Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы комбинаторики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

769.84 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

ЗАДАЧИ

Комбинаторика и классическое определение вероятности

1.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются?

2.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе могут повторяться?

3.Сколькими способами 5 человек могут стать в очередь друг за другом?

4.Фотограф выстраивает в ряд трех мужчин и четырех женщин так, чтобы мужчины и женщины чередовались. Сколькими способами он может это сделать?

5.Студент сдает в сессию 3 экзамена. Сколько существует различных комбинаций оценок, которые он может получить?

6.Сколькими способами можно выбрать старосту и профорга в группе студентов из 24 человек?

7.Сколькими способами из группы в 24 человека можно выбрать двоих делегатов на конференцию?

8.Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 одинаковых кубика. Какова вероятность того, что у случайно выбранного кубика есть окрашенная грань?

9.Какова вероятность, что при двух бросаниях игральной кости в сумме выпадет не менее 3 очков?

10.В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они белого цвета?

11.В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что они черного цвета?

12.В урне лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что они разных цветов?

13.В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найдите вероятность того, что среди двух извлеченных изделий: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

14.Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найдите вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

15.Среди 52 счетов 4 оформлены с ошибками. Ревизор наугад берѐт 2 счѐта. Какова вероятность того, что среди вынутых счетов будет: а) точно один неправильно оформленный счѐт; б) хотя бы один неправильно оформленный счѐт; в) два неправильно оформленных счета?

16.В группе из 5 юношей и 3 девушек по жребию разыгрываются 2 билета в кино. Какова вероятность того, что билеты достанутся юноше и девушке?

17.Студент из 30 вопросов к экзамену усвоил 24. Какова вероятность того, что он знает оба доставшихся ему вопроса?

18.Студент из 30 вопросов к экзамену усвоил 24. Какова вероятность того, что он знает все три доставшихся ему вопроса?

19.Из колоды в 36 карт случайным образом выбраны 3 карты. Какова вероятность того, что это тузы?

20. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобрано 9 студентов. Найдите вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

Теоремы сложения и умножения

21.Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что будут вынуты пики или туз?

22.Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8 стандартных деталей, во втором 7 . Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что они обе стандартные?

23.Имеется два ящика, в каждом из которых по 10 деталей; в первом ящике 8 стандартных деталей, во втором 7. Из первого ящика наугад вынимают две детали, из второго – одну деталь. Какова вероятность того, что ровно две из трѐх деталей стандартные?

24.Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,7. Какова вероятность ровно одного попадания?

25.Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,7. Какова вероятность хотя бы одного попадания?

26.Отдел контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найдите вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

27.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найдите вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

28.Из карточек с буквами составлено слово «колокол». Карточки перемешиваются, из них случайным образом отбирают по порядку и выкладываются в ряд слева направо 4 карточки. Какова вероятность того, что они образуют слово «клок»?

29.В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимают 2 шара без возвращения. Какова вероятность того, что первый шар белый, а второй черный?

30.Имеется 10 ключей, из которых только один подходит к двери. Ключи пробуют подряд. Какова вероятность того, что годный ключ попадѐт на четвѐртом шаге?

31.Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

Вероятность хотя бы одного наступления события

32.На полке в библиотеке в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

33.В ящике 10 шаров, из которых четыре окрашены. Взяли три шара. Найдите вероятность того, что хотя бы один из взятых шаров окрашен.

Формула полной вероятности

34. В магазин поступили партии обуви с двух фабрик: 30 % – с первой и 70 % – со второй. В продукции первой фабрики 50 % обуви коричневого цвета, в продукции второй – 80 %. Какова вероятность того, что наугад взятая пара обуви окажется коричневого цвета?

35.В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных. Из первой коробки во вторую случайным образом переложили один шар, перемешали и извлекли шар из второй коробки. Какова вероятность того, что он белый?

36.Имеются два ящика: в первом 2 белых шара и 4 черных; во втором 3 белых и 5 черных. Из первого ящика во второй перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второго ящика берут один шар. Найдите вероятность того, что этот шар будет белым.

37.В группе спортсменов 20 лыжников и 8 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,8, для бегуна – 0,7. Какова вероятность того, что наугад выбранный спортсмен выполнил норму?

38. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные – в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что взятая деталь оказалась отличного качества?

39.Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике два белых и один черный шар, во втором – один белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

40.В коробку, содержащую два шара, опущен белый шар, после этого из нее наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров.

