2.НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2014_09_04_08_29_33_main / up2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

6.27 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Г.В. Носов, В.А. Колчанова, Е.О. Кулешова

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ЧАСТЬ 2

Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета

Издательство Томского политехнического университета

2012

УДК 621.3.011(075.8) ББК 31.211я73

Н619

Носов Г.В.

Н619 Теоретические основы электротехники. Часть 2: учебное пособие / Г.В. Носов, В.А. Колчанова, Е.О. Кулешова; Томский политехнический университет. − Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012. –

206 с.

В авторской редакции

В учебном пособии рассмотрены основные положения и математические понятия теории переходных процессов в линейных цепях, а также методы расчёта нелинейных цепей и цепей с сосредоточенными параметрами. Теоретический материал закрепляется многочисленными примерами и контрольными заданиями.

Пособие подготовлено на кафедре электрических сетей и электротехники и предназначено для студентов ИДО, обучающихся по направлению 140100 «Электроэнергетика и электротехника».

УДК 621.3.011(075.8)

ББК 31.211я73

Рецензенты

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН

Ф.Ю. Канев

Кандидат технических наук, доцент кафедры ТОЭ ТУСУРа

Т.В. Ганджа

©ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, 2012

©Носов Г.В., Колчанова В.А., Кулешова Е.О., 2012

©Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ………………………. 5

1.1.Переходные процессы в простейших цепях.

Нулевые начальные условия ……………………...…………………………….. 5

1.2. Законы коммутации ……………………………………………………………… 6

1.3.Классический метод расчёта переходных процессов …………………………. 9

1.4.Объединение реактивных элементов ………………………………………….. 11

1.5.Линейная цепь первого порядка ………………………………………………. 12

1.6.Классический метод расчета переходных процессов

вцепях первого порядка с гармоническим источником ……………………. 16

1.7.Обобщенные законы коммутации …………………………………………….. 18

1.8.Расчет переходных процессов в цепях 2-го порядка

классическим методом

1.9.Операторный метод расчёта переходных процессов ………………………… 29

1.10.Комбинированный операторно-классический метод расчета

переходных процессов ……………………………………………………….. 41

1.11.Метод переменных состояния ………………………………………………... 44

1.12.Переходные и импульсные характеристики ………………………………… 47

1.13.Метод интеграла Дюамеля …………………………………………………… 49

2.НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ………………………………………………………….... 53

2.1.Нелинейные резистивные элементы ……………………………………….….. 53

2.2.Расчет нелинейных резистивных цепей …………………………………….… 57

2.3.Нелинейные индуктивные элементы (НИЭ) ……………………………….…. 63

2.4.Расчет неразветвленной магнитной цепи ……………………………………... 68

2.5.Расчет разветвленной магнитной цепи ……………………………………….. 70

2.6.Расчет цепей с линейными и нелинейными индуктивными элементами …... 74

2.7.Нелинейные емкостные элементы …………………………………………….. 77

2.8.Метод эквивалентных синусоид ………………………………………………..80

2.9.Резонансные явления в нелинейных цепях ………………………………..….. 88

2.10.Переходные процессы в нелинейных цепях ………………………………… 96

3.ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ..105

3.1.Установившийся гармонический режим однородной линии ………….…… 106

3.2.Бегущие волны ……………………………………………………………..…...109

3.3.Режимы однородной линии при гармонических напряжениях и токах ….... 111

3.4.Однородная линия без искажений …………………………………………….115

3.5.Однородная линия без потерь при гармонических напряжениях и токах … 116

3.6.Режимы однородной линии без потерь …………………………………….... 118

3.7.Переходные процессы в однородных линиях без потерь ………………..…. 121

3.8.Включение однородной линии без потерь на постоянное напряжение …... 124

3.9.Отражение и преломление волн в однородных линиях без потерь ……….. 127

Задание № 4. Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях ………………………………………………...134

Задание № 5. Расчет установившегося режима в нелинейных электрических цепях …………………………………………….…. 137

