§25.. Полнота пространства действительных чисел.

Определение 11. Последовательность действительных чисел называетсяфундаментальной, если .

Таким образом, данное в §2 определение 3 является частным случаем определения 11.

Определение 12. Пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится.

Теорема 13. Пространство действительных чисел полное.

Доказательство. Пусть - ФП. Построим для каждого члена этой последовательности последовательность десятичных приближений по недостатку:,, …,, …

Запишем эти последовательности в виде бесконечной прямоугольной таблицы:

: ,,,, …,, …

: ,,,, …,, …

: ,,,, …,, …

… … … … … … … … …

: ,,,, …,, …

: ,,,, …,, …

Положим ,,,, …,, …

Как отмечено в предыдущем параграфе . Утверждаем, чтоесть ФП.

Возьмем произвольное (теперь, после определения 11, числоне обязательно выбирать рациональными). Подберем натуральное числотак, чтобы длявыполнялось неравенство. Так как- ФП, то

.

Если , то дляnбудут выполняться оба неравенства:

Рассмотрим . Имеем

Итак, а это и означает фундаментальность последовательности {r_n}.

Так как {r_n}- ФП рациональных чисел, то она принадлежит некоторому классу, определяющему число α: {r_n}.

Докажем, что

В самом деле, так как {r_n}, то по теореме 12, для произвольногоимеем

Как и выше, можно найти такое натуральное N_1, .

Если положить ,то длябудем иметь

Итак,

Но это и означает сходимость последовательности к числу

Нетрудно доказать и такое утверждение: всякая сходящаяся последовательность действительных чисел фундаментальна. Это фактически сделано выше при доказательстве достаточности в теореме 12 (нужно только снять требование рациональности членов последовательности). Объединив это утверждение с теоремой 12, приходим к следующему результату:

Теорема 14. (Критерий Коши)

Для того, чтобы последовательность действительных чисел была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

§26.. Заключительные замечания.

Подведем итоги сказанному в предыдущих параграфах. Построено множество действительных чисел, которые можно рассматривать как множество бесконечных десятичных дробей. Поскольку всякое рациональное число можно отождествлять с периодической или смешанно- периодической десятичной дробью, то множество Q рациональных чисел есть подмножество множества действительных чисел: Q R.

В множестве R введены операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим свойствам:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

На множестве R введено отношение > , причем выполняются следующие свойства:

10. Для любого имеет место один и только один из трех случаев:

11. Если то

12. Если то существует натуральное числоN такое, что N

Наконец, для множества R определено понятие сходимости последовательности, причем выполняется следующее свойство:

13. Любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится:

Свойства 1) - 13) – основные свойства действительных чисел, они могут составить полный список аксиом при аксиоматическом построении множества действительных чисел.

У нас не отмечено одно из важнейших свойств множества действительных чисел – свойство непрерывности. Оно может быть получено из свойств 12) и 13) в двух формулировках: либо в формулировке Вейерштрасса – всякое бесконечное ограниченное множество действительных чисел имеет предельную точку (это сделано в книге) (2) (либо в формулировке Кантора – стягивающаяся система отрезков обладает единственной общей точкой).