§ 5 Законы сложения

Теорема 1. Операция сложения на множестве натуральных чисел ассоциативна, т.е.

х, у, zN (х + у) + z = х + (у + z).

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по z при произвольно выбранных x и y. При z=1 получаем

(х + у) + 1 = /опр. сложения п.1)/= (х + у)'=/опр. сложения п.2)/= х + у'= =/опр. сложения п.1)/= х + (у + 1).

Предположим, что (х + у) + z = х + (у + z), докажем, что (х + у) + z' = х + (у + z'). Имеем

(х + у) + z'=/опр. сложения п.2)/= ((х + у) + z)'=/предположение индукции/=

=(х + (у + z))'=/опр. сложения п.2)/= х + (у + z)'=/опр. сложения п.2)/= х + (у + z').

Ч. т. д.

Теорема 2. Операция сложения на множестве натуральных чисел коммутативна, т.е.

х, уN х + у = у +х.

Теорема 3. Для любых натуральных чисел х и у имеет место неравенство:

х+у ≠ х.

Теорема 4. Для любых натуральных чисел х, у, z если у ≠ z, то у + х ≠ z + х.

Доказательства теорем 2-4 проводят аналогично доказательству теоремы 1.

§ 6. Определение умножения

Определение. Умножением натуральных чисел называется соответствие, в силу которого любым двум натуральным числам х и у, или сомножителям, становится в соответствие единственное натуральное число х•у, называемое их произведением, которое удовлетворяет двум аксиомам умножения:

1) х•1=х, для любого х;

2) х•у'=х•у+х, для любых х и у.

Теорема 1. Операция сложения существует и определена однозначно.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству существования и единственности сложения натуральных чисел.

§ 7. Законы умножения

Теорема 1. Операция умножения на множестве натуральных чисел дистрибутивна относительно сложения, т.е. для любых натуральных чисел х, у и z имеет место равенство

(х + у) z = хz + уz и х(у + z) = ху + хz.

Теорема 2. Операция умножения на множестве натуральных чисел коммутативна, т.е. для любых натуральных чисел х и у имеет место формула

х у = ух.

Теорема 3. Операция умножения на множестве натуральных чисел ассоциативна, т.е. для любых натуральных чисел х, у и z имеет место формула

(х у) z = х( уz).

Законы умножения натуральных чисел доказываются аналогично законам сложения.

§ 8. Отношение > для натуральных чисел

Определение. Будем говорить, что натуральное число а больше натурального числа b, и писать, если существует натуральное число k такое, что a=b+k, т.е.

а>bkN a=b+k.

Установим основные свойства отношения >.

Свойство 1. Для любых натуральных чисел a и b справедливо одно и только одно из утверждений:

1. a>b;

2. a=b;

3. b>a.

Доказательство. Покажем вначале выполнимость требования «только одно», т.е.

1. отношения a>b и b>a не могут выполняться одновременно,

2. отношения a>b и a=b не могут выполняться одновременно.

Предположим, что 1) не выполнено, т.е. для некоторых натуральных чисел a и b одновременно имеем a>b и b>a. Тогда существуют некоторые числа k, l, такие, что a=b+k и b=a+l. отсюда a=(a+l)+k=a+(l+k), что противоречит теореме 3 §5.

Предположим, что не выполнено 2), т.е. для некоторых натуральных чисел a и b одновременно имеем a>b и b=a. Тогда, a=b+k и с учетом a=b имеем a=а+k, снова противоречие с теоремой 3 §5. Единственность установлена.

Покажем теперь выполнимость хотя бы одного из условий 1)-3). Проведем доказательство индукцией по b при произвольно зафиксированном элементе aN.

При b=1 возможны два случая:

а) а=1, в этом случае имеет место соотношение 2);

б) а≠1, тогда по теореме 2 §2 существует натуральное число m такое, что а=m', т.е. а=m+1=1+ m и, значит, а>1, т.е. выполнено 3).

Предположим, что для а и b имеет место одно из соотношений 1), 2), 3), и докажем что для а и b' имеет место одно из соотношений указанного типа. Необходимо рассмотреть три случая.

а) Пусть a>b, т.е. a = b+k. Если k=1, то имеем a = b+1. Тогда а=b' и для а и b' выполнено условие 2). Если k ≠ 1, то k = l' или k = l+1. Тогда a = b+(l+1) = = b+(1+l) = (b+1)+l = b'+ l. Получили a>b', т.е. выполнено 1).

б) Пусть a=b. Тогда b' = a+1, т.е. b'>a. Получили 3).

в) Пусть b>a. Тогда b = a +k, b' = a +k' и b'>a. Получили 3).

Итак, для а и b' имеет место одно из соотношений 1), 2), 3). Ч. т. д.

Свойство 2. Для любых натуральных чисел a, b и с, если a>b и b>c, то a>c, т.е. отношение > транзитивно.

a>b и b>c, тогда а=b+k и b=c+l для некоторых натуральных k и l. Тогда a = c + (k+l) и, поэтому, a>c. Ч. т. д.

Свойство 3. Для любых натуральных чисел a, b и с справедливы равносильности

a > b a + c > b + c,

a > b ac > bc.

Доказательство. Пусть a > b. Тогда а = b + k и a + c = b + c + k. Отсюда a + c >  b + c. Обратно, пусть a + c > b + c. Если неравенство a > b не выполнено, то по свойству 1 a = b или b > a. Если a = b, то a + c = b + c. Получили одновременное выполнение a + c >  b + c и a + c = b + c, что невозможно по свойству 1. Если b > a, то выполнено одновременно b + с > a + с и a + c > b + c, что также невозможно. Доказательство второй равносильности аналогично.

Свойство 4. Для любых натуральных чисел a, b, с и d, если a > b и c > d, то a + c > b + d и ac > bd, т.е. неравенства можно почленно складывать и умножать.

Доказательство аналогично предыдущим.

Определим на множестве натуральных чисел отношения <, ≥, ≤ следующим образом:

a < b b > a,

a ≥ b a > b или a = b,

a ≤ b a < b или a = b.

Можно доказать свойства этих отношений, аналогичные свойствам 2)-4)

Свойство 5. Для всех aN, справедливо утверждение 1 ≤ а.

Доказательство.