Задание № 6. Расчет длинных линий в установившемся и переходном режимах ………………………………………….......141

Пример 1. Методические указания к заданию № 4 «Расчет переходных процессов в линейных

электрических цепях» ………………………………………………..…144

Пример 2. Методические указания к заданию № 5 «Расчет установившегося режима в нелинейных

электрических цепях» …………………………………………………..171

Пример 3. Методические указания к заданию № 6 «Расчет длинных линий в установившемся

и переходном режимах» ………………………………………….……. 192

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………………………. 205

1.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ВЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

1.1.Переходные процессы в простейших цепях. Нулевые начальные условия

Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного установившегося режима работы электрической цепи к другому, чем-либо отличающемуся от предыдущего, например величиной амплитуды, фазы, частоты или значениями параметров схемы. Переходные процессы возникают при включении или отключении источников, элементов цепи, при коротких замыканиях и обрывах проводов, а также при различных импульсных воздействиях на цепь, например, при грозовых разрядах.

Установившиеся значения напряжений и токов характеризуют установившийся режим цепи и могут оставаться неизменными бесконечно долго, причем эти значения задаются источниками электрической энергии.

При анализе и расчете переходных процессов будем считать, что переходные процессы возникают при включении или отключении элементов цепи посредством ключей, причем эта коммутация происходит мгновенно быстро в момент времени t = 0, при времени t = переходный процесс теоретически заканчивается и наступает новый установившийся режим. Время t < 0 характеризует режим цепи до коммутации, момент времени t = 0– соответствует последнему моменту перед коммутацией. Момент времени t = 0– соответствует последнему моменту перед коммутацией.

	U , B
	U (0 )
U (0 )		Uпр
		Uпр
		t, c
Установившийся	0	Установившийся
режим до		Установившийся
режим до	Время переходного	режим после
коммутации	Время переходного	режим после
коммутации	процесса	коммутации
	процесса	коммутации
	Рис. 1
	5

Момент времени t = 0+ соответствует первому моменту времени после коммутации. Скачок – это мгновенное изменение напряжения или тока при t = 0+.

Анализ и расчет переходных процессов в электроэнергетике осуществляется с целью определение влияния параметров цепи на длительность переходного процесса, что необходимо для различных технологических циклов.

Коммутация это процесс замыкания и размыкания выключателей. Переходные процессы обычно являются быстропротекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда даже милиарные доли секунд. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд.

Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода электрической системы от одного энергетического состояния к другому, то есть это процесс перераспределения энергии между элементами цепи.

Переходные процессы обусловлены наличием реактивных элементов (L и C).

1.2.Законы коммутации

Вэлектрической цепи, не может быть мгновенного изменения накопленной в электрических и магнитных полях энергии

W (0 ) W (0 ) W (0) .

Так как энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля индуктивной катушки равны соответственно

W	u2C			, W			i2L		.

C		2			L			2

При мгновенном изменении этих величин потребовалась бы беско-
нечно большая мощность, т.к.		P			dWC	,		P		WL	, это означает, что

			C		dt			L		dt

в момент коммутации остаются неизменными напряжения на обкладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Для перераспределения энергии требуется время – это процесс инерционный, не мгновенный. Поэтому существуют два закона коммутации.

Первый закон коммутации – ток через индуктивность до коммутации iL (0 ) равен току через индуктивность после коммутации

iL (0 ) или ток индуктивности не может изменяться скачком:

iL 0 iL 0 iL 0 .	(*)
Второй закон коммутации – напряжение на ёмкости до коммута-
ции uC (0 ) равно напряжению на ёмкости	после коммутации

uC (0 ) или напряжение на ёмкости не может изменяться скачком: iC 0 iC 0 iC 0 . (**)

Это есть независимые начальные условия. Независимыми они называются потому, что независимо от того до или после коммутации мы их наблюдаем, они всё равно одинаковы и равны, и поэтому знаки «–» и «+» в выражениях (*) и (**) опускают.