41.Пассажир может обратиться за билетом в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их места расположения и равны соответственно 0,3, 0,6 и 0,1. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,4, для второй 0,6, для третьей 0,2. Найдите вероятность того, что пассажир, направившись за билетом в одну из касс, приобрел его.

Формула Бернулли

42.Монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что «герб» выпадет: а) ровно один раз; б) ровно три раза; в) менее двух раз; г) не менее двух раз.

43.В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает три счета. Если 3% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор найдет следующее: а) только один счет будет с ошибкой; б) хотя бы один счет будет с ошибкой?

44.Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найдите наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 30.

45.Игральная кость бросается 32 раза. Найдите наивероятнейшее число появлений числа очков, кратного трем, и вероятность такого события.

Дискретные случайные величины

Для случайных величин в задачах 46–51 постройте ряд распределения и найдите числовые характеристики.

46. В партии из 7 изделий 3 бракованных. Наудачу выбирают 5 изделий. Х – число стандартных изделий среди выбранных.

47.Стрелок делает выстрелы до первого попадания в цель. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрелку выдано 4 патрона. Х – число истраченных патронов.

48.Бросаются 2 игральные кости. Пусть X – сумма очков, выпавших на верхних гранях этих костей.

49.Вероятность сбоя одного компьютера в вычислительном центре в течение дня равна 0,2. Х – число компьютеров, на которых произошѐл сбой в течение дня, если общее количество компьютеров равно пяти.

50.Из ящика, в котором 3 белых и два чѐрных шара вынимают по очереди три шара (не возвращая их обратно, возвращая обратно). Х – количество белых шаров среди вынутых.

51.Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,7, для второго – 0,6. Х – общее число попаданий в мишень.

Непрерывные случайные величины

52. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана формулой

	0, если x 0,
f x ax2 , если 0 x 1,
	0, если x 1.

Найдите значение параметра а и числовые характеристики случайной величины.

53.Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределѐнной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Напишите плотность вероятности Х и найдите вероятность того, что Х примет значение, заключѐнное в интервале (15, 25).

54.Средняя масса шоколадных конфет, выпускаемых в коробках кондитерской фабрикой, равна 200 г, среднее квадратическое отклонение 5 г. Считая массу конфет нормально распределенной случайной величиной, найдите вероятность того, что масса коробки конфет заключена в пределах от 196 г до 207 г.

								Ответы
1.	60;	8.	7		;				11.		1	;
2.	125;	8.			;				11.			;
2.	125;	8								7
3.	120;	8								7
3.	120;			35							4
4.	144;	9.		35		;			12.		4	;
4.	144;	9.				;			12.	7		;
5.64;		36								7
5.64;							2		13.	а) 0,6,б) 0,3, в) 0,9;
6.	552;	10.					2	;	13.	а) 0,6,б) 0,3, в) 0,9;
6.	552;	10.				7		;
7.	276;					7
7.	276;

14.4951 ;

			С1	С1			32	, б) 1	С2	334
15.	а)		4		48				48		,
15.	а)		С2				221		С2	663	,
			С2				221		С2	663
				52					52
	С2			1
в)	4					;
в)	С2					;
	С2	221
	52

16.1528 ;

	С2				92	0,63;
17.	24
17.	С2			145
	С2			145
	30
	С3				506		0,5 ;
18.	24
18.	С3			1015
	С3			1015
	30
	С3				1
19.	4						;
19.	С3			1785			;
	С3			1785
	36
	С5	С	4			14
20.	8	4						;
20.	С9					55		;
	С9					55
		12

21.13 ;

22.108 107 0,56 ;

	С2	3	С1	С1	7	98
23.	8		8	2			;
23.	С2	10	С2		10	225	;
	С2	10	С2		10	225
	10			10

24.0,4·0,3 + 0,6·0,7 = 0,54;

25.1 – 0,6·0,3 = 0,82;

26.0,18;

27.0,14;

28.72 62 53 14 701 ;

29.83 75 1556 ;

30.109 89 78 17 101 ;

31.0,95 3 0,86 ;

	1	С3	67
32.		10			;
32.		С3	91		;
		С3	91
		15
	1	С3	5
33.		6		;
33.		С3	6	;
		С3	6
		10

34.0,3·0,5 + 0,7·0,8 = 0,71;

35.73 86 74 85 1928 ;

36.62 94 64 93 1027 ;

37.2028 0,8 288 0,7 3527 0,77 ;

38.1850 0,9 5020 0, 6 1250 0,9 0, 78 ;

39.12 32 12 15 1330 ;

40.13 33 13 23 13 13 23 ;

41.0,3·0,6 + 0,6·0,4 + 0,1·0,8 = 0,5;

42. а) P	1	5	,	б) P	3	5	,

5	32			5	16

в) P5 0 P5 1 163 ,

г) 1 P5 0 P5 1 1613 .

