заочникам / тв и мс / Элементы комбинаторики

МАТЕМАТИКА, ЧАСТЬ 3

ОГЛАВЛЕНИЕ

1

Элементы комбинаторики

Пусть имеется n различных объектов произвольной природы. Выберем из них k объектов. Комбинаторика – это раздел математики, который изучает, сколькими способами можно осуществить этот выбор согласно заданным условиям.

Правило умножения

Если объект А можно выбрать k1 различными способами, а объект В – k2 различными способами, то пару объектов А и В можно выбрать k1 k2 различными спо-

собами.

Другая интерпретация этого правила такова. Пусть первое действие можно совершить k1 различными способами, второе k2 различными способами. Тогда оба действия можно совершить k1 k2 различными способами.

Пример 1. Пусть из пункта A в пункт B имеется 5 дорог, а из пункта B в пункт C – 6 дорог.

1)Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт C?

2)Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно?

3)Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно при условии, что дороги туда и обратно будут разными?

Решение. 1) Существует 5 различных путей из пункта A в пункт B – это 5 способов выполнения первого действия, при этом существует 6 различных путей из пункта B в пункт C – это 6 различных способов выполнения второго действия. Согласно правилу умножения, число различных способов выбора пути из пункта A в

пункт C равно 5 6 = 30.

2) Из пункта A в пункт B ведет 5 дорог, значит, имеется 5 способов проезда туда и 5 способов проезда обратно. По правилу умножения число всех способов проезда туда и обратно равно 5 5 = 25.

3) Рассуждаем аналогично пункту 2), но учитываем, что дороги туда и обратно не должны совпадать, т.е. при выборе одного из 5-ти способов проезда «туда» обратно можно вернуться одним из 4-х способов. Поэтому число различных способов проехать из пункта A в пункт B и вернуться обратно, но обязательно другой дорогой, равно 5 4 = 20.

Пример 2. В урне находятся 10 белых, 15 синих и 20 красных карточек. Вынимают три карточки и выкладывают их одну над другой. Сколькими различными способами можно это сделать, чтобы карточки расположились в порядке цветов российского флага?

Решение. В таких задачах предполагается, что все карточки различимы, например, перенумерованы. Тройку карточек можно образовать тремя действиями.

1-е действие. Возьмем одну красную карточку. Это действие можно совершить 20-ю способами (по числу различных красных карточек в урне).

2-е действие. К красной карточке добавим сверху синюю, которую можно взять 15-ю различными способами (по числу различных синих карточек в урне).

3-е действие. К выбранной паре присоединим сверху белую карточку, которую можно взять 10-ю различными способами (по числу белых карточек в урне).

Число различных способов выбора равно 20 15 10 = 3 000.

2

Пример 3. В меню ресторана 5 первых блюд, 10 вторых и 7 третьих. Сколько различных вариантов меню можно составить?

Решение. Первое блюдо можно выбрать пятью способами, второе – десятью, а третье – семью. Значит, общее количество способов составляет 5∙10∙7 = 350.

Правило сложения

Если объект А можно выбрать k1 различными способами, а объект В – k2 различными способами, то выбрать один объект А или В можно k1 k2 различными спо-

собами.

Пример 4. В ящике лежат 2 красных, 3 зелѐных и 4 чѐрных шара. Сколькими способами можно выбрать цветной шар?

Решение. Выбрать цветной шар – значит выбрать красный или зелѐный шар. Количество способов равно 2 + 3 = 5.

Сочетания

Пусть имеется множество из n различных объектов (элементов), т.е. объекты имеют или разные названия или разные номера. Пусть k n, k N.

Сочетанием из n элементов по k называется любое подмножество, содержащее k элементов, взятых из данных n элементов без учета порядка выбора элементов. При этом подмножества различаются только элементами, входящими в них; порядок, в котором они расположены, не имеет значения.

Число различных сочетаний из n элементов по k можно найти по формуле:

Пример 5. Из группы в 25 человек нужно выделить 3 человека на дежурство. Сколькими различными способами это можно сделать?

Решение. Исходное множество различных объектов образуют студенты группы. Число всех элементов множества равно 25. Выделенные 3 человека дежурных образуют трехэлементное подмножество из общего числа в 25 элементов (n = 25, k = 3). При этом подмножество определяется только элементами, в него входящими, но не их порядком. Поэтому, по определению имеем сочетание из 25 элементов по 3, и по формуле число различных способов выбрать трех дежурных из 25 студентов равно

3

Пример 6. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 красных шаров. Из урны наудачу берутся 9 шаров. Найдите:

1)сколькими различными способами можно вынуть 9 шаров;

2)сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 6 белых и 3 черных;

3)сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 2 белых, 3 черных и 4 красных шара.