Все остальные напряжения и токи электрической цепи в первый момент после коммутации при t(0 ) называют зависимыми началь-

ными условиями (ЗНУ).

Токи и напряжения после завершения переходного процесса при t называют принуждёнными составляющими (рис. 1).

Пример 1
i	R		Определить:
i	R		начальные условия
			начальные условия
	iL	iC	и принуждённые составляющие.
E	R
E
			С
	L
	R
	Рис. 2

Определяем независимые начальные условия (ННУ) в схеме до коммутации. Так как при постоянном источнике конденсатор представляет собой разрыв, а катушка становиться закороткой, то

iL (0 ) 3ER 1 A ;

uC (0 ) iL (0 )R 100 B.

Определяем зависимые начальные условия (ЗНУ). Составляем схему для первого мгновения после коммутации при t(0 ) . По теореме компенсации заменим конденсатор источником напряжения, величина которого равна напряжению на конденсаторе до коммутации uC (0 ) .

Индуктивность заменим на источник тока, величиной равной iL (0 ) .

Ключ в схеме после коммутации изменяет своё положение на противоположное.

i(0 ) R

iL E R

Рис. 3

iC (0 )

Сопротивление R закорачивается ключом, поэтому его из схемы можно исключить. Для расчёта токов используем метод контурных токов.

i(0 ) R

I11

iL		iC (0 )
R
	I22	С
		С

Рис. 4

I11 J L 1 A;

I22R I11R E EC .

I22	E EC I11R	1 A ; i(0 ) I11	I22	2 A; iC (0 ) I22	1 A .
	R

EC uL (0 ) R iL (0 ) ; uL (0 ) EC R iL (0 ) 0 .

Определяем принуждённые составляющие.

В установившемся режиме в схеме после коммутации при t :

iпр R

iL	+
R	UCпр
	UCпр

Рис. 5

iпр iLпр 2ER 1,5 А; uCпр R iLпр 150 В ; iCпр 0 ; uLпр 0.

1.3. Классический метод расчёта переходных процессов

Метод используется для расчёта линейных цепей, которые характеризуются линейными дифференциальными уравнениями, составленными по законам Кирхгофа для мгновенных значений в цепи после коммутации:

а	d n f (t)	а		d n 1 f (t)	а	df (t)	а	f (t) F (t) ,	(1.3.1)
			n 1

n	dtn			dtn 1	1	dt	0

где an , an 1, ..., a1, a0 постоянные коэффициенты, определяемые пара-

метрами (R, L, C) и структурой цепи после коммутации.

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения записывается в виде суммы двух составляющих – общего решения однородного уравнения fо.р (t) и частного решения неоднородного

уравнения fч.н (t)

f(t) fо.р (t) fч.н (t) fпр (t) fсв (t) .

Вэлектротехнике общее решение однородного уравнения fо.р (t)

называют свободной составляющей iсв (t) A e pt , потому что эта состав-

ляющая не зависит от источника энергии – внешнего воздействия. То есть она свободна от внешнего влияния и зависит от параметров цепи.

Частное решение неоднородного уравнения fч.н (t) в электротех-

нике называют принуждённой составляющей. Она зависит от источника энергии и полностью повторяет его функциональную зависимость от времени с неким коэффициентом пропорциональности. Например, если источник энергии постоянный, то принуждённая составляющая будет постоянной. Если источник энергии имеет синусоидальный вид, то и принуждённая составляющая будет иметь синусоидальный вид.

Характеристическое уравнение (1.3.2) получено из уравнения (1.3.1), путём замены производных высших порядков на p:

а pn а		pn 1 ... а	p а	0 ,	(1.3.2)
n	n 1	1	0

где p – корень характеристического уравнения.

Корни уравнения определяются параметрами цепи. В зависимости от вида корней характеристического уравнения определяется вид свободной составляющей и тип переходного процесса:

Кони вещественные, отрицательные и кратные. Критический ре-

жим

fсв (t) ( A1 A2t ... Antn 1) e pt .

