§ 29. Векторные пространства и алгебры

Пусть дана коммутативная группа A по сложению (11,1) с элементами и, v,…, в которой, кроме сложения элементов, определено еще также умножение их на действительные числа а, b,... так, что произведение аи принадлежит группе A, где а — любое действительное число, а и — любой элемент из А.

Определение 1. Элемент и группы A называется линейной комбинацией элементов относительно поля действительных чиселD, если в D имеются такие числа , что выполняется равенство

Например, каждый кватернион является линейной ком­бинацией четырех элементов 1, i, j, k, так как Роль группыA здесь выполняет множе­ство всех кватернионов.

Определение 2. Система элементов группы A называется линейно зависимой над полем дейст­вительных чисел D, если какой - либо элемент этой системы является линейной комбинацией остальных её элементов. В противном случае система называется линейно независимой. В частности, если зависимая система состоит только из двух элементов u и v, т. е. , то элемент и называется пропорциональным элементу v.

Теорема 3. Для того чтобы система элементов группы A была линейно зависимой над полем D, необходимо и достаточно, чтобы существовали действительные, не все равные нулю, числа такие, чтобы выполнялось равенство

Доказательство. Пусть система элементов линейно зависима, т. е.

Тогда

где .

Обратно, пусть где. Тогда

т. е. элемент является линейной комбинацией остальных элементов.

Эту доказанную теорему можно принять в качестве оп­ределения линейной зависимости элементов группы A от­носительно поля D.

Следствие 4. Для того чтобы система элемен­тов группы A была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство

выполнялось только при условии .

Например, равенство выполняется только при условииследовательно, си­стема 1,i, j, k линейно независима над полем действительных чисел D.

Определение 5. Линейно независимая система элементов группы A

называется базисом этой группы, если любой элемент из A является линейной комбинацией элементов данной системы. Говорят также, что любой элемент из A линейно выражается через базис данной группы.

Например, система 1, i, j, k является базисом группы кватернионов Q.

Определение 6. Коммутативная группа по сложению A называется n - мерным векторным про­странством над полем действительных чисел D, ес­ли в A определено умножение элементов на действитель­ные числа, обладающее следующими свойствами:

1. Произведение аи всегда принадлежит А.

2. .

3. .

4. .

5. В группе A имеется базис, состоящий из n элементов

Всякий элемент n - мерного векторного пространства A называется n - мерным вектором, а число элементов базиса n называется размерностью данного пространства.

Следствие 7. Из условий 2 и 4 определения 30,6 следует:

В частности, при b = 1 и при b = 0 получаем:

Следствие 8. Из условия 3 определения 30,6 и свойств элементов группы A следует:

т. е. сложение элементов n - мерного векторного простран­ства сводится к сложению соответственных компонентов (действительных чисел).

Следствие 9. Каждый элемент векторного про­странства A линейно выражается через базис единствен­ным образом (однозначно).

Доказательство. Из следует

Последнее равенство ввиду линейной независимости базиса возможно тогда, и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т. е.

Теорема 10. n - мерное векторное пространство A над полем D с точностью до изоморфизма однозначно оп­ределяется заданием размерности, т. е. все n - мерные вектор­ные пространства над полем действительных чисел изомор­фны друг другу.

Доказательство. Если и базисы двухn - мерных векторных пространств A и B, то изоморфным соответствием будет

так как это соответствие взаимно однозначное и оно не будет нарушаться при сложении и умножении векторов на действительные числа.

На основании теоремы 30,10 мы можем понимать под n - мерным вектором просто упорядоченную систему n действительных чисел Сумма двух векторов тогда будет определяться как вектор а произведение — как вектор

Свойства 1 — 4 определения 30,6 в определенном таким образом множестве векторов будут автоматически выполняться. Далее, в качестве базисных элементов -мерного векторного пространства проще всего можно выбрать векторы, называемые единичными векторами:

. . . . . . . . . . . . . . .

Система единичных векторов линейно независима, так как равенство

будет выполняться тогда, и только тогда, когда . В этом же множестве выполняется и свойство 5 определения 30,6, так как для всякого вектора имеет место равенство

Таким образом, множество А всех упорядоченных систем действительных чисел на самом деле обра­зует -мерное векторное пространство.

Определение 30,11. -мерное векторное прост­ранство над полем действительных чисел называется алгеброй или гиперкомплексной системой ранга над полем , если в определено еще умножение элементов друг на друга, которое подчиняется закону ассоциативности и связано со сложе­нием обоими законами дистрибутивности, кроме того, выполняется условие:

6. для всех из .