43.а) P3 1 0, 085 , б) 1 P3 0 0,09;

44.20;

45.10 и 11, P32 10 P32 11 0,24 ;

46.			X													2									3										4													M X			20		,
											С42 С33									2			С43 С32								4							С44 С31						1							20
																																																	7
																																																	7
			P																																																	20
			P										С75							7						С75								7							С75			7				D X				20
													С75													С75															С75								49 .
																																																	49 .
47.		X							1												2										3											4						M X 1,248,
		P							0,8											0,16								0,032											0,008									D X 0,298.
		P																																														D X 0,298.
48.	X		2					3				4						5			6						7					8					9					10			11		12	M X		121				,
48.	X		2					3				4						5			6						7					8					9					10			11		12
				1						2			3						4			5							6				5							4			3			2	1
	P																																																18
																																																	18
			36					36				36						36			36						36					36					36					36			36		36	D X 9,94 .
			36					36				36						36			36						36					36					36					36			36		36	D X 9,94 .
49.	X						0									1					2										3											4			5			M X 1,
49.	X						0									1					2										3											4			5			M X 1,
	P				0,32768									0,4096							0,2048										0,0512										0,0064				0,00032			D X 0,8 .
	P				0,32768																																											D X 0,8 .
50.			X													1									2										3													M X 1,8 ,
50.			X													1									2										3													M X 1,8 ,
			P									0,3													0,6										0,1													D X 0,24 .
			P																																													D X 0,24 .
			X									0													1										2										3			M X 1,8 ,
			X									0													1										2										3			M X 1,8 ,
			P										8											36												54										27		D X 0,72.
			P									125									125														125										125
												125									125														125										125
51.			X													0									1										2													M X 1,3 ,
51.			X													0									1										2													M X 1,3 ,
			P									0,12													0,46										0,42													D X 0,45.
			P			M X									3			D X								3																						D X 0,45.
52.	a 3 ,														3		,									3				;
52.	a 3 ,																,													;
												4													80
53.	f x						1							x 20 2						,	P 15 X 25 Ф 1 Ф 1 2 Ф 1 0,6826 ;
53.	f x						5 2 e									50				,	P 15 X 25 Ф 1 Ф 1 2 Ф 1 0,6826 ;

54.P 196 X 207 Ф 1,40 Ф 0,80 0,4192 0,2881 0,7073 0,7 .

Дополнительная литература

1. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1997. – 400 с.

2. Гусак, А.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричникова. – Мн.: ТетраСистемс, 2002. – 288 с.

3. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.

4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 575 с.