Корни вещественные отрицательные и неравные. Апериодический режим

св

(t) A e p1t

A e p2t ... A e pnt .

Корни комплексные попарно-сопряжённые, с отрицательной ве-

щественной частью. Колебательный режим

p1,2 2 j св2 ;

. . . . . . . . . . .

pn 1,n n j свn .

св

(t) A e 2tсos(

) A e ntсos(

) ,

св2

свn

где A1, A2 , ..., An , 2 ,

..., n постоянные интегрирования, определяемые

начальными условиями; 2 , ..., n

коэффициенты затухания свобод-

ных колебаний [1/c];

св2, ..., свn угловые частоты свободных коле-

баний рад с

1.4.Объединение реактивных элементов

Взависимости от количества не объединяемых реактивных элементов определяется порядок цепи. Цепь с одним реактивным элементом L или C называется цепью первого порядка, цепь с двумя не объединяемыми реактивными элементами – цепью второго порядка и т.д.

Последовательное соединение

1. Индуктивных элементов:

a R1 L1

a R

R2 L2 b

L	b

Рис. 6

где R R1 R2 ; L L1 L2 . 2. Ёмкостей

a	R	C1	R
a	1		2
	a	R	C
		R

C2 b

Рис. 7

где R R1 R2 ; С С1 С2 .

С1 С2

Параллельное соединение

1. Индуктивных элементов

		L1
a		L2	R	b
a				b
	a	R	L	b
	a

		Рис. 8

где R R1 R2 ; L L1 L2 .

L1 L2

2. Ёмкостей:

		C2
a		C1	R	b
a			R	b
	a	R	C
		R		b

Рис. 9

где R R1 R2 ; С С1 С2 .

1.5. Линейная цепь первого порядка

Цепь первого порядка содержит в послекоммутационной цепи только один реактивный элемент L или C характеризуется дифференциальным уравнением первого порядка

df (t)

a f (t) F (t) ,

где а1, а0 – постоянные коэффициенты; f (t)

– напряжение или ток пе-

реходного процесса; F (t)

– функция определяемая источниками поле

коммутации.

Характеристическое уравнение

а1 р а0 0 ,

где

а0

– корень характеристического уравнения.

а1

Решение уравнения

(3)

f (t) f

пр

(t) f

св

(t) f

пр

(t) Ае рt ,

где

пр

(t) – принуждённая составляющая;

св

(t) Ае pt – свободная со-

ставляющая; А – постоянная интегрирования.

Длительность переходного процесса оценивается с использованием

величины, называемой

– постоянная времени. Как правило, за

5 10 переходный процесс заканчивается.

Порядок расчёта:

1. Записываем решение в виде принужденной и свободной составляющих

i(t) iпр iсв (t) i( ) Ae pt или u(t) uпр uсв (t) u( ) Be pt .

2.ННУ. Определяем независимые начальные условия в цепи до коммутации iL (0 ) ; или uC (0 ) .

3.ЗНУ. Определяем искомую величину при t(0 ) : i(0 ) или u(0 ) .

4.Определяем принужденную составляющую в схеме после коммутации iпр i() или uпр u() .

5.Определяем корень характеристического уравнения p через

входное сопротивление Z ( p) 0 , в схеме после коммутации.

6.Определяем постоянную интегрирования из начальных условий

Аi(0 ) iпр (0) или В u(0 ) uпр (0) .

Записываем окончательное решение и строим график.

Пример

	i2
E	R2
	R1

Рис. 10

Дано:

E 100 В;

L 1 Гн;

R1 100 Ом; R2 25 Ом; R3 100 Ом.

Определить: i1(t) ?

