- •Элементы аналитической геометрии
- •§1. Метод координат на плоскости
- •1. Декартовы прямоугольные координаты
- •2. Полярные координаты
- •3. Связь между прямоугольной декартовой системой координат и полярной системой координат.
- •4. Основные задачи, решаемые методом координат
- •§2. Уравнение линии на плоскости
- •§3. Прямая линия
- •1. Виды уравнения прямой.
- •2. Основные задачи на использование уравнения прямой
- •§4. Кривые второго порядка
- •1. Основные понятия
- •2. Окружность
- •3. Эллипс.
- •3. Гипербола
- •5. Парабола
Элементы аналитической геометрии
§1. Метод координат на плоскости
1. Декартовы прямоугольные координаты
Выберем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые: Ох и Оу с указанными на них положительными направлениями.
Ох, Оу – координатные оси.
О – начало координат
За положительное направление на оси Ох примем направление слева направо, а за положительное направление на Оу - сверху вниз.
Возьмем некоторую единицу масштаба, с помощью которой будут производиться все измерения на плоскости ХОУ.
Совокупность координатных осей Ох, Оу и выбранная единица масштаба называется декартовой прямоугольной системой координат на плоскости.
Произвольной точке М на плоскости поставим в соответствии два числа: абсциссу х, равную расстоянию от точки М до оси Оу, взятому со знаком «+», если точка М лежит правее оси Оу и со знаком «-», если точка М лежит левее оси Оу; ординату у равную расстоянию от точки М до оси Ох, взятому со знаком «+» , если М лежит выше Ох и со знаком «-», если М лежит ниже Ох.
Абсцисса х и ордината у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М и обозначаются М (х; у).
Отметим, что каждой точке плоскости соответствует пара действительных чисел х и у. Верно и обратное, каждой паре действительных чисел х и у соответствует 1 точка плоскости. Это значит, что на плоскости положение произвольной точки М полностью определяется ее координатами х и у.
Координатные оси Ох и Оу разбивают плоскость на I-ый - IV-ый координатные углы.
-
I
II
III
IV
х
+
+
у
+
+
2. Полярные координаты
Зафиксируем на плоскости точку О и выходящую из нее полупрямую Ор, а также выберем единицу масштаба.
О– полюс
Ор – полярная ось
Произвольной точке М плоскости поставим в соответствие 2 числа: полярный радиус (г), равный расстоянию от точки М до полюса О, измеренному в выбранной единице масштаба.
Полярный угол (фи), измеряется в радианах:
Полюсу О соответствует полярный г=0; полярный угол для него не определен.
3. Связь между прямоугольной декартовой системой координат и полярной системой координат.
Пусть точка М задана в полярной системе координат, т.е. она характеризуется полярным радиусом г и полярным углом. Найдем прямоугольные декартовые координаты данной точки.
OLM – прямоугольный
cos = ;sin =
(1)
Пусть точка М задана своими прямоугольными декартовыми координатами. Найдем полярные координаты данной точки
Дано х и у. Найти r и
Из треугольника OLM:
(2);
=arctg;
Формулы (1) и (2) верны при любом расположении точки М.
Пример 1.
Дана точка А с координатами: х = 1, у = 1. Найдем полярные координаты точки А.
r==,tg==1 =arctg1 =.
Пример 2.
Даны полярные координаты точки А: r=2, =. Найдем ее прямоугольные координаты.
Пользуясь формулами (1), находим х=r·cos=r·cos=0,у=r·sin=r·sin=2.
4. Основные задачи, решаемые методом координат
I. Задача о расстоянии между двумя точками.
Даны точка М1 (х1, у1) и точка М2 (х2, у2). Найти расстояние М1М2=d.
M1NM2 – прямоугольный.
По теореме Пифагора: d =
M1N = x2 – x1 (расстояние между двумя точками на числовой оси)
NM2 = y2 – y1
(3) d =
Пример 3.
Дана точка А(-1;-2), В(-4;2), d=АВ-?
Решение.
По формуле (3): d===5.
II. Задача о делении отрезка в данном отношении.
Дано:
М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), = . М (х; у) -?
По теореме Фалеса о пересечении сторон угла параллельными прямыми будет выполняться соотношение:
=
M1N=x2–x1, NM2=y2–y1, =,
(x2–x)=х-x1, x2-х=х-x1, х+х=x2+x1,
(4) х=; у=.
Пример 4.
М1(1;1), М2 (4;7), =2. М (х; у) -?
Решение.
Применим формулы (4). λ=2, х==3; у==5М (3; 5).
Решение задач
Задача 1. Определить координаты вершин равностороннего треугольника, лежащего в I-ом квадрате со стороной 10, если один из его вершин совпадает с началом координат (т.О), а основание треугольника расположено на оси Ох.
Решение.
По условию О (0; 0), С (10; 0). Так как треугольник равносторонний, то В (5; y).
Найдем расстояние ОВ по формуле (3).
10 = , 100=25+y2, у2 =75, у =
В = (5; ).
Задача 2. Найти координаты вершин квадрата, если его диагональ d = 5 ед. длины.
Решение.
О (0;0) – точка пересечения диагоналей,
Диагонали - на осях координат
А (0; -2,5), С (0; 2,5), В (2,5; 0), D (-2,5; 0)
Задача 3. На оси абсцисс найти точку, находящуюся на расстоянии d = 10 от точки А (2; 6).
Решение.
Так как точка М лежит на оси Ох, то ее координаты М(х; 0). Применим формулу (3):10=, (2-х)2+36=100, (2-х)2 =64, 2–х=8,
2-х=8x=-6, 2-х=-8x=10.
Или: х2–4х+4=64, х2–4х-60=0,
D=16-4·1·(-60)=16+240=256
x1,2=,x1=10, x2=-6.
M1 (10; 0) и M2 (-6; 0)
Задача 4. Найти точку М(х;у), равноудаленную от точек О(0;0), А(-4;0) и В(0;8)
Решение.
ОМ=МА=МВ ОМ2=МА2=МВ2
ОМ2=х2+у2 , МВ2=х2+(у-8)2, МА2=(х+4)2+у2
х2 +у2 =х2+(у-8)2, х2+у2 =(х+4)2+у2,
у2 =у2-16у+64, х2=х2+8х+16,-
16y=64, -8х = 16,
у=4, х = -2,
М (-2; 4)
Задача 5. Вычислить площадь равностороннего треугольника, если заданы две его вершины: А (-3; 2) и С (1; 6).
Решение.
S=, а=АС, АС=
S=.
Задача 6. Построить точки по их полярным координатам: А(5;0), В(2;), С(3;), D(1;).
Решение.
Задача 7. Найти полярные координаты точек А (1; 1), В (0; 2), С (-3; 3).
Решение.
А:r=;=arctg1=, А,
B: r=2; =arctg0=,В,
C: r==; =arctg(-1)=,С.
Задача 8. Какие прямоугольные координаты имеют точки, заданные полярными координатами А(5; 0), В, С?
Решение.
А: х=r·cos=5·1 =5; у=r·sin=5·0=0; А(5;0),
В: х=6·cos45о =6·=3; у=6·=3;
В(3;3)
С: х=2·0=0; у=2·1=2, С(0;2).