§19..Дальнейшие свойства рациональных чисел.

Построение множества действительных чисел мы будем осуществлять, считая известным множество рациональных чисел, перечисляя лишь основные свойства рациональных чисел.

На множестве рациональных чисел определены две операции – сложение и умножение, причем для любых рациональных чисел a, b, c выполняются следующие условия:

Ι.1. a+b=b+a

Ι.2. a+(b+c)=(a+b)+c

Ι.3. a+0=a

Ι.4. Для любого рационального числа a существует рациональное число b такое, что a+b=0. Это число обозначается (-a) и называется числом, противоположным числу a. Таким образом a+(-a)=0

Ι.5. ab=ba

Ι.6. a(bc)=(ab)c

Ι.7. a·1=a

Ι.8. Для любого a≠0 существует число b такое, что ab=1. Это число обозначается и называется числом обратным числу a. Таким образом, a·=1, если a≠0.

На множестве рациональных чисел определены понятия положительного и отрицательного числа, причем выполняются следующие свойства:

Ι.10. Для любого рационального числа a имеет место одно и только одно: а) a=0 , б) a – положительное число, в) a – отрицательное число.

Ι.11. Сумма двух положительных чисел есть число положительное, произведение двух положительных чисел есть число положительное.

На множестве рациональных чисел вводится отношение порядка: полагают, что a больше b, и пишут a>b, если (a-b) – положительное число; если же (a-b) отрицательное число, то полагают, что a меньше b, и пишут a<b.

Отношение порядка удовлетворяет одному важному свойству, обычно называемому аксиомой Архимеда:

Ι.12. Для любых положительных чисел a и b найдется натуральное число N такое, что Na>b.

Из определения отношения порядка и свойств Ι.10-Ι.11 без труда получаются основные свойства числовых неравенств (для рациональных чисел):

2.1. Для любых рациональных чисел a и b имеет место одно и только одно из трех отношений: a>b, a<b, a=b.

2.2. Если a – положительное число, то a>0, если a отрицательное число, то a<0.

2.3. Если a>b, то b< a.

2.4. Если a>b, b>c, то a>c

2.5. Если a>b, то a+c>b+c

2.6. Если a>b, , то ac<bc

c>d, то a+c>b+d

2.7. Если a>b, c<d, то a-c>b-d.

2.8. Если a>b и c>0, то ac>bc

2.9. Если a>b и c<0, то ac<bc

2.10. Если a>b>0 и c>d>0, то ac>bd

2.11. Если a>b>0, то <.

Ниже приводятся некоторые дальнейшие утверждения и определения.

Лемма 1. Во всяком конечном множестве рациональных чисел есть наибольший и наименьший элементы.

Доказательство легко получается методом математической индукции.

Определения модуля (абсолютной величины) рационального числа:

=

Основные свойства модулей рациональных чисел:

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

Определение ограниченного множества.

Определение 1. Множество А рациональных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует рациональное число r такое, что для любого aA выполняется неравенство a<r (a>r). Множество, ограниченное и сверху, и снизу называется ограниченным.

В дальнейшем для удобства будем использовать кванторы. Например, определение ограниченности множества сверху с помощью кванторов запишется так: (.

Приведенное в определении 1 условие равносильно следующему

(

Введенные понятия можно распространить на последовательности рациональных чисел. Например, последовательность (в дальнейшем мы будем писать кратко) называется ограниченной сверху, если

Определение 2. Последовательность рациональных чисел называется бесконечно малой, если

Условимся для краткости, вместо фразы «бесконечно малая последовательность рациональных чисел», писать БМ.

Самым простым примером БМ является стационарная последовательность , то есть последовательность, состоящая из одних нулей: 0,0,0,…,0,… .

Лемма 2. Сумма двух БМ есть БМ.