1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / бред / Ярусова Дом МатЭко

Личные параметры:

Ярусов Николай

Я=33; Р=18; У=21; С=19; О=16; В=3; Н=15; И=10; К=12; О=16; Л=13;

(1)

Z(x)=33x₁+18x₂max – максимизируем функцию

G₁(x)=21x₁+19x₂16

G₂(x)=3x₁+15x₂10

G₃(x)=12x₁+16x₂13

x₁0

x₂0

Приравняем данные выражения к нулю и, выражая неизвестные переменные друг через друга, найдем координата точек целевой функции и ограничений.

33x₁+18x₂=0

21x₁+19x₂-16=0

3x₁+15x₂-10=0

12x₁+16x₂-13=0

Далее строим прямые, заданные ограничениями и вектора направления целевой функции (градиент), который имеет координаты равные соответственно производной целевой функции по х1 и по х2, а именно grad(Z(x))=(33,18) . Находим область допустимых значений – ABC.

Перемещая целевую функцию в направлении ее увеличения, т.е. в направлении вектора-градиента находим точку ее максимума при заданных ограничениях - точка В (0,21; 0,61), которая и будет являться оптимальным решением нашей задачи.

Подставив данные координаты, находим значение целевой функции:

Z(x) = 33 * 0,21 + 18*0,61= 15,2;

Для задач данного типа существует несколько вариантов:

1. Решением является единственная точка (данное решение уже было найдено).

2. Существует бесконечное множество решений (целевая функция параллельна ограничивающему условию).

3. Нет решений в случае несовместности условий (ОДЗ - не является замкнутой фигурой).

4. Нет решений, так как ОДЗ не представляет собой замкнутую ограниченную выпуклую фигуру и градиент целевой функции направлен в сторону бесконечного расширения ОДЗ (целевая функция не будет достигать максимума).

Найдем оставшиеся возможные варианты решений:

(2)

Z(x)=21x₁+19x₂max

G₁(x)=21x₁+19x₂16

G₂(x)=3x₁+15x₂10

G₃(x)=12x₁+16x₂13

x₁0

x₂0

Получаем на отрезке AB бесконечное множество решений, т.к. целевая функция совпадает с отрезком, который является одной из границ ОДЗ. Таким образом, решение можно будет записать в следующем виде: Х*= В + (1-)С, 0    1.

(3)

Z(x)=5x₁+17x₂max

G₁(x)=21x₁+19x₂16

G₂(x)=3x₁+15x₂10

G₃(x)=12x₁+16x₂13

x₁0

x₂0

Оптимальное решение отсутствует, т.к. отсутствует ОДЗ из-за несовместимости ограничений.

(4)

Z(x)=5x₁+17x₂max

G₁(x)=21x₁+19x₂16

G₂(x)=3x₁+15x₂10

G₃(x)=12x₁+16x₂13

x₁0

x₂0

В этом случае градиент целевой функции направлен в сторону устремления ОДЗ в бесконечность, а ОДЗ не представляет собой ограниченную фигуру, следовательно, целевая функция не будет достигать максимума.