выполняется система неравенств

200