учебное пособие - теория графов

Маршруты неориентированных графов

Определение 7.5. Маршрут (a1,u1,a2,u2,…,an,un,an+1) (1) неорграфа G называется

1)цепью, если все его рёбра попарно различны;

2)простой цепью, если все вершины, за исключением, возможно, первой и последней, попарно различны;

3)циклическим маршрутом (замкнутым маршрутом), если a1=an+1;

4)циклом, если (1) – цепь и циклический маршрут;

5)простым циклом, если (1) – простая цепь и циклический маршрут.

Замечание 7.2. Полагают, что маршрут нулевой длины не является циклом (простым циклом).

Взаимосвязь между различными видами маршрутов неорграфов можно проиллюстрировать следующим образом:

Схема 2.

Схема 3.

41

Определение 7.6. Неорграф называется ациклическим графом или лесом, если он не содержит циклов.

Определение 7.7. Пусть G – неорграф, имеющий циклы. Обхватом графа G называется минимальная из длин всех его циклов.

Пример 7.2.

(1, 2, 3, 4) – цепь, простая цепь, не цикл, (2, 5, 6, 2) – простой цикл,

(8, 2, 5, 6, 2, 8) – циклический маршрут, не цикл, (2, 5, 6, 2, 7, 8, 2) – цикл, не являющийся простым, обхват графа G равен 3.

Обходом графа G называется некоторое систематическое перечисление вершин графа G. Наибольший интерес представляют обходы графов, заданных структурами смежности. Среди обходов наиболее известны обходы в ширину и в глубину.

Нахождение в графах маршрутов с заданным количеством ребер с помощью матрицы маршрутов длины k

Теорема 7.1. Пусть G – орграф n-го порядка, AG – матрица смежности графа G, k – натуральное число,

гда элемент cij равен числу (ai,aj)-маршрутов длины k, i=1, n , j=1, n .

42

§ 8. Отношение достижимости

на множестве вершин графа

Содержание параграфа

определение отношения достижимости на множестве вершин графа;

свойства отношения достижимости;

матрицы достижимости и контрдостижимости;

теорема о взаимно достижимых вершинах графа.

Теорема 8.1. Пусть G – бесконтурный граф. Отношение достижимости на множестве всех вершин графа G является отношением нестрогого порядка.

Доказательство.

1.Рефлексивность. По определению 7.1 a V существует a, a - маршрут в G . Это означает, что a V вершина a достижима из a.

2.Транзитивность. Пусть из вершины a достижима вершина b и из вершины b достижима вершина c. Тогда существует a,b -маршрут в

G и существует b, c -маршрут в G соответственно. Следовательно, существует a,c -маршрут в G, и значит, вершина c достижима из вершины a.

3. Антисимметричность. Пусть из вершины a достижима вершина b и из вершины b достижима вершина a. Тогда существует a,b -

маршрут в G и существует b, a -маршрут в G соответственно. Если a b, то в G существует контур a,...,b,..., a – противоречие. Следовательно, a b .

45

ма доказана.

47

Глава II. Связные графы

§ 9. Связные графы и их простейшие свойства.

Критерий связности графа.

Содержание параграфа

связные неорграфы;

связные и сильно связные орграфы;

полностью несвязный (пустой) граф;

связная (сильно связная) компонента графа;

матрица сильных компонент графа;

мосты, точки сочленения, блоки;

меры связности графа и их оценка;

критерий связности графа.

Определение 9.1. Неорграф G=(V,R) называется связным, если любые его две вершины соединены маршрутом.

Пример 9.1. G1 – связный неорграф; неорграф G2 не является связ-

ным.

Замечание 9.1. Если в произвольном графе G заменить каждое ориентированное ребро на неориентированное, то получим неорграф, который обозначается Gн и называется неорграфом, соответствующим графу G.

Определение 9.2. Граф G=(V,R) называется связным, если соответствующий ему неорграф Gн является связным.

Пример 9.2. (G3)н – связный граф G3 – связный граф.

48

Определение 9.3. Пусть G1=(V1,R1), G2=(V2,R2) – графы. Говорят, что граф G1 содержится в графе G2, и пишут G1 G2, если V1 V2 и

R1 R2.

Определение 9.4.

1.Связный подграф G1 графа G называется максимальным связным подграфом графа G, если G1 не содержится ни в каком связном подграфе графа G, отличном от G.

2.Компонентой связности (связной компонентой) графа G называется всякий максимальный связный подграф графа G.

3.Через k(G) обозначается число связных компонент графа G.

Определение 9.5. Граф G называется сильно связным, если для любых его вершин a и b существуют (a,b)-маршрут и (b,a)-маршрут, т.е. любые две вершины графа G являются взаимно достижимыми.

Пример 9.3. G4 – связный граф, но он не является сильно связным графом.

G4

По аналогии с определением 9.4 вводится понятие сильно связной компоненты графа.

Определение 9.6.

1.Сильно связный подграф G1 графа G называется максимальным сильно связным подграфом графа G, если G1 не содержится ни в каком сильно связном подграфе графа G, отличном от G.

49

2.Компонентой сильной связности (сильно связной компонентой, силь-

ной компонентой) графа G называется всякий максимальный сильно связный подграф графа G.

Замечание 9.2. Матрица S, построенная в теореме 8.2, называется

матрицей сильных компонент графа G.

Определение 9.7. Граф G называется полностью несвязным или,

иначе, пустым, если каждая его вершина является изолированной.

Лемма 9.1. Пусть G=(V,R) – граф. Тогда выполняются следующие утверждения:

1)G – связный граф k(G)=1;

2)G – пустой граф k(G)=| V |.

Определение 9.8.

1.Ребро графа, удаление которого увеличивает число связных компонент графа, называется мостом.

2.Вершина графа, удаление которой увеличивает число связных компонент графа, называется точкой сочленения.

Пример 9.4. а – точка сочленения графа G.

G

Определение 9.9. Связный граф, не имеющий точек сочленения, называется блоком.

Определение 9.10.

1.Вершинной связностью графа G называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу, и обозначается x(G).

50