§21. Отношение эквивалентности на множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Определение 4. Две фундаментальные последовательности иназовемэквивалентными и будем писать~, если- бесконечно малая последовательность.

Легко показать, что введенное таким образом на множестве ФП бинарное отношение рефлексивно (~), симметрично ( если~, то~) и транзитивно ( если~и~, то~), а поэтому является отношением эквивалентности. Примером эквивалентных последовательностей могут служить любые две БМ.

В следующих ниже теоремах отмечаются некоторые свойства эквивалентных последовательностей (мы рассматриваем только ФП).

Теорема 5. Если ~и~, то~.

Доказательство. Именно . Значит, по лемме 2,- БМ. Этим эквивалентность последовательностейидоказана.

Теорема 6. Если ~и~, то~.

Доказательство. Положим . Мы должны показать, что- БМ. Имеем. Итак,

(1).

Далее, по теореме 1, из фундаментальности последовательностей иследует их ограниченность, то есть

(2)

(3)

Зададимся теперь произвольным рациональным числом r>0. По условию ~,~, следовательно- БМ,- БМ. Тогда

, (4)

. (5)

Пусть . Из неравенства (1), (2), (3), (4), (5), получаем.

Итак . Значит,- БМ и теорема доказана.

Теорема 7. если в фундаментальной последовательности отбросить первыечленов, то оставшаяся последовательность будет эквивалентна исходной.

Доказательство. Положим . Ясно , что- ФП. Зададимся произвольным числомr>0. Из фундаментальности следует:. В частности приn≥N, ,то есть . Но это все и означает, что- БМ.

Из доказанной теоремы и леммы 3 следует:

Теорема 8. Пусть - ФП, не являющаяся бесконечно малой. Тогда существуют регулярная последовательностьи рациональное числоd>0 такие, что все члены последовательности либо положительны и большеd, либо отрицательны и меньше –d и ~.

§4. Определение действительного числа.

Произведем разбиение множества всех ФП на классы по введенному выше отношению эквивалентности. Тогда каждый класс будет представлять собой множество эквивалентных друг другу ФП, а если последовательности взяты из разных классов, то эти последовательности не эквивалентны. Примером класса может служить класс бесконечно малых последовательностей.

Определение 5. Припишем каждому классу эквивалентных ФП свой символ. Этот символ назовем действительным числом, определенным данным классом.

Определение 6. Пусть и- действительные числа, определяемые, соответственно, классамиА и В. Полагаем =тогда и только тогда, когдаА=В.

Определение 7. Пусть и- действительные числа, определяемые, соответственно, классамиА и В. Пусть ,,C – класс, которому принадлежит последовательность , аD класс, которому принадлежит последовательность . Тогда действительное число, определяемое классомC, называется суммой чисел ии обозначается+, а действительное число, определяемое классомD называется произведением чисел ии обозначается .

Это определение корректно, так как по теоремам 2 и 3 последовательности ифундаментальны, то есть принадлежат некоторым классам ФП, по теоремам 5 и 6, классыC и D не будут зависеть от выбора конкретных представителей в классах А и В.

Пусть А – некоторый класс ФП. В этом классе не может быть более одной стационарной последовательности так как, если и- различные рациональные числа, тоне является БМ. Итак, в классеА либо есть одна стационарная последовательность , либо нет ни одной стационарной последовательности. В первом случае отождествим действительное число, определяемой классомА, с рациональным числом r. Ясно, что в применении к рациональным числам получаются обычные определения суммы и произведения.

Отметим свойства операций сложения и умножения действительных чисел (эти числа будем обозначать греческими буквами).

1) +=+,

2) +(+)=(+)+,

3) =,

4) ()=(),

5) (+)=+,

6) +0=.

Эти свойства непосредственно следуют из соответствующих свойств операций сложения и умножения на множестве рациональных чисел. Рассмотрим для примера доказательство свойства дистрибутивности.

Пусть , такую запись следует понимать так: действительное числоопределяется классом, которому принадлежит ФП. Пусть далееи. Тогда, по определению 7,, а.

С другой стороны _ Ноa_n( b_n+ c_n)=a_nb_n+a_nc_n , то есть последовательность {a_n(b_n+c_n)} и {a_nb_n + a_nc_n} совпадают. Тогда и классы, содержащие эти последовательности, совпадают, то есть

α (β + γ) =αβ + αγ

7) Для любого числа α найдется число β такое, что

α + β= 0

В самом деле, пусть {a_n} α , а β – число, определяемое классом, которому принадлежит {-α}. Так как {a_n+ (-a_n)}= {0}, то α + β=0.

Число β обозначается –α называется числом, противоположным числу α. Значит , α +(-α)=0. Разностью действительных чисел α и β называется число α+(-β).

8) α*1=α

Для доказательства этого свойства достаточно в качестве представителя класса, определяющего число α, взять отрицательную последовательность {1}.

9) Для любого α≠0 существует число β такое, что

α*β=1

В самом деле, 0- это число , определяемое классом, которому принадлежит последовательность {0}. Тому же принадлежит и любая БМ. Следовательно, ввиду α≠0 никакая последовательность из класса, определяющего число α , не является БМ. Тогда по теореме 8 существует регулярная последовательность {a_n}α, откуда по теореме 4, {1/a_n} – ФП. Пусть число определяемое классом, которому принадлежит {1/a_n}. Так как {a_n*(1/a_n)}= {1} , то α*β=1 .

Число β обозначается 1/α и называется числом, обратным числу α. Теперь мы можем говорить о делении действительных чисел: если β≠0, то частным от деления α на β называется число α*(1/β).