2014_09_04_08_29_33_main / mu

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

щийся по линейному закону: e (t) E

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

2.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

(0) u

A A ;

Cnp

) C р1 A1 C р2 A2 ,

iC (0

или

75 100 A A ;

1 10 4 ( 355) A 10 4 ( 845) A ,

откуда

определим:

А1 63,52;

А2 88,52

окончательный

ответ:

(t) 100 63,52 e 355 t 88,52 e 845 t B, для построения графика оп-

ределим постоянные времени:

2,817 10 3с ;

1 1,18 10 3с.

р1

р2

Расчет графика сводим в таблицу:

A1 e

63,52

23,36

8,6

3,16

1,16

–88,52

–32,5

–12

–4,4

–1,62

A2 e

График uC (t)

показан на рис. 1.15.

U ,

150

115.419

uC (t)

uCnp

100

Uc1 (t)

88.5 ep1 t

А е p1t

63.5 e

p2 t

uCcв

t, c

Ucпр

88.5 ep1 t 63.5 ep2 t

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

A e p2t

88.5

100

Рис. 1.15

2. Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля применяют для расчёта тока или напряжения в ветвях схемы с нулевыми начальными условиями при действии единственного источника ЭДС или тока произвольной формы.

Наиболее распространённая форма записи:

	t	f / ( х)h(t х)dх ,
f p (t)	f (0) h(t)	f / ( х)h(t х)dх ,	(1.4)
	0

где f p (t) – искомая реакция цепи – ток или напряжение;

f (0) – начальное значение входного воздействия; h(t) – переходная характеристика;

h(t х) – переходная характеристика с учетом запаздывания; х – переменная интегрирования (время запаздывания);

f / (х) – производная от входного воздействия – ЭДС или тока источника.

Переходная характеристика – это реакция линейной пассивной цепи в виде тока или напряжения переходного процесса на воздействие единичной функции, т. е. на подключение ее к источнику постоянного напряжения или постоянного тока единичной величины Е0 1В или

J0 1А при нулевых начальных условиях iL (0) 0 , uC (0) 0 . Пере-

ходная характеристика определяется классическим или операторным методом.

	Порядок расчёта переходных процессов методом
		интеграла Дюамеля
1.	Классическим или операторным методом находят переходную
характеристику h(t) .
2.	Определяют	запаздывающую переходную характеристику
h(t x)	путем замены t	на t x .

3. Вычисляют производную по времени х от входного воздействия – напряжения (тока) источника.

4. Записывают интеграл Дюамеля с момента времени t = 0 до заданного t. При этом учитывают возможные скачки напряжения (тока) в начале и конце каждого интервала изменения входного сигнала.

Пример 3

Для схемы на рис. 1.11, а с нулевыми начальными условиями на интервале времени 0 t t0 действуют источник ЭДС e(t), изменяю-

Определить uC (t) методом интеграла Дюамеля, если заданы параметры

цепи: E0 150 B,			R 50 Oм,	С 100 мкФ, принять	t0 2 , где
	1 / p	.
	1 / p	.

Решение

1. Переходную характеристику h(t) для напряжения uC (t) определим из примера 1, задавая величину источника ЭДС Е0 1 В :

t .

h(t)

Запаздывающая

переходная

характеристика

при замене t на

t x :

(t x) .

h(t x)

3. Определим

2510 4 с из примера 1 и

RC 510 3с .

4. Расчет uC (t) ведем для двух интервалов:

1-й интервал 0 t t0

e (t) E

) ,

определим

производную

(t) e

(x)

;

подставляем полученные выражения в интеграл Дюамеля:

u (t) E h(t) t e															(x)
C				0									1
												0
	t		E	1			1					2		(t x)
	t		E	1			1							(t x)
			0	(					e			RC
			t	(		2		2	e			RC
	0		0
									2						2
		E0			RC		e				t (e						t
		E0			RC					RC						RC
										RC						RC
		2t0		2

h(t x) dx

) dx

2t0

1) E (

)

4t0

2t0

			2
		RC		1	) e		t 112.5 15000 t 112.5 e 400t , B;
E	(	RC		1		RC
E	(					RC
0		4t0	2
		4t0	2

2-й интервал t t0

на втором интервале у первого интеграла меняется верхний предел

интегрирования t									на t				0	, кроме того e (x) 0 :
													0												2
	u (t) E h(t) t0 e (x) h(t x) dx																													t e		(x) h(t x) dx
	C				0									1																2
													0																t0
		E E								2		t		t0		E				1 1									2		(t x)
		E E										t		t0		E				1 1											(t x)
		0			0		e RC								0				(							e RC							) dx
		2			2		e RC									t			(	2				2		e RC							) dx
														0	0
		E E								2		t				E								E				RC					2	t	2		t0
		E E										t				E								E				RC						t			t0
		0			0		e			RC						0			t	0					0						e		RC		(e RC				1)
							e			RC									t												e		RC		(e RC				1)
		2			2										2t0								2t0					2
		2			2										2t0								2t0					2
									2														2
		E0		RC			(e				t0 1) 1 e															t	164.55 e 400t B;
		E0		RC					RC													RC
									RC													RC
		2	2t
					0

	расчет графика сводим в таблицу:

														0 t t0																							t t0
	t 10 3, c					0		1						2				3					4					5				5				6			8	10		12
	uC , B					0			22				31,9				33,6				29,7							22,3				22,3				14,9		6,7			3	1,35

40	U , В
40
32
24	uC (t)
	uC (t)
16
8		t, c
		t, c
0	0.005	0.01

Рис. 1.16

График напряжения uC (t) переходного процесса показан на рис. 1.16.