1. Для схемы после коммутации определяем независимые начальные условия.

	i1 (0 )				E
				i1(0 )	E			0,833 A;
	i2	i	(0 )	i1(0 )	R R			0,833 A;
		L		R1		2	3
	R2			R1	R2	R3
E	R2				R2	R3
	R	R3		iL (0 ) i1(0 ) R			R2		0,167	A.
	1			iL (0 ) i1(0 ) R			R		0,167	A.
	1
						2		3
	Рис. 11

2. ЗНУ Определяем искомую величину при t(0 )									i1(0 ) .
i1 (0 )
	i2		iL	I22 JL ;
I11	i2	I22	iL	I (R R ) I					R E.
I11		I22		I (R R ) I				22	R E.
E				11	1	2		22	2
E	R2						e J LR2 0,833 A.
R	R2			i (0	) I		e J LR2 0,833 A.
1				1	11		R1		R2
							R1		R2
Рис. 12
3. Определяем принужденную составляющую в схеме после ком-
мутации i1пр i( ) .
i1пр

		i2пр	iLпр		E
E	R2			i	E	1 A .
				i		1 A .
				пр1	R1
	R1				R1
	R1

Рис. 13

4. Определяем корень характеристического уравнения p .

	Z ( p)

R2	Lp
R1

Z ( p) R1			R2 pL		0		;
		R2 pL

	R1R2				1
p				20				.
	L(R R )					c
1			2

Рис. 14

5.Определяем постоянную интегрирования

Аi1(0 ) iпр1 0,167 А .

6.Записываем окончательный результат

				t
			i (t) 1 0,167e 20t 1 0,167e		A .
			i (t) 1 0,167e 20t 1 0,167e		A .
			1
где	1	1	0,05 c – постоянная времени.
где	p	20	0,05 c – постоянная времени.
	p	20

Пример решения в MathCAD

ORIGIN 1			R	L	iL

E	8	L 100 10 3	E
R	220	c 0.22 10 6			С

Классический метод, постоянный источник, цепь второго порядка

1. Определяем независимые начальные условия

iLo 0

Uco

iL (0 )

(0 )

2. Определяем зависимые начальные условия

ULo E

ULo 8

uC (0 )

3. Определяем принуждённую составляющую

iLпр

4. Определяем корень характеристического уравнения

R L p

solve p

( 1100.) 6651.7 i

c p

float

( 1100.)

6651.7 i

5. Определяем постоянные интегрирования

iLo iLпр

6.014i 10

ULo

6.014i 10

6. Окончательный результат

iL(t)

iLпр B ep1 t B ep2 t

comp lex

iL(t)

float

.120e-1 e( .110e4) t sin (.665e4 t)

7. График искомой функции

9.091

10 4

t 0 0.01 5

0.01

0.005

iL(t)

0.001

0.002

0.005

0.01

1.6. Классический метод расчета переходных процессов в цепях первого порядка с гармоническим источником

Установившиеся режимы рассчитываются символическим методом.

Порядок расчёта:

1.Записываем решение в виде принужденной и свободной составляющих i(t) i(t) Ae pt или u(t) uпр (t) Be pt .

2.ННУ. Определяем независимые начальные условия в цепи до

коммутации IL (0 ) iL (0 ) или UC (0 ) uC (0 ) .

3.ЗНУ. Определяем искомую величину при t(0 ) i(0 ) или u(0 ) .

4.Определяем принужденную составляющую в схеме после ком-

мутации Iпр iпр (t) iпр (0) или Uпр uпр (t) uпр (0) .

5.Определяем корень характеристического уравнения p через

входное сопротивление Z ( p) 0 , в схеме после коммутации.

6.Определяем постоянную интегрирования из начальных условий

Аi(0 ) iпр (0) или В u(0 ) uпр (0) .

Записываем окончательное решение и строим график.

Пример
i	R				Дано:
	i		iC		е 100 2 sin(100t 45) B;
	i	L	iC		R 100 Ом ;
		L
				С
E				С	L 1 Гн ;
E	R				L 1 Гн ;
	R				С 100 мкФ.
			L		С 100 мкФ.
			L
					Определить:

Рис. 15	i(t) ?

