§ 3. Принцип полной математической индукции

Аксиома индукции служит для обоснования мощного метода доказательства теорем, который основан на следующем утверждении.

Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Предложение Т(п) с переменной пNверно для любого натурального числа п, если выполнены следующие условия:

1) это предложение верно для п = 1, т.е. Т(1) истинно,

2) каково бы ни было натуральное число п, из предположения о том, что это предложение верно для п, следует, что оно верно для непосредственно следующего натурального числа п', т. е. если Т(п) истинно, то и Т(п') истинно.

Доказательство. Обозначим через М множество всех натуральных чисел, для которых Т(п) истинно:

М = {пN : Т(п)истинно}.

Из условия 1) следует, что 1М.Пусть натуральное число пМ.Тогда Т(п) истинно и по условию 2) должно быть истинно Т(п'), а значит, п'М.Таким образом, оба условия аксиомы индукции IV выполнены, следовательно, M = N. Но это и означает, что Т(п) верно для любого пN. Ч.т.д.

§ 4. Сложение натуральных чисел

Определение. Сложением натуральных чисел назы­вается такое соответствие, которое каждым натуральным числам а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число а + b и обладает следующими свойствами:

1) а+ 1 = а' для любого аN,

2) а + b' =(а + b)' для любых a и bN.

Числа а и b называются слагаемыми, а число а + b — их суммой.

Встает вопрос о существовании и единственности операции сложения натуральных чисел. Прежде чем ответить на этот вопрос, проверим вначале существование некоторых функций на множестве N.

Теорема 1. Для любого элемента а из множества натуральных чисел, существует функция f_a(x):N→N, обладающее следующими свойствами:

1. f_a(1)=a', (1)

2. f_a(b')=[f_a(b)]'. (2)

Отметим, что для каждого элемента а подбирается своя функция, обозначаемая знаком f_a, который является слитным символом, не имеющим каких-либо частей.

Доказательство. Рассмотрим подмножество М во множестве N, где

М = {а N| функция f_a существует}.

Достаточно проверить, что М = N. Установим это равенство с помощью аксиомы индукции. Докажем истинность се посылок 1) и 2).

1) Проверим, что 1 М, т.е. существует функция f₁ обладающая следующими свойствами:

f₁ (l) = l', (3)

f₁ (b') = [f₁ (b)]'. (4)

Определим функцию f₁ по правилу

f₁ (x)= х'. (5)

Тогда f₁ (l) = 1', что и нужно в (3).

Проверим выполнение второго равенства (4) для функции f₁ . По правилу задания функции f₁ в (5) имеем f₁ (b') = (b')' и [f₁ (b)]' = (b')' Получили выполнение второго свойства для функции f₁. Итак, 1 М.

2) Проверим, что а М влечет а' М. Дано а М. Поэтому существует функция f_a,(х) с условиями (1) и (2). Требуется доказать, что а' М, т.е. нужно найти функцию f_а'(х), также удовлетворяющую данным условиям.

Зададим искомую новую функцию f_а'(х) через имеющуюся старую функцию f_a(x) по правилу

f_а'(х) = [f_a(x)]' (6)

Проверим выполнение условий (1) и (2) для новой функции f_а'(х). Для записи этих условий нужно заменить букву а на а'. Поэтому, проверяемые условия имеют вид

1. f_а'(1) = (a')' (7)

2. f_а'(b') = [f_a' (b)]' (8)

Установим выполнение первого условия. Применим определение (6) функции f_а'(х) при х = 1 и получим f_а'(1) = [f_а(1)]'. Так как старая функция f_а удовлетворяет условию (1), то f_а (1) = а'. Поэтому, [f_а (1)]' = (а')', что и нужно.

Проверим выполнимость второго (8). Рассмотрим левую часть f_а'(b'). По определению функции f_а'(х) и второму условию для f_а имеем f_а'(b') = [f_а(b')]' = [(f_а(b))']'. Правая часть [f_a' (b)]' равна [(f_а(b))']' по определению функции f_а'(х) и совпадает с левой частью. Итак, а' М и пункт 2) доказан. Ч. т. д.

Теорема 2. Операция сложения существует.

Доказательство. Определим операцию + на множестве N, используя функцию f_a(x) из предыдущей теоремы. Пусть а, bN.Считаем, что

a+b=f_а(b) (9)

Проверим первое условие из определения операции сложения, т.е. a + 1 = а'. По определению (9) имеем a + 1 = f_a(1). По (1) верно f_a(1) = а'. Получили a + 1 = а'.

Второе условие из определения операции сложения имеет вид а + b' = (а + b)'. По определению сложения а + b'  = f_а(b'). По (2) верно равенство f_a(b')=[f_a(b)]'. Поэтому а + b' =[f_a(b)]'. Правая часть (а+b)' имеет вид [f_a(b)]' и равна левой части. Итак, для операции + выполняются два требуемых условия. Ч. т. д.

Теорема 3. Операция сложения, определена однозначно.

Доказательство. Требуется проверить, что не существует двух различных операций сложения + и. Для этого допустим, что обе операции + и явля­ются операциями сложения. Нужно установить, что a, b N a+b= ab, т.е. операции + и совпадают.

Зафиксируем произвольный элемент аNи рассмотрим множество

М = {b N : а+b = аb}.

Достаточно проверить, что М = N.

1) Установим, что 1 М, т.е. а + 1 = a 1. Так как операция + является операцией сложения, то a + 1 = а'. Аналогично, операция является сложе­нием и, поэтому, a 1 = а'. Из a + 1 = а' и a 1 = а' получаем а + 1 = а 1, что и нужно.

2) Пусть bМ, т.е. a+b= ab. Покажем, что b'М, т.е. a+b'= ab'. Так как + и — операции сложения, тоa + b'= (а+b)' и a b'= (аb)'. Применяя a+b= ab, получим a + b' = a b', т.е. b'М.Отсюда М =N. Ч. т. д.