заочникам / тв и мс / Элементы комбинаторики

P B P С1 P C2 P C1 P С2 P C1 P С2

0,7 0,2 0,3 0,8 0,7 0,8 0,94 .

Вероятность события B можно определить также, вычислив сначала вероятность противоположного события B . Т.к. B C1 C2 , то P B P C1 P C20,3 0,2 0,06 . Тогда P B 1 0,06 0,94 .

Пример 21. В первой урне находятся три белых, пять красных и семь синих шаров, во второй урне – два белых, четыре красных и девять синих шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найдите вероятность того, что извлечѐнные шары будут одного цвета.

Решение. Случайное событие D – извлечѐнные шары одного цвета. Введѐм ещѐ шесть случайных событий:

Ai – из i-й урны извлекли шар белого цвета; Bi – из i-й урны извлекли шар красного цвета;

Ci – из i-й урны извлекли шар синего цвета; i = 1, 2.

Вероятности этих событий вычисляются по классическому определению вероятности. Шары будут одного цвета, если они будут оба или белого, или красного, или синего цвета. Значит, D A1 A2 B1B2 C1C2 . События-слагаемые несовместны, а со-

бытия-сомножители независимы. Следовательно,

P D P A1 P A2 P B1 P B2 P C1 P C2 153 152 155 154 157 159 22589 .

Пример 22. В урне находятся три белых и пять красных шаров. Наугад извлекают два шара. Найдите вероятность того, что извлечѐнные шары будут разных цветов.

Решение. Случайное событие A – извлечѐнные шары разных цветов. Введѐм ещѐ два случайных события:

A1 – первый извлеченный шар белого цвета;

A2 – второй извлеченный шар белого цвета.

Шары будут разных цветов, если первый будет белым, а второй красным, или наоборот. Значит, A A1 A2 A1 A2 . События-слагаемые несовместны, а события-

сомножители зависимы, т.к. вероятность вынуть второй шар определенного цвета зависит от того, какого цвета был первый вынутый шар. Следовательно,

P A P A1 P A2 P A1 P A2 83 75 85 73 1528.

Пример 23. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Определите вероятность того, что: a) студент знает все три предложенные ему вопроса; б) студент не знает лишь второй из трѐх предложенных ему вопросов; в) студент не знает только один из трѐх предложенных ему вопросов.

Решение. Введѐм обозначения: событие A – студент знает три вопроса; событие B – студент не знает второй вопрос; событие C – студент не знает один из трѐх вопросов; событие Di – студент знает i-й предложенный ему вопрос (i = 1, 2, 3). Тогда со-

11

События D1, D2 и D3 являются зависимыми, потому что вероятность знания

или незнания каждого следующего вопроса изменяется в зависимости от осуществления или неосуществления предыдущего события. Поэтому

При нахождении вероятности события C учтѐм, что слагаемые – несовместные события: P C P D1D2 D3 P D1 D2 D3 P D1D2 D3

P D1 P D2 / D1 P D3 / D1D2 P D1 P D2 / D1 P D3 / D1 D2

P D1 P D2 / D1 P D3 / D1D2 255 2420 1923 2025 245 1923 2025 1924 235 13857 .

Пример 24. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает еѐ наудачу. Определите вероятность того, что он наберѐт нужный номер не более, чем за три попытки.

Решение. Случайное событие A – абонент дозвонился не более, чем за три попытки набора номера. Пусть случайное событие Ai – абонент дозвонился при i-том наборе номера (i = 1, 2, 3).

Формула полной вероятности

События образуют полную группу, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в результате эксперимента.

Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий H1, H2 ,..., Hn , образующих полную группу.

Будем называть события Hi (i = 1, 2, … , n) гипотезами. Имеет место следующая

формула

P A P H1 P A / H1 P H2 P A / H2 ... P Hn P A / Hn ,

которая называется формулой полной вероятности.