1. ННУ. (Определяем независимые начальные условия в цепи до коммутации

IL (0 ) iL (0 ) или UC (0 ) uC (0 ) ;

т.к. Z (адb) jX L jXC 0 – резонанс напряжений.

IС(д)

E 1e j45

I (д) I (д) I (д)

A ;

jXC

iL (0 )

2 sin 45 1 A ;

jX L

U (д) ( jX

100e j45

B ;

uC (0 )

2 100sin(45) 100 B.

Рис. 16

2. ЗНУ. Определяем искомую величину при t(0 ) i(0 ) или u(0 ) .

i(0 )

iC (0 )

uL (0 ) 0;

e(0)

UC (0)

e(0) EC R

i(0 ) ;

iL (0)

(0 )

i(0 )

e(0) EC

2 A .

Рис. 17

3. Определяем принужденную составляющую в схеме после ком-

мутации Iпр iпр (t) iпр (0) или Uпр uпр (t) uпр (0) .

Схема после коммутации, установившийся режим, гармонический

источник, символический метод.

Iпр	R		Z (п) R			R( jXC ) 158e j18,4 Ом ;
						R jXC
E	R	jXC	Iпр	E		0,63е j63,4 A ;
E	R	jXC	Iпр	Z (п)		0,63е j63,4 A ;
				Z (п)
			iпр (t)		2 0,63sin(100t 63, 4) A ;
	Рис. 18		iпр (0)		2 0,63sin 63, 4 0,794 A .
			iпр (0)		2 0,63sin 63, 4 0,794 A .

4. Определяем корень

характеристического

уравнения

p через

входное сопротивление Z ( p) 0 , в схеме после коммутации.

Z ( p)

Z ( p) R 1 0;

p 2

200 1 .

Рис. 19

5. Определяем постоянную интегрирования

из начальных условий

A i(0 ) iпр (0) 2 0,794 1,206 А .

Записываем окончательное решение и строим график.

3 i(t), А

i(t)

2 0,63sin(100t 63, 4 )

i(t)

1, 206е 200t A;

iпр

(t)

5 10

с ;

iсв(t)

t, c

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

tп 5 2,5 10

c ;

Т 2

6, 28 10 2 с .

Рис. 20

1.7.Обобщенные законы коммутации

Впереходных режимах может наблюдаться быстрая начальная импульсная часть переходного процесса, которая для упрощения анализа принимается приближенно происходящей мгновенно (скачком).

При этом законы коммутации будут нарушаться, поэтому в этих случаях используются обобщенные законы коммутации:

1. Для каждого контура, в который входят индуктивности, связанные в узел, имеем

k (0 ) k (0 ) или LkiLk (0 ) LkiLk (0 ) .

2.Для каждого из узлов контура, составленного из емкостей, имеем

qk (0 ) qk (0 ) или Сk uСk (0 ) Сk uСk (0 ) .

Пример

Дано:

E 100 B ;

iL2

R1 10

Ом ;

R2 R3 30 Ом ;

L1 1

Гн ;

iL1

L 3

Гн ;

С 100 мкФ.

Рис. 21

Определить:

iL1(t) ?

1. Для схемы после коммутации определяем независимые начальные условия:

iL (0 )		E		4 A ;


1	R1	R2R3
1

		R2	R3
		R2	R3

iL	(0 ) iL (0 )		R3	2 A .
			R3
2	1	R2

Суммарное потокосцепление

k (0 ) L1iL1 (0 ) L2iL2 (0 ) 10 Вб.

Суммарная энергия

				L i2 (0					) L i2 (0						)
	Wм (0 )				1 L						2	L						14 Дж.
						1						2
						2						2
						2						2
2. ЗНУ. Схема после коммутации при t(0 ) .													iL				(0 ) iL (0 ) , тогда
														1					2
k (0 ) L1iL (0 ) L2iL								(0 ) (L1 L2 ) iL (0 ),
	1						2											1
но k (0 ) k (0 ) , тогда
	iL (0 ) iL					(0 ) k (0 ) 2,5,
	1		2						L1 L2
									L1 L2
		L i2 (0						)		L i2 (0				)
	Wм (0 )		1			L					2	L				12,5Дж.
причём						1						2
причём						2						2
						2						2
«Пропавшая»	энергия		Wм Wм (0 ) Wм (0 ) 1,5																Дж, которая

израсходована на потери в проводах, искру и излучение.

3. Определяем принужденную составляющую в схеме после коммутации

i1пр i( ),	iL1	iL2			E	2,5А.

			пр		R2
	пр			R1

4. Определяем корень характеристического уравнения p

Z( p) R1 pL1 R2 pL2 0;

p		R1 R2		10	1	.
p		L L		10		.
		L L			c
	1		2
5. Определяем постоянную интегрирования							A iL1(0 ) iL1	0 ,
							пр
т.е. переходного процесса не будет.
6. Записываем окончательный результат
i	(t) i		L1	Ае pt 2,5 A .
L1			L1
			пр

	A		iL1(t)
	iL1(0 )	4	iL1(t)
	iL1(0 )	4


3				iL1	(0 ) iL1
3				iL1	(0 ) iL1
					пр
2
2
1
1

Рис. 22

Пример

R
С	+	iL

1		+		E2
E1			С2

Рис. 23

Дано:

E1 E2 100 В; С1 200мкФ; С2 100 мкФ;

R 100 Ом .

Определить: uC2 (t) ?

1. Для схемы после коммутации определяем независимые начальные условия:

	uC (0 ) Е1 100 В;										uC		(0 ) Е2 100 В.
	1											2
Суммарный заряд
	qk (0 ) C1uC						(0 ) C2uC (0 ) 0,01 Кл.
					1								2
Суммарная энергия
		С u2				(0			) С u2					(0		)
	Wэ (0 )		1		C						2		C				1,5 Дж.
					1								2
					2								2
					2								2
2. ЗНУ. Схема после коммутации при														t(0 ) .				uC (0 ) uC (0 ) , то-
																			1	2
гда
	qk (0 ) C1uC (0 ) C2uC										(0 ) (С1 С2 ) uC (0 ) ,
			1							2									2
но qk (0 ) qk (0 ) , тогда
	uC		(0 ) qk (0 ) 33,333 В,
	2						С1 С2
							С1 С2
				С u2					(0	)		С u2				(0		)
	Wэ (0 )				1		C						2	C					0,166
причём								1							2					Дж.
причём							2							2						Дж.
							2							2
«Пропавшая» энергия					Wэ Wэ (0 ) Wэ (0 ) 1,334															Дж, которая

израсходована на потери в проводах, искру и излучение.

3. Определяем принужденную составляющую в схеме после коммутации

uC2пр uC1пр E1 100 В.

4. Определяем корень характеристического уравнения p .

	1		pC	1	pC
			pC		pC
Z ( p) R			1			2	0 ;
Z ( p) R	1	pC		1		pC	0 ;
	1			1

			1			2

p		1			33,333	1	.
	R(С		С )
						c
1				2

5. Определяем постоянную интегрирования

B uC2 (0 ) uC2пр 66,666 В.

6. Записываем окончательный результат

uC2 (t) uC2пр Bе pt 100 66,666е 33,333t ;

1	0,03 с,	t	5 0,15 с.
	0,03 с,	t	5 0,15 с.
p		п
p
	B uС 2 (t)
	B uС 2 (t)					uС 2 (t)
120
120
80
80
40						t
40
uС 2 (0 )			2	3
0			2	3	4	5
-40
-40

uC 2 (0 )-80

-120

Рис. 24

1.8. Расчет переходных процессов в цепях 2-го порядка классическим методом

Цепь 2-го порядка после коммутации содержит:

–L и С;

–или две L;

–или две С.