3. Операторный метод

Операторным называют метод, базирующийся на преобразовании интегро-дифференциальных уравнений цепи (функций времениоригиналов) в алгебраические уравнения в изображениях (функциях комплексного оператора р) с последующим переходом к оригиналам. Взаимные преобразования осуществляются с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа соответственно:

F ( p)		f (t) e ptdt ;	f (t)	1	F ( p) e ptdt
						(1.5)

				2 j
	0

Соответствие между изображением и оригиналом записывается:

f(t) F(p) или F(p) f(t).

На основании преобразований Лапласа легко показать, что схемам цепи для мгновенных значений величин, соответствуют эквивалентные операторные схемы. Изображения основных элементов цепи в операторной форме показаны в табл. 1.3.

Заметим, что операторные схемы составляются для цепи «после коммутации» и включают в себя помимо источников, действующих в цепи после коммутации, так называемые, внутренние источники. Внутренние источники учитывают ненулевые начальные условия на накопителях энергии (индуктивность, ёмкость), которые, как показано в п. 1, определяются в схеме «до коммутации».

Операторные схемы замещения рассчитывают любым известным методом расчёта линейной цепи, применимым для установившегося режима.

		Таблица 1.3
Элемент	Операторное изобра-	Взаимосвязь напряжений
Элемент	жение элемента	и токов
	жение элемента	и токов

iR (t) R	b	IR ( p) R	b	Резистор:
a		a		UR(p) = I(p) R
+uR (t)		+UR ( p)

UC (0)

Емкость:

I ( p)

(0)

iC (t)

UC ( p)

IC ( p)

a +u

(t)

+UC

( p)

					Окончание табл. 1.3.
	Элемент	Операторное изобра-			Взаимосвязь напряжений
	Элемент		жение элемента		и токов
			жение элемента		и токов
	iL (t) L		IL ( p) Lp	LiL (0)	Индуктивность:
a	iL (t) L	a	IL ( p) Lp	b	UL ( p) I ( p) Lp L iL (0)
a	b	a		b
	+uL (t)		+UL ( p)

Источник ЭДС:

Определяется видом

функции.

Для e(t) E , E( p)

;

e(t)

E( p)

i(t)

I ( p)

Для

e(t) E e at , E( p)

Аналогично для источника

тока.

Переход от изображений к оригиналам – искомым функциям времени – осуществляется по таблицам изображений или по теореме раз-

ложения.

Если изображение имеет вид правильной рациональной дроби:

	A(p)	A	pm A				pm-1 ...A
F(p) =		m			m-1				0	,
	B(p)			n				n-1
		Bn p			Bn-1	p			...B0

где m < n, причем дробь А(р)/В(р) – несократимая, коэффициенты АK , BK – действительные числа, а знаменатель дроби В(р) не имеет кратных корней (полюсов), то оригинал функции определяется суммой экспоненциальных составляющих:

n	A(pk )	p	t

f(t) =		e k		,	(1.6)

k=1 B' (pk )

	A( 0 )	n	A(pk )		p t
	A( 0 )		A(pk )		p t
или f(t) =				e	k
или f(t) =	B ( 0 )		'	e	k
	B ( 0 )		'
	1	k=1	pk B1(pk )
		k=1

когда один из корней знаменателя равен нулю, т. е.

(1.6, а)

B( p) p B1( p) .

Данные равенства называют теоремой разложения.

При наличии комплексно-сопряженных корней слагаемые теоремы разложения будут также комплексно-сопряженными, т. е.:

A(p1)

B' (p1)

e p1t A(p2 )

B' (p2 )

	p t
	p t	A(p1)
e	2	2 Re
e	2	2 Re	'
			'
			B (p )
			B (p )
			1

e p t 2 Re A(p2 )

B (p2 )

e p2t (1.6, б)

Порядок расчёта переходных процессов операторным методом

1.По законам коммутации определяют независимые начальные условия uС(0) и iL(0).

2.Составляют операторную схему замещения.

3.Находят любым методом изображения искомых величин.

4.Определяют оригиналы искомых величин.

Пример 4

В цепи на рис. 1.11, а в момент времени t = 0 срабатывает ключ К и подключается источник ЭДС e(t), изменяющийся по экспоненциаль-

ному закону:

e(t) E

e at .

Определить u

(t) операторным методом

при заданных параметрах цепи:

E0 150 B,

R 50 Oм,

С 100 мкФ,

а 2 .

Решение.

1. Определяем ННУ uC (0) 0.