Пример 25. Имеются три урны. В первой урне находятся 5 белых и 3 чѐрных шара, во второй – 4 белых и 4 чѐрных шара, а в третьей – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из урн (это может означать, например, что осуществляется выбор из вспомогательной урны, где находятся три шара с номерами 1, 2 и 3). Из этой урны наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется чѐрным?

Решение. Событие A – извлечѐн чѐрный шар.

12

Если было бы известно, из какой урны извлекается шар, то искомую вероятность можно было бы вычислить по классическому определению вероятности. Введем предположения (гипотезы) относительно того, какая урна выбрана для извлечения шара.

Шар может быть извлечѐн или из первой урны (гипотеза H1 ), или из второй (гипотеза H2 ), или из третьей (гипотеза H3 ). Так как имеются одинаковые шансы вы-

брать любую из урн, то P H1 P H2 P H3 13 . Далее находим вероятности со-

бытия A при каждой из гипотез: P A / H1 83 , P A / H2 84 12 , P A / H3 80 0 . Отсюда следует, что P A P H1 P A / H1 P H2 P A / H2

P H3 P A / H3 13 83 13 12 13 0 18 16 247 .

Пример 26. Электролампы изготавливаются на трѐх заводах. Первый завод производит 30% общего количества электроламп, второй – 25%, а третий – остальную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго – 1,5%, третьего – 2%. В магазин поступает продукция всех трѐх заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа оказалась бракованной?

Решение. Предположения необходимо ввести относительно того, на каком заводе была изготовлена электролампа. Зная это, мы сможем найти вероятность того, что она бракованная.

Введѐм обозначения для событий: A – купленная электролампа оказалась бра-

Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности.

P A P H1 P A / H1 P H2 P A / H2 P H3 P A / H3

0,30 0,01 0,25 0,015 0,45 0,02 0,003 0,00375 0,009 0,01575 .

Пример 27. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чѐрных шара, переложено 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 чѐрных шара. Найдите вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар.

Решение. Обозначим через A событие – из второй урны вынут белый шар. Можно выдвинуть три гипотезы: H1 – из первой урны во вторую переложены два белых шара; H2 – переложены один белый и один чѐрный шары; H3 – переложены два

По формуле полной вероятности получаем:

P A P H1 P A / H1 P H2 P A / H2 P H3 P A / H30,3 0,6 0,6 0,5 0,1 0,4 0,52 .

13

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p. Тогда вероятность Pn k того, что событие наступило k раз в этой серии испытаний можно вычислить

по формуле Бернулли Pn k Cnk pk qn k , где q 1 p .

Пример 28. Найдите вероятность того, что герб выпадет ровно три раза при десятикратном подбрасывании монеты.

Решение. Здесь опыт заключается в подбрасывании монеты, число опытов n 10 , событие A – выпадение герба – наступает в каждом опыте с вероятностью

p 12 , постоянной для всех опытов. Искомую вероятность вычисляем по формуле

Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли

Пусть, как и раньше, Pn k есть вероятность того, что событие A наступит ровно k раз в серии из n испытаний, и требуется отыскать то число k0 наступлений события A, которому отвечает наибольшая вероятность Pn k0 . Известно, что этому условию удовлетворяет целое число k0 , такое, что

np q k0 np p .

Пример 30. Каково наиболее вероятное число выпадений грани с одной точкой при шести подбрасываниях игральной кости? Чему равна соответствующая этому числу выпадений вероятность?

Решение. Здесь число n опытов (подбрасываний кости) равно 6, p – вероятность

14

Пример 31. Вероятность попадания в цель при выстреле из каждого из двух орудий равна 23 . Залп из двух орудий считается успешным, если хотя бы один снаряд

попадѐт в цель. Произведено 8 залпов. Каково наиболее вероятное число успешных залпов?

Решение. Вероятность успешного залпа найдѐм, вычислив предварительно вероятность противоположного события – двух промахов при залпе из двух орудий.

чая имеют равную вероятность).