Решение. 1) Всего в урне 45 шаров. Считаем, что шары различимы, например, пронумерованы. Следовательно, имеем множество из n = 45 различных объектов. Наудачу взятые 9 шаров образуют подмножество из k = 9 элементов. Это подмножество определяется лишь элементами, попавшими в него, порядок не имеет значения. Следовательно, это сочетание из 45 элементов по 9:

2) Взятие 9-ти шаров, из которых 6 белых и 3 черных, можно разбить на два действия: 1-е действие – возьмем 6 белых шаров из 10 белых шаров, находящихся в

способами). Тогда число различных способов взятия 9-ти шаров нужного состава по правилу умножения равно

3) Чтобы получить 9 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 4 красных, надо последовательно выполнить три действия: а) взять 2 белых шара из общего числа 10 белых шаров; б) взять 3 черных шара из общего числа 15 черных шаров; в) взять 4 красных шара из общего числа 20 красных шаров. Число способов:

C102 C153 C204 2!8!10! 3!12!15! 4!16!20! 45 13 35 17 19 3 5 99 201 375 .

Пример 7. В коробке находятся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из коробки наудачу берутся 5 деталей. Найдите число различных способов взятия 5-ти деталей, среди которых ровно 3 бракованных.

Решение. Множество состоит из n = 50 различимых деталей, из которых 10 бракованных, 40 доброкачественных. Чтобы получить множество из 5-ти деталей, содержащих 3 доброкачественные, надо совершить последовательно 2 действия: а) взять три бракованные изделия из общего числа 10 бракованных деталей (это дей-

ствие можно совершить C103 различными способами), б) взять две доброкачественные детали из 40 доброкачественных деталей (это действие можно совершить C402 различными способами). Тогда по правилу умножения оба действия можно совершить:

4

Случайные события. Вероятность

Пусть производится некоторая совокупность действий с неизвестным заранее результатом. Такая совокупность в теории вероятностей называется экспериментом (опытом, испытанием).

Основным объектом, который изучает классическая теория вероятности, является так называемое случайное событие. Случайное событие – это любой из возможных результатов эксперимента. Числовая величина, характеризующая степень возможности наступления данного события, называется его вероятностью.

Например, эксперимент – бросание игрального кубика с шестью гранями. Собы-

тия:

А – выпадение «1» на верхней грани; В – выпадение чѐтного числа на верхней грани; С – выпадение числа, делящегося на 3;

D – выпадение числа, большего 10; Е – выпадение числа, меньшего 10.

Событие D не может произойти ни при какой реализации эксперимента. Оно называется невозможным. Событие Е напротив происходит при любой реализации эксперимента. Оно называется достоверным.

Классическое определение вероятности

Если можно пересчитать все возможные исходы проводимого опыта (элемен-

тарные исходы, элементарные события) и если ни один из этих исходов не имеет приоритета по сравнению с другими (то есть при большом количестве опытов все исходы наблюдаются с одинаковой частотой), то говорят, что имеет место схема случаев.

Пусть n – число возможных исходов данного опыта, а m – число его исходов, при которых происходит некоторое событие A (назовем такие исходы благоприятными событию A ). Тогда вероятность события A определяется как отношение числа

благоприятных исходов к числу всех возможных исходов: P( A) mn .

Вероятность события обладает следующими свойствами:

1.0 P( A) 1, поскольку 1 n m ;

2.P( A) 0 A – невозможное событие;

3.P(A) 1 A – достоверное событие.

Пример 8. Из колоды в 32 карты вынуто последовательно без возвращения 2 карты. Найдите вероятность того, что обе они тузы.

Решение. Так как первую карту можно извлечь из колоды 32 способами, а вторую – 31 (поскольку в колоде осталась 31 карта), то число возможных исходов опыта n 32 31 992 . Определим число благоприятных исходов. Первый туз можно выбрать из четырех, имеющихся в колоде, второй – из трех оставшихся. Значит, число благоприятных исходов m 4 3 12, и искомая вероятность равна

P 99212 2483 0,012.

5

Пример 9. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь — «наполеон», достали пять пирожных. Найдите вероятность того, что среди них два «эклера» и три «наполеона».

Решение. Количество возможных исходов опыта представляет собой число сочетаний из 12 по 5:

Число благоприятных исходов является произведением количества способов, которыми можно выбрать два «эклера» из пяти имеющихся, и числа наборов по три

Пример 10. Наудачу дважды подбрасывают монету. Найдите: 1) вероятность выпадения двух гербов; 2) вероятность выпадения только одного герба; 3) вероятность выпадения хотя бы одного герба.

Решение. Элементарным исходом является упорядоченная последовательность двух букв, а именно, Г–Г, т.е. при первом и втором бросках выпали гербы, Г–Р (при первом броске выпал герб, при втором – решетка), Р–Г (при первом броске выпала решетка, при втором – герб), Р–Р (при первом и втором бросках выпали решетки). Все эти четыре исхода равновозможны (в том смысле, что шансы на появление у всех ис-

ходов одинаковы). По классическому определению вероятности P( A) 14 . Событию

B благоприятствуют два элементарных исхода (Р–Г) и (Г–Р). Поэтому P(B) 24 12 .

Событию C благоприятствуют три элементарных события (Г–Г), (Г–Р), (Р–Г). Поэто-

му P(C) 34 .

Пример 11. Наудачу один раз бросается игральная кость. Найдите вероятность выпадения числа очков, кратного трем.

Решение. На верхней грани выпало число очков, кратное трем, означает, что выпало 3 или 6 очков. Элементарным исходом нашего эксперимента назовем событиеi – на верхней грани выпало i очков, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти элементарные исходы равновозможны, так как кость бросается наудачу (выпадение одного очка имеет такие же шансы, как и выпадение двух очков и т.д.). Событию благоприятствуют два исхода: 3 и 6, значит, P A 62 13 .

Пример 12. Дважды подбрасывают наудачу игральную кость. Найдите вероятность того, что: 1) при обоих подбрасываниях выпадет одно и то же число очков; 2) сумма выпавших очков не превзойдет 4.

Решение. Введѐм события: А – при первом и втором подбрасываниях выпадет одинаковое число очков; В – сумма выпавших очков не превзойдет 4 (2, 3 или 4).

6

Элементарным событием является пара чисел (i, j), где i = 1, 6 , j = 1, 6 , где i – число очков, выпавших при первом подбрасывании, j – число очков, выпавших при втором подбрасывании. Общее число элементарных событий равно 6 6 = 36.

Событию А благоприятствуют элементарные исходы: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4),

(5,5), (6,6). Поэтому P A 366 16 .

Событию B благоприятствуют: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1) (2,2). Следовательно, P B 366 16 .

Пример 13. В партии содержатся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из партии наудачу берутся 5 деталей. Найдите вероятность того, что: 1) все 5 деталей бракованные; 2) все 5 деталей доброкачественные; 3) в пятерке извлеченных деталей 3 детали бракованные и 2 детали доброкачественные.

Решение. Детали образуют множество из n = 50 различных объектов (например, пронумерованных), из которых 10 бракованные, а остальные 40 доброкачественные. Из этой партии наудачу берутся 5 деталей.

Событие A – все 5 деталей бракованные, событие B – все 5 деталей доброкачественные, событие C – в пятерке извлеченных деталей 3 детали бракованные и 2 – доброкачественные. Элементарный исход нашего эксперимента определяется номерами пяти взятых деталей, причем порядок указания этих номеров не имеет значения. Общее число таких элементарных исходов совпадает с числом различных сочетаний

кованные и 2 доброкачественные детали. По правилу умножения число таких исходов

7

3) вероятность того, что среди девяти извлеченных шаров имеется хотя бы один шар черного цвета.

Решение. Всего в урне 30 шаров. Будем считать, что все они пронумерованы. Эти 30 шаров разделяются на две группы. Первая группа состоит из 25-ти белых шаров, вторая группа состоит из 5-ти черных шаров. Эксперимент состоит в изъятии наудачу 9-ти шаров из 30-ти шаров (их порядок не имеет значения). Элементарным событием в этом эксперименте является любое сочетание из 30-ти элементов по 9. Тогда число таких элементарных событий равно

Пусть событие A – все 9 шаров белые. Событие B – из 9 вынутых шаров 3 черных. Событие C – среди 9-ти вынутых шаров имеется хотя бы один черный шар.

все 9 шаров – белые, т.е. C A. Поэтому P C 1 P C 1 P A 1 0,14 0,86 .