Характеризуется уравнениями:

а	d 2 f (t)	а	df (t)	a f (t) F (t) ;

2	dt2	1	dt	0

f (t) fпр (t) fсв (t) ,

где f (t) – напряжение или ток переходного процесса; а0, а1, а2 – постоянные коэффициенты; F (t) – функция, определяемая источниками после коммутации; fпр и fсв – принужденная и свободная составляющие.

Характеристическое уравнение: a2 p2 a1 p a0 0 .

Корни характеристического уравнения

	a	a2	a
p	1	1	0	.

1,2	2a2	4a22	a2

В зависимости от корней характеристического уравнения возможны следующие виды переходных процессов:

	a2	a
Если	1	0	– корни вещественные, отрицательные и разные.
Если	4a22	a2	– корни вещественные, отрицательные и разные.
	4a22	a2

Апериодический режим

fсв (t)

А2

еp2t

fсв (t)

А ер1t

А1

tп 5 1

Рис. 25

св

(t) A e p1t A e p2t

... A e pnt ,

– постоянные времени;

р1

р2

tп 5 max( 1,2 ) – длительность переходного процесса.

a2			a	0
Если	1			0	– корни вещественные отрицательные и равные.
Если					– корни вещественные отрицательные и равные.
4a22			a2
					Критический режим
					fсв (t)
		А1			fсв (t)

tп

Рис. 26

	f	св	(t)		( A	A t ... A tn 1) e pt ,
		св			1	2	n
p p1 p2		a1		;
p p1 p2	2a2			;
	2a2

tп 5p – длительность переходного процесса.

	a2	a
Если	1	0	– корни комплексно-сопряжённые, с отрицатель-
Если	4a22	a2	– корни комплексно-сопряжённые, с отрицатель-
	4a22	a2

ной вещественной частью.

Колебательный режим или периодический режим fсв (t)

огибающая

Аcos

касательная

Рис. 27

св

(t) A e свtсоs( t ) ,

св

где p1,2 св j св

;

св

– коэффициент затухания свободных колебаний;

2а2

а0

а12

– угловая частота свободных колебании;

св

4а2

Тсв

– период свободных колебаний;

св

, с – постоянная времени огибающей свободных колебаний;

св

tп 5 (с) – длительность переходного процесса; А, – постоянные интегрирования.

Пример
R							Дано:
	iL		iC	J			E 100 В;
+	iL	+	iC				J 2 А;
+		+					J 2 А;
uL	L uC		С				L 6, 25 Гн;
e							С 100 мкФ;
i							R 100 Ом .
i							Определить:
							Определить:
Рис. 28							i(t) ?
Рис. 28
Для схемы после коммутации по законам Кирхгофа составляем
уравнения
			i J iL iC 0 ;					(1.8.1)
			u		u	L	L diL ;	(1.8.2)
			C			L	dt
							dt
			e R i uC ,					(1.8.3)
причём
			i	C duC .				(1.8.4)
			C				dt
							dt
Из уравнений (1.8.3) и (1.8.4):

i C	duC	C	d (e R i)	С	de	R C	di	.	(1.8.5)

C	dt		dt		dt		dt

Из уравнений (1.8.2) и (1.8.3):

iL	1	uLdt	1	uCdt	1	(e R i) dt .	(1.8.6)
	L		L		L

Из уравнений (1.8.1), (1.8.5), (1.8.6):

i J	1	(e R i)dt С	de	R C	di	0 .	(1.8.7)
	L		dt		dt

Продифференцируем уравнение (1.8.7):

i С

d 2e

R C

d 2i

0 .

(1.8.8)

dt2

В результате из уравнения (1.8.8):

R C

d 2i

d 2e

(1.8.9)

dt2

или

F (t)

d 2e

dt2

где

R C ; а

1; а

Решение уравнения (1.8.9): i(t) iпр (t) iсв (t) . Так как e 100 const1, J 2 const2 , то iпр (t) Iпр const3. Подставим Iпр в уравнение (1.8.9):

d 2 Iпр

dIпр

d 2e

dt2

пр

dt