15

Случайные величины

Во многих задачах теории вероятности удобнее оперировать не понятием случайного события, для которого существуют только две возможности: оно может произойти или не произойти в результате опыта, а понятием так называемой случайной величины. Случайная величина – это числовая величина, которая при проведенном испытании может принимать различные значения, причем заранее не известно, какие именно. Если возможные значения такой величины представляет собой конечное или счетное множество, она называется дискретной случайной величиной, а если эти значения заполняют целиком некоторый интервал – непрерывной случайной вели-

чиной.

Дискретные случайные величины

Поведение дискретной случайной величины описывается законом распределения, который можно представить в виде ряда распределения – таблицы, в первой строке которой перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй – вероятности, с которыми она принимает эти значения:

Сумма вероятностей должна при этом равняться числу 1.

Однако в некоторых задачах не требуется полностью знать поведение случайной величины, для решения достаточно лишь нескольких характеристик. Одной из основных числовых характеристик является математическое ожидание, представляющее собой среднее значение рассматриваемой случайной величины с учетом вероятностей принимаемых значений и вычисляемое по формуле:

М Х x1 p1 x2 p2 ... xn pn.

Характеристикой, показывающей масштаб отклонения случайной величины от математического ожидания, является дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения от среднего: D Х М X М X 2 М X 2 М X 2 , где

М X 2 x12 p1 x22 p2 ... xn2 pn .

Отклонение случайной величины от математического ожидания задается также и средним квадратическим отклонением Х : Х D X .

Пример 32. Из партии, содержащей 10 деталей, среди которых две бракованных, взяты наудачу три детали. Составить ряд распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных. Найдите ее числовые характеристики.

Решение. Так как бракованных деталей в партии только две, среди трех отобранных должна быть, по крайней мере, одна стандартная деталь. Следовательно, случайная величина X может принимать три значения: x1 1, x2 2, x3 3. Найдем

соответствующие им вероятности. Число возможных наборов по три детали из

16

Биномиальное распределение имеет дискретная случайная величина, выражающая число появлений события в серии из n независимых испытаний, в каждом из

которых это событие может наступить с одной и той же вероятностью p. Значения этой случайной величины: 0, 1, …, n. Вероятности P X k вычисляются по формуле Бернулли. Для такой случайной величины известны математическое ожидание M X np и дисперсия D X npq .

Пример 33. Производится четыре независимых выстрела по мишени. Составить ряд распределения случайной величины X – числа попаданий в мишень, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найдите ее числовые характеристики.

Решение. Количество попаданий может составлять 0, 1, 2, 3 или 4. Вероятности вычисляются по формуле Бернулли: событие А – попадание при одном выстреле, p P(A) 0,6 , общее число испытаний n 4.

Х D X 0,96 0,98 .

Пример 34. Предприниматель может получить кредит в двух банках: в первом с вероятностью 0,6 в сумме 15 тыс. руб., во втором – с вероятностью 0,3 в сумме 35 тыс. руб. Составить ряд распределения случайной величины X – общая сумма полученного кредита (в тыс. руб.).

Решение. Предприниматель может получить кредит в одном из банков, в обоих банках или ни в одном из них.

17

P X 0 1 0,6 1 0,3 0,28 , P X 15 0,6 1 0,3 0,42 , P X 35 1 0,6 0,3 0,12 ; P X 50 0,6 0,3 0,18.

Контроль: 0,28 0,42 0,12 0,18 1.

Непрерывные случайные величины

Основными характеристиками, описывающими поведение непрерывной слу-

чайной величины, являются функция распределения и плотность распределения

для всех значений x ; 2) f x dx 1 (условие нормировки).

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал вычисля-

b

ется по формуле P a X b F b F a или P a X b f x dx .

a

Причем P a X b P a X b P a X b P a X b .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение определяются следующим образом:

18

Основные законы распределения случайных величин

К основным законам распределения, встречающимся чаще всего на практике, относятся:

1.Равномерное на отрезке [a; b] распределение.

2.Показательное распределение с параметром .

3.Нормальное распределение с параметрами m и .

4.Биномиальное распределение.