П.5 Уравнения и тождества
В уравнении как бы ставится вопрос о том, когда функция становится равной некоторому конкретному числу. Примерами уравнений являются
2x = 8
x2 = 9
f(x) = 0.
Решением уравнения является значение x, удовлетворяющее данному уравнению. Первое уравнение имеет решение x = 4. Второе уравнение имеет два решения x = 3 и x = —3. Третье уравнение задано просто в общем виде. Мы не знаем его решения до тех пор, пока нам неизвестно конкретное правило, стоящее за f, но мы можем обозначить его решение через x*9. Это просто означает, что x*10 есть такое число, что f(x*) = 011. Мы говорим, что x*12 удовлетворяет уравнению f(x) = 0.
Тождество есть взаимосвязь между переменными, которая справедлива для всех значений переменных. Вот некоторые примеры тождеств:
(x + y)2 x2 + 2xy + y2
2(x + 1) 2x +2.
Особый знак 13 означает, что левая и правая части выражения равны для всех значений переменных. Уравнение справедливо только для некоторых значений переменных, в то время как тождество справедливо для всех значений переменных. Часто тождество справедливо по самому определению тех понятий, о которых идет речь.
П.6 Линейные функции
Линейная функция есть функция вида
y = ax + b,
где a и b — константы. Примерами линейных функций являются
y = 2x + 3
y = x — 99.
Строго говоря, функция вида y = ax + b должна называться афинной функцией и только функции вида y = ax должны называться линейными функциями. Однако мы не будем настаивать на этом разграничении.
Линейные функции могут быть также выражены неявно, в виде, подобном ax + by = c.
В таком случае мы часто выражаем y как функцию x, чтобы привести это к "стандартному" виду:
y = — x.
П.7 Изменения и отношения изменений
Обозначение Dx 14 читается как "изменение x". Оно не означает D15, умноженная на x. Если x изменяется от x*16 до x**17, то изменение x есть просто
Dx = x** — x*.18
Мы также можем записать
x** = x* + x19,
указывая на то, что x**20 есть x*21 плюс изменение x.
Как правило, Dx 22 относится к малому изменению x. Иногда мы выражаем эту мысль, говоря, что Dx 23 представляет предельное изменение.
Скорость изменения есть отношение двух изменений. Если y есть функция x, заданная в виде y = f(x), то скорость изменения y относительно x обозначается как
=.
Скорость изменения показывает то, как изменяется y с изменением x.
Линейная функция обладает тем свойством, что скорость изменения y относительно x является постоянной. Чтобы доказать это, обратите внимание, что если y = a + bx, то
=== b.
Для нелинейных функций скорость изменения функции будет зависеть от значения x. Рассмотрим, например, функцию y = x224. Для этой функции
=== 2x + Dx.
Здесь скорость изменения от x до x + Dx25 зависит от значения x и от величины изменения Dx26. Но если рассматривать очень малые изменения x, то Dx2728 будет почти равна нулю, так что скорость изменения y относительно x составит примерно 2x.
П.8 Наклоны и пересечения с осями
Скорость изменения функции может быть графически интерпретирована как наклон функции. На рис.П.2A мы изобразили линейную функцию y = —2x + 4. Точка пересечения графика этой функции с вертикальной осью (вертикальное пересечение) есть значение y при x = 0, составляющее y = 4. Точка пересечения с горизонтальной осью (горизонтальное пересечение) есть значение x при y = 0, составляющее x = 2. Наклон функции есть скорость изменения y при изменении x. В этом случае наклон функции равен —2.
A B
|
Наклоны и точки пересечения с осями. На рис.A изображена функция y = —2x + 4, а на рис.B — функция y = x229. |
Рис. П.2 |
Вообще, если линейная функция имеет вид y = ax + b, то точка пересечения с вертикальной осью будет y* = b30, а точка пересечения с горизонтальной осью x* = —b/a31. Если линейная функция представлена в виде
a1x1 + a2x2 = c,
то горизонтальным пересечением будет значение x132 при x2 = 033, равное = c/a134, а вертикальное пересечение будет иметь место при x1 = 035, т.е. при = c/a236. Наклон этой функции есть —a1/a237.
Нелинейная функция обладает тем свойством, что ее наклон изменяется по мере изменения x. Касательная к функции в некоторой точке x есть линейная функция, имеющая тот же самый наклон. На рис.П.2B мы изобразили функцию y = x238 и касательную к ней в точке x = 1.
Если y всегда растет с ростом x, то Dy 39 всегда будет иметь тот же знак, что и Dx 40, так что наклон функции будет положительным. Если, с другой стороны, y убывает с ростом x или y возрастает с убыванием x, то Dy41 и Dx42 будут иметь противоположные знаки, так что наклон функции будет отрицательным.