§22.. Упорядоченность множества действительных чисел.

Определение 8. Пусть α≠0 и А – класс, определяющий число α. Если в классе А есть последовательность, состоящая только из положительных рациональных чисел, то α называется положительным действительным числом. Если в классе А есть последовательность, состоящая из одних отрицательных рациональных чисел, то α называется отрицательным действительным числом.

Теорема 9. Для любого действительного числа α имеет место одно и только одно из трех соотношений : α=0, α-положительное число,α- отрицательное число.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть дано действительное число α≠0. Тогда в классе, определяющем число α, существует последовательность, состоящая только из положительных или только из отрицательных рациональных чисел – это вытекает из теоремы 8.

Достаточно поэтому показать, что в этом классе не может быть двух последовательностей таких, что все члены одной последовательности положительны, а все члены другой – отрицательны.

Предположим, что {a_n}α, {b_n}α и пусть (n) a_n >0. (n) b_n <0. По лемме 3 имеем

(₁>0) (N₁) (₁) a_n > ₁,

(₂>0) (N₂) (₂) b_n > ₂

Положим N=max(N₁N₂), r=₁ + ₂. Тогда

()a_n - b_n > r

Это значит , что { a_n - b_n } не является БМ, то есть последовательности {a_n} и {b_n} не эквивалентны и не принадлежат одному и тому же классу.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Формально нужно еще показать, что α+β≠0 и α*β≠0.

Теорема 10. Если α и β- положительные действительные действительные числа, то α+β то и α*β – положительные числа.

Для доказательства достаточно в классах, определяющих числа α и β, выбрать последовательности, состоящие из одних положительных членов.

Определение 9. Пусть α и β – различные действительные числа. Говорят, что α больше β (и пишут α>β), если (α - β) - положительное число. Говорят , что α меньше β (и пишут α < β), если (α - β) отрицательное число.

Из определения 9 и теорем 9, 10 формально - логически без труда получаются основные свойства числовых неравенств для действительных чисел, аналогичные свойствам 2. 1- 2.11 из § 1. Особо остановимся на доказательстве свойства 1, 12(аксиомы Архимеда).

Теорема 11. Для любых положительных чисел α и β существует натуральное число N такое, что Nα>β.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как α- положительное число, а значит, класс А, определяющий число α, не содержит бесконечно малых последовательностей , то, по теореме 8 существует рациональное число d>0 и последовательность {a_n}α такие, что ()a_n > (1).

Далее, возьмем в классе В , определяющем число β, последовательность {b_n}, состоящую из одних положительных членов. По теореме 1, последовательность {b_n}- ограниченна, значит:

(М>0) ()b_n < M (2)

Для положительных рациональных чисел и М+ 1 справедливо свойство 1.12 из § 1аксиома Архимеда, то есть Существует натуральное числоn такое, что < М+ 1 (3).

Рассмотрим теперь последовательность {c_n} такую , что c_n=Na_n - b_n, она фундаментальная по следствиям 1 и 3 теоремы 3. Из неравенств (1),(2),(3) следует , что Na_n - b_n > Pd- M>1.

Итак, ()с_n> 1. Значит {c_n} - регулярная последовательность с положительными членами, Тогда число γ=N d-β, определяемое классом, которому принадлежит последовательность {c_n} , положительно. Значит N d > β что и требовалось доказать.