Составляем

операторную

схему замещения для цепи после

коммутации (рис 1.17):

E( p)

UC (0)

150

Здесь E( p)

р а

р 800

Рис. 1.17

2510 4 с (из примера 1), а

800

3. Рассчитываем uC ( р) методом узловых потенциалов. Принимаем

а 0 , для узла b составляем уравнение:

b (

рC)

UC (0) pC

, c учетом того, что UC (0) 0

( р

) R

получаем:

UC ( р)

( р ) (2

рRC)

р2RC р(2 RC) 2

150

A( р)

0, 005 р2 6

р 1600

B( р)

4. Определяем оригинал uC (t) при помощи теоремы разложения: приравниваем B( р) 0 , отсюда получаем:

					р		800				1	;		р 400			1	,
					р		800					;		р 400				,
						1					c			2			с
											c						с
берем производную B ( р) 2 рRC 2 RC 0,01 р 6 ;
находим оригинал:
u (t)			A( р1)	e p1t					A( р2 )				e p2t			150					e 800t
u (t)				e p1t									e p2t								e 800t
C			B ( р1)						B ( р2 )						0,01 (800) 6
			B ( р1)						B ( р2 )						0,01 (800) 6
		150				e 400t 75								e 800t 75 e 400t B,

	0,01 (400)				6
	0,01 (400)				6
постоянные времени:								1		1, 25 10 3с,									1	2,5 10 3с .
постоянные времени:										1, 25 10 3с,						2				2,5 10 3с .
				1			800									2		400
							800											400

Расчет графика сводим в таблицу:

t	0		2	3	4
75 e t	75	27,6	10,15	3,73	1,37

График напряжения uC (t) переходного процесса показан на рис. 1.18:

Uc(t)

( 75) e( 800) t

75 e( 400) t

U , В
100
	A e p2t
60	2
60
uC (t)
20					t,	c
					t,	c
0	0.002	0.004	0.006	0.008	0.01
20
60	А е p1t
	1
100
	Рис. 1.18 t

4.3.2.Теоретические сведения и методические указания

крешению задачи 1.3

Установившиеся гармонические процессы в линиях с распределёнными параметрами рассмотрены в [1]: §. 11.1–11.25; [2]: 20.1–20.13; [3]: 8.1–8.3.

1.Электрическую цепь, линейные размеры которой сопоставимы

сдлиной волны передаваемого сигнала, называют цепью с распределенными параметрами. Если поперечные размеры цепи по сравнению

сдлиной пренебрежимо малы, ее называют длинной линией. В таких линиях токи и напряжения непрерывно изменяются, являясь функцией двух переменных: длины х и времени t. Примерами линий с распределенными параметрами могут служить протяженные высоковольтные линии электропередач, антенно-фидерные устройства, а также линии связи.

Напряжение и ток в линии с потерями в установившемся гармоническом режиме удовлетворяют уравнениям с гиперболическими функциями:

U ( x) U2ch x I2 Z Вsh x ;

	U2			(1.7)
I ( x)	U2	sh x , I	2	ch x,
I ( x)		sh x , I		ch x,
	Z В
	Z В

где х – расстояние, отсчитываемое от конца линии (нагрузки); U (x) ;U2; I (x); I2 комплексные напряжения и токи;

= + – коэффициент распространения, 1/км;

– коэффициент затухания (ослабления), Нп/км;

– коэффициент фазы, рад/с;

Z B – волновое (характеристическое) сопротивление.

Коэффициент распространения и волновое сопротивление определяются:

R0 j L0

j L

)( G

j C

) ;

(1.8)

G0 j C0

где величины R0 , L0 , G0 , C0 – первичные параметры линии, отне-

сенные к единице длины:

R0 – сопротивление прямого и обратного проводов, Ом/км;

L0 – индуктивность петли, образованной прямым и обратным проводами, Гн/км;

C0 – емкость между проводами, Ф/км;

G0 – проводимость между проводами, См/км.

Первичные параметры определяются конструкцией линии и материалами, из которых она изготовлена. Если параметры вдоль линии не изменяются, линию называют однородной.

Параметры Z B и называют вторичными.

Пример 5

Линии связи длиной l 100 км , работает на частоте f 800 Гц, заданы первичные параметры линии: R0 = 10 Ом/км; L0 = 3,44103 Гн/км; G0 9,65106 См/км; C0 10,88109 Ф/км. Напряжение и ток в кон-

це линии: U2 80В; I2 0,053 е j80 А.

1.Рассчитать напряжение U1 и ток I1 в начале линии, активную Р

иполную S мощности в начале и в конце линии, а также КПД линии.

2. Полагая, что линия п. 1 стала линией без потерь ( R0 G0 0 ),

анагрузка на конце линии стала активной и равной модулю комплексной нагрузки в п. 1, определить напряжение U1 и ток I1 в начале линии,

атакже длину электромагнитной волны .

3.Для линии без потерь п. 2 построить график распределения действующего значения напряжения вдоль линии в функции координаты x, отсчитываемой от конца линии.

Решение

1.Волновое сопротивление линии: