§17. Умножение рациональных чисел и его свойства

Определение 1. Произведением рациональных чисел иназывается рациональное число.

Лемма 1. Операция умножения на множестве ℚ определена корректно, т.е. результат выполнения операции умножения не зависит от выбора представителей классов эквивалентности.

Доказательство. Пусть ~(1),~(2). Покажем, что·=·(3). Для доказательства (3) достаточно показать, что(4). Для доказательства (4) достаточно показать, что~(5). Для доказательства (5) достаточно показать, что(6). Докажем (6):

из (1) (1'), из (2)(2'). Перемножая почленно равенства (1') и (2'), получим (6). Таким образом, (6)(5)(4)(3). Лемма доказана.

Теорема 1. Алгебраическая система < ℚ^♯, · > является абелевой группой.

Доказательство. Из определения и леммы 1 следует, что операция · является алгебраической на ℚ^♯.

1) Покажем, что операция · является ассоциативной на ℚ^♯. Пусть ℚ^♯. Покажем, что . Действительно,,. Так как, то.

2) Покажем, что операция · является коммутативной на ℚ^♯. Пусть ℚ^♯. Покажем, что . Действительно,,. Так как операция · является коммутативной наℤ, то , и значит,.

3) ℚ^♯, причем ℚ^♯: , так как~.

4) Пусть ℚ^♯. Тогда ℚ^♯, где . Покажем, что. Действительно, если, то; если, то.

Из 1)-4) следует, что < ℚ^♯, · > - абелева группа. Теорема доказана.

Теорема 2. Алгебраическая система < ℚ^♯,+, · > является полем.

Доказательство.

1. По теореме 1' < ℚ, + > - абелева группа.

2. По теореме 2' < ℚ^♯, · > - абелева группа.

3) Проверим, что в ℚ выполняются дистрибутивные законы. Пусть ℚ. Покажем, что . Действительно,

,

.

Так как , то, и значит,. Таким образом, вℚ выполняется правый дистрибутивный закон. Поскольку операция · является коммутативной на ℚ, то в ℚ выполняется и левый дистрибутивный закон.

Из 1)-3) следует, что < ℚ^♯,+, · > - поле. Теорема доказана.

§18. Сравнение рациональных чисел и его свойства. Представление рационального числа в виде отношения целого числа к натуральному.

Определение 1. Рациональное число называетсяменьшим рационального числа , если.

Лемма 1. Отношение < на множестве ℚ определено корректно.

Доказательство. Пусть ~(1),~(2) и<(3). Покажем, что<(4). Для доказательства (4) достаточно показать, что(5). Докажем (5):

из (1) (1'), из (2)(2'), из (3)(3').

Умножая равенство (3') на b₁>0, получим , отсюда, с учетом (1'), имеем, разделив обе части неравенства наb>0, получим: (4).

Заметим, что с учетом равенства (2') и d>0, d₁>0, числа с и с1 могут либо быть одновременно положительны, либо одновременно отрицательны, либо одновременно равны нулю.

Далее, возможны 3 случая:

1) с>0, с₁>0. Умножая (4) на с₁, получим , откуда, с учетом (2'), разделив это неравенство на с, получим (5).

2) с<0, с₁<0. Умножая (4) на с₁, получим , откуда, с учетом (2'), разделив это неравенство на с, получим (5).

3) с=0, с₁=0. Тогда, и умножая наd₁ и деля на d получим

Лемма доказана.

Лемма 2. Алгебраическая система <ℚ, < > является линейно упорядоченным множеством.

Теорема 1. Алгебраическая система < ℚ,+, · , < > является упорядоченным полем.