Пример 15. В библиотеке на стеллаже в случайном порядке расставлены десять учебников по экономике и пять – по математике. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет по математике A .

Решение. Событие A – ни один из взятых учебников не будет по математике:

Статистическое и геометрическое определения вероятности

Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после проведения опытов.

Пусть в коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Если наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

W A 52 .

8

Вероятность же этого события равна P A 103 . Как видно, относительная час-

тота не совпадает с найденной вероятностью. Однако при достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события (статистическая вероятность).

Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное. Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий и доказать, что эти события равновероятные.

К примеру, при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, ее форма и т.д.

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой-либо отрезок, часть плоскости или часть пространства.

Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то за вероятность попадания наугад взятой точки в этот отрезок принимают отношение Ll .

Вероятности суммы и произведения событий

Суммой A B событий А и В называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из двух событий (А или В или оба).

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошли оба данных события одновременно (А и В).

Говорят, что событие А влечѐт событие В A B , если при наступлении события А событие В также обязательно наступит.

Пример 16. Подбрасывается игральный кубик. А – выпадение 6 очков, В – выпадение трѐх очков, С – выпадение чѐтного числа очков, D – выпадение числа очков, кратного трѐм. Между этими событиями есть следующие соотношения:

A D, B D, A B D, CD A.

Пример 17. Подбрасывается игральный кубик. Обозначим Ak – выпадение k очков k 1,2,3,4,5,6 , А – выпадение чѐтного числа очков, В – выпадение нечѐтно-

го числа очков, С – выпадение числа очков, кратного трѐм, D – выпадение числа очков, большего трѐх. Выразить события А, В, С, D через Ak .

Решение. A A2 A4 A6 , B A1 A3 A5 , C A3 A6 , D A4 A5 A6 .

Пример 18. Стрелок производит три выстрела по мишени. Обозначим Ak – попадание при выстреле № k k 1,2,3 , А – хотя бы одно попадание, В – три попада-

ния, С – три промаха, D – хотя бы один промах, Е – не меньше двух попаданий, F – не более одного попадания, G – попадание после первого выстрела. Выразить события А,

В, С, D, Е, F, G через Ak .

Решение. A A1 A2 A3 A1 A2 A3 , B A1 A2 A3 , C A1 A2 A3 ,

9

D A1 A2 A3 A1 A2 A3 , E A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 , F A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 , G A1 A2 A1 A2 A3 .

Пример 19. Из ящика, в котором находятся детали трѐх сортов, извлекают одну деталь. События: А – извлечена деталь первого сорта, В – извлечена деталь второго сорта, С – извлечена деталь третьего сорта. Что представляют собой следующие со-

бытия: A B, A C, AC ?

Решение. A B – извлечена деталь или первого, или второго сорта (извлечена деталь не третьего сорта), A C B – извлечена деталь второго сорта, AC – извлеченная деталь одновременно и первого, и третьего сорта (невозможное событие).

Вероятность суммы двух событий можно найти по теореме сложения вероят-

ностей:

P A B P A P B P AB .

Если события А и В несовместны, то есть не могут произойти одновременно, то вероятность их произведения равна нулю, и теорема сложения приобретает более простой вид:

Вероятность произведения событий определяется по теореме умножения ве-

роятностей:

P AB P A P B / A ,

где P B / A – так называемая условная вероятность события В, то есть вероятность

В при условии, что А произошло.

Если осуществление события А не изменяет вероятности события В, то А и В называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей:

P AB P A P B .

Вероятность произведения трех событий: P ABC P A P B / A P C / AB .

Пример 20. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для стрелков соответственно равны p1 = 0,7 и p2 = 0,8. Найдите вероятность того, что при одном залпе в мишени будет: а) одно попадание; б) не менее одного попадания.

Решение. Случайные события: A – в мишени одно попадание, B – в мишени не менее одного попадания. Введѐм случайные события: C1 – в мишень попал первый стрелок, C2 – в мишень попал второй стрелок. По условию P С1 0,7 , P С2 0,8 ,

P С1 0,3, P С2 0, 2 . Тогда A C1C2 C1C2 , B C1C2 C1C2 C1C2 .

В обеих формулах события-слагаемые несовместны, а события-сомножители независимы, так как вероятность попадания в мишень каждого из стрелков не зависит от результата другого стрелка. Поэтому

P A P C1C2 P C1C2 P С1 P C2 P C1 P С2 0,7 0,2 0,3 0,8 0,38 ,

10