									1			x		t2
	Приложение. Значения функции x											e
														2 dt

										2
										2	0
											0

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)						x	Ф(x)
0,00	0,0000	0,44	0,1700	0,88	0,3106	1,32	0,4066	1,76	0,4608				2,40			0,4918
0,01	0,0040	0,45	0,1736	0,89	0,3133	1,33	0,4082	1,77	0,4616				2,42			0,4922
0,02	0,0080	0,46	0,1772	0,90	0,3159	1,34	0,4099	1,78	0,4625				2,44			0,4927
0,03	0,0120	0,47	0,1808	0,91	0,3186	1,35	0,4115	1,79	0,4633				2,46			0,4931
0,04	0,0160	0,48	0,1844	0,92	0,3212	1,36	0,4131	1,80	0,4641				2,48			0,4934
0,05	0,0199	0,49	0,1879	0,93	0,3238	1,37	0,4147	1,81	0,4649				2,50			0,4938
0,06	0,0239	0,50	0,1915	0,94	0,3264	1,38	0,4162	1,82	0,4656				2,52			0,4941
0,07	0,0279	0,51	0,1950	0,95	0,3289	1,39	0,4177	1,83	0,4664				2,54			0,4945
0,08	0,0319	0,52	0,1985	0,96	0,3315	1,40	0,4192	1,84	0,4671				2,56			0,4948
0,09	0,0359	0,53	0,2019	0,97	0,3340	1,41	0,4207	1,85	0,4678				2,58			0,4951
0,10	0,0398	0,54	0,2054	0,98	0,3365	1,42	0,4222	1,86	0,4686				2,60			0,4953
0,11	0,0438	0,55	0,2088	0,99	0,3389	1,43	0,4236	1,87	0,4693				2,62			0,4956
0,12	0,0478	0,56	0,2123	1,00	0,3413	1,44	0,4251	1,88	0,4699				2,64			0,4959
0,13	0,0517	0,57	0,2157	1,01	0,3438	1,45	0,4265	1,89	0,4706				2,66			0,4961
0,14	0,0557	0,58	0,2190	1,02	0,3461	1,46	0,4279	1,90	0,4713				2,68			0,4963
0,15	0,0596	0,59	0,2224	1,03	0,3485	1,47	0,4292	1,91	0,4719				2,70			0,4965
0,16	0,0636	0,60	0,2257	1,04	0,3508	1,48	0,4306	1,92	0,4726				2,72			0,4967
0,17	0,0675	0,61	0,2291	1,05	0,3531	1,49	0,4319	1,93	0,4732				2,74			0,4969
0,18	0,0714	0,62	0,2324	1,06	0,3554	1,50	0,4332	1,94	0,4738				2,76			0,4971
0,19	0,0753	0,63	0,2357	1,07	0,3577	1,51	0,4345	1,95	0,4744				2,78			0,4973
0,20	0,0793	0,64	0,2389	1,08	0,3599	1,52	0,4357	1,96	0,4750				2,80			0,4974
0,21	0,0832	0,65	0,2422	1,09	0,3621	1,53	0,4370	1,97	0,4756				2,82			0,4976
0,22	0,0871	0,66	0,2454	1,10	0,3643	1,54	0,4382	1,98	0,4761				2,84			0,4977
0,23	0,0910	0,67	0,2486	1,11	0,3665	1,55	0,4394	1,99	0,4767				2,86			0,4979
0,24	0,0948	0,68	0,2517	1,12	0,3686	1,56	0,4406	2,00	0,4772				2,88			0,4980
0,25	0,0987	0,69	0,2549	1,13	0,3708	1,57	0,4418	2,02	0,4783				2,90			0,4981
0,26	0,1026	0,70	0,2580	1,14	0,3729	1,58	0,4429	2,04	0,4793				2,92			0,4982
0,27	0,1064	0,71	0,2611	1,15	0,3749	1,59	0,4441	2,06	0,4803				2,94			0,4984
0,28	0,1103	0,72	0,2642	1,16	0,3770	1,60	0,4452	2,08	0,4812				2,96			0,4985
0,29	0,1141	0,73	0,2673	1,17	0,3790	1,61	0,4463	2,10	0,4821				2,98			0,4986
0,30	0,1179	0,74	0,2703	1,18	0,3810	1,62	0,4474	2,12	0,4830				3,00			0,49865
0,31	0,1217	0,75	0,2734	1,19	0,3830	1,63	0,4484	2,14	0,4838				3,20			0,49931
0,32	0,1255	0,76	0,2764	1,20	0,3849	1,64	0,4495	2,16	0,4846				3,40			0,49966
0,33	0,1293	0,77	0,2794	1,21	0,3869	1,65	0,4505	2,18	0,4854				3,60			0,499841
0,34	0,1331	0,78	0,2823	1,22	0,3883	1,66	0,4515	2,20	0,4861				3,80			0,499928
0,35	0,1368	0,79	0,2852	1,23	0,3907	1,67	0,4525	2,22	0,4868				4,00			0,499968
0,36	0,1406	0,80	0,2881	1,24	0,3925	1,68	0,4535	2,24	0,4875				4,50			0,499997
0,37	0,1443	0,81	0,2910	1,25	0,3944	1,69	0,4545	2,26	0,4881				5,00			0,499997
0,38	0,1480	0,82	0,2939	1,26	0,3962	1,70	0,4554	2,28	0,4887
0,39	0,1517	0,83	0,2967	1,27	0,3980	1,71	0,4564	2,30	0,4893
0,40	0,1554	0,84	0,2995\|	1,28	0,3997	1,72	0,4573	2,32	0,4898
0,41	0,1591	0,85	0,3023	1,29	0,4015	1,73	0,4582	2,34	0,4904
0,42	0,1628	0,86	0,3051	1,30	0,4032	1,74	0,4591	2,36	0,4909
0,43	0,1664	0,87	0,3078	1,31	0,4049	1,75	0,4599	2,38	0,4913

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке тв и мс

#
30.05.20151.14 Mб150199_теория вероятностей и математическая статистика.pdf
#
30.05.2015769.84 Кб78Элементы комбинаторики.pdf