§2. Уравнение линии на плоскости

Прямоугольная и полярная система координат позволяет задавать различные линии на плоскости их уравнениями.

Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат называется уравнение f(x;y)=0 с переменными х и у, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии.

§3. Прямая линия

1. Виды уравнения прямой.

I. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим  MNB - прямоугольный , найдем tg=;

tg - угловой коэффициент прямой,

tg =к, к=;

(1) у=кх+b –

уравнение прямой с угловым коэффициентом, где b – начальная ордината.

Пример1. Дан угол  = и нач. ордината b=-3. Составить уравнение прямой.

Решение.

у=кх+b, (к=tg)  к=tg=1  у=х-3

Если в уравнении (1) к=0, то прямая L параллельна оси Ох и ее уравнение имеет вид: у=b; при b= 0 и к = 0, получаем уравнение оси Ох: у=0.

Прямая х=а параллельна оси Оy, при а=0 получим уравнение оси Оу: х=0.

II. Общее уравнение прямой.

Уравнением с угловым коэффициентом может быть задана любая прямая на плоскости, не параллельная оси ординат.

При рассмотрении уравнения 1-ой степени

(2) Ах+Ву+С=0,

в котором а и в одновременно не обращаются в 0 , окажется, что любую прямую без каких-либо ограничений можно задать уравнением (2).

Теорема. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат определяется уравнением 1-ой степени и наоборот, каждое уравнение 1-ой степени определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство:

I. 1.Пусть дана прямая l, не параллельная Оу  l : у= кх+b, у– кх– b=0

-кх+у–b=0.

Пусть А=-к, В=1, С=-b, получим что любая прямая не параллельная оси Оу задается уравнением (2).

2. Пусть дана l параллельная оси Оу  l : х=а , х–а=0.

Положим А=1, В=0, С=-а  и прямая, параллельная оси Оу задается уравнением (2), т.е. любую прямую на плоскости можно определить уравнением 1-ой степени.

II. Пусть Ах+Ву+С=0.

1. Пусть В0. Выразим у: Ву=-Ах–С; у=-·х- т.е. к=- ; b=-  уравнение (2) задает на плоскости прямую не паралелльную оси Оу.

2. Если в (2) В=0  А0  Ах+С=0 х=, т. е. получим уравнение прямой параллельной оси Оу, т.е. (2) задает на плоскости прямую.

Уравнение (2) называется общим уравнением прямой.

III. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку.

Пусть дана точка М₁ (х₁; у₁)l и к- угловой коэффицмент прямой. Составить уравнение прямой.

l: у=кх+b, т.к. М₁l, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: у₁ =кх₁+b. Вычтем из первого уравнения второе:

(3) у–у₁=к(х–х₁) - уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку.

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-1; 8), если к = 1.

Используем уравнение (3).

у–8=1(х+1)  у–8=х+1, у=х+9.

IV. Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки.

Пусть прямая проходит через точки М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂) и не параллельна оси Оу. Требуется составить ее уравнение.

Используем уравнение (3) прямой, проходящей через точку М₁:у–у₁=к(х–х₁).

Необходимо найти к. Так как точка М₂ лежит на прямой, то ее координаты удовлятворяют этому уравнению: у₂–у₁=к(х₂–х₁). Поскольку прямая не параллельна оси Оу, то х₁х₂. Поэтому . Подставим в уравнение (3):

у–у₁=(х–х₁). Разделим обе части на у₂-у₁:

(4)- уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки.

V. Уравнение прямой в отрезках по осям координат.

Предположим, что в (2) А0, В0, С 0, тогда преобразуем уравнение:

Ах+Ву+С=0, Ах+Ву=-С, ·х-·у=1; =1.

Обозначим =а, =b; тогда

(5)=1 - уравнение прямой в отрезках по осям координат.

Числа а и b определяют длины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

Заметим, что прямые параллельные осям координат и прямые, проходящие через начало координат не могут быть записаны уравнениями в отрезках.

Пример 2. Записать уравнение прямой 2х+5у–10=0 в отрезках и построить данную прямую.

2х+5у=10, =1