Если при этом алгебра является телом, то она называется алгеброй с делением.

Следствие 30,12. Из условия 6 следует равенство:

(I)

Следствие 30,13. Из выполнения законов дистри­бутивности в следует равенство:

(II)

Последнее равенство показывает, что для вычисления произведения любых элементов из достаточно знать произведение любых базисных элементов и . При этом про­изведение базисных элементов само должно быть линейной комбинацией базисных элементов, т. е. должно выполняться равенство:

(III)

Таким образом, для составления таблицы умножения базисных элементов потребуется действительных чисел (всех произведений будет , а для каждого такого произ­ведения требуется коэффициентов), которые называ­ются структурными константами этой алгебры.

При произвольном выборе структурных констант закон дистрибутивности следует из условий II и III. Для выпол­нения же закона ассоциативности умножения необходимо и достаточно еще потребовать его выполнения для базисных элементов

(IV)

Требования II, III, IV вместе с требованиями из следствий 7 и 8, т.е. вместе с требованиями:

,

.

полностью определяют операции в алгебре над по­лем .

Если еще умножение базисных элементов алгебры над полем коммутативно, т. е. для любых элементов и то алгебра будет коммутативной алгеб­рой с делением.

Примеры алгебр с делением над полем действительных чисел.

1. Само поле действительных чисел D есть алгебра ранга 1. Базис этой алгебры состоит из одного элемента — единицы.

2. Поле комплексных чисел есть алгебра ранга 2. Базис этой алгебры состоит из двух элементов 1 и

3. Тело кватернионов есть алгебра ранга 4. Базис этой алгебры состоит из четырех элементов 1, .

Следует иметь в виду, что в качестве базисных элементов алгебры могут быть выбраны и другие элементы дан­ной алгебры, но во всех случаях их число будет одно и то же, равное рангу алгебры .

Мы уже видели, что поле действительных чисел R является максимальным архимедовски расположенным полем, поэтому при переходе к полю комплексных чисел пришлось отказаться от выполнения аксиомы Архимеда и вместе с этим и от аксиом скалярного расположения. При переходе от поля комплексных чисел к телу кватернионов пришлось отказаться от коммутативности умножения. Дальнейшие расширения приводят к потере других важных свойств числовых множеств, в частности закона ассо­циативности умножения и других.

Оказывается, что перечисленными тремя примерами ассоциативных алгебр с делением над полем действительных чисел с точностью до изоморфизма исчерпываются все такие алгебры.

Теорема Фробениуса. Поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов являются единственными с точностью до изоморфизма ассоциативными алгебрами с делением конечного ранга над полем действительных чисел R .

Доказательство. Пусть над полем R дана ассоциативная алгебра с делением ранга . Так как содержит единицу, то в содержится целиком поле R или поле , изоморфное полю R. если , то алгебра совпадает c R или изоморфна R.

Если , то для проведения доказательства, данной теоремы нам потребуется еще одно свойство -мерных векторных пространств.

Теорема 14. Всякие элементов -мерного векторного пространства над полем действительных чисел R составляют линейно зависимую систему.

Доказательство. Из курса высшей алгебры известно, что система однородных линейных уравнений с числом неизвестных, большим числа уравнений данной системы, всегда имеет и не нулевые решения. Пусть даны произвольные элементов данного -мер­ного векторного пространства и — базис этого пространства. Тогда

, , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

(1)

Умножаем почленно эти равенства соответственно на некоторые действительные числа (как показано выше) и затем складываем полученные после такого умножения равенства почленно. После этого получим ра­венство

(2)

справедливое при любом выборе множителей Система уравнений

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

согласно сделанному в начале доказательства замечанию имеет по меньшей мере одно не нулевое решение (таких ре­шений будет бесконечное множество) т. е. решение, в котором не все при равны нулю. При из равенства (2) получается равенство

которое показывает, что, по теореме 30,3, элементы составляют линейно зависимую систему. Теорема доказана.

Пусть теперь — произвольный элемент из алгебры , не являющийся действительным числом (не принадлежащий и множеству, изоморфному R). Для элементов число которых равно найдутся действитель­ные числа не все равные нулю, что будет выполняться равенство

т.е. элемент является корнем уравнения

с действительными коэффициентами, степень которого не

выше .

Кроме того, из курса высшей алгебры известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители тоже с действительными коэффициентами не выше второй степени. Так как в алгебре дели­тели нуля отсутствуют ( является телом), то элемент должен быть корнем некоторого квадратного уравнения

с дискриминантом, меньшим нуля (в противном случае элемент был бы действительным числом).

Из получаем:

Таким образом, в любой алгебре ранга содер­жится по меньшей мере один элемент

со свойством . Такой элемент будем называть мнимой единицей алгебры .

Если то любой элемент алгебры будет линейной комбинацией элементов 1 и , а поэтому получаем поле комплексных чисел или поле, ему изоморфное.

Если , то в алгебре найдется элемент , не являющийся линейной комбинацией элементов 1 и и удовлетворяющий уравнению

тоже с отрицательным дискриминантом. Тогда элемент

тоже будет мнимой единицей алгебры , так как . Элементы составляют линейно независимую систему над полем действительных чисел (в противном случае элемент был бы линейной комбинацией элементов 1 и ). Так как всякий элемент алгебры, не являющийся действительным числом (элементы поля, изоморфного полю R, не будем отличать от соответственных действительных чисел) удовлетворяет некоторому квадратному уравнению, то элементы и должны быть корнями некоторых уравнений

с действительными коэффициентами. Тогда из

следует из

следует

Складывая почленно равенства

(1)

с учетом получим:

или

(2)

Из последнего равенства ввиду линейной независимости элементов 1следует , т. е. . Теперь из (1) получаем:

(3)

где — действительное число, равное .

Положим

(4)

Элементы — линейно независимы над полем действительных чисел, так как из линейной зависимости между ними следовала бы линейная зависимость между . Теперь, имея в виду равенство (3), получаем:

т. е. этот квадрат оказывается действительным числом, которое будет даже отрицательным. В самом деле, элемент не является действительным числом, так как иначе уже между ним и единицей существовала бы линейная зависимость. Если бы число было положительным, т. е.

то из следовало бы, что алгебра имеет делители нуля, так как не может равняться или .

Таким образом,

где — действительное число.

Положим, наконец,

Элементы снова будут линейно независимыми над полем , так как отличается от лишь действительным множителем.

Далее,

Теперь, по (3), (4), (5), получаем:

Откуда имеем:

(6)

Положим . Если бы элемент был линейной комбинацией элементов , т. е.

с действительными коэффициентами то, умножая обе части этого равенства слева на , мы получили бы

или

Из последнего равенства ввиду линейной независимости элементов следовало бы , что невозможно, так как — действительное число. Таким образом, элементы оказываются линейно независимыми, откуда выте­кает, что .

Следовательно, над полем действительных чисел алгебры ранга 3 с делением не существует.

Если , то каждый элемент алгебры будет линейной комбинацией четырех элементов т. е. будет иметь вид:

причем единичные элементы будут перемножаться по таблице умножения единичных элементов тела кватернионов.

Например, из

следуют соотношения:

и другие.

Таким образом, при алгебра совпадает с телом кватернионов или изоморфна телу кватернионов.

Предположим, наконец, что . Тогда в алгебре существует элемент , не являющийся, линейной комбинацией элементов а потому в существует еще по меньшей мере одна мнимая единица , также не являющаяся линейной комбинацией элементов . Применяя такие же рассуждения, какими пользовались при выводе формулы (3), получим равенства:

где — некоторые действительные числа. Отсюда бу­дем иметь:

т. e.

Умножая обе части последнего равенства справа на , получим:

или

Откуда следует, что элемент является линейной комбинацией элементов в противоречие с предположением. Следовательно, случай оказывается невозможным. Этим теорема Фробениуса доказана.

Из теоремы Фробениуса следует, что ассоциативно-ком­мутативных алгебр с делением над полем действительных чисел с точностью до изоморфизма существуют только две: поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Алгебра с делением — ассоциативная, но не коммутативная, над полем действительных чисел с точностью до изоморфизма существует только одна: тело кватернионов.

Над полем действительных чисел существует ёще одна алгебра с делением, ранг которой равен 8. Но эта алгебра не является ни коммутативной, ни ассоциативной, так как законы коммутативности и ассоциативности не выполняются для ее базисных элементов .

Эта алгебра называется алгеброй Кэли.

Доказано, что размерность алгебры конечного ранга с делением может равняться только и . Следовательно, при дальнейшем повышении размерности такой алгебры у нее появляются делители нуля. Поэтому деле­ние на элементы, отличные от нуля, становится не всег­да возможным.

С этими вопросами можно подробнее ознакомиться по книге: А.Г. Курош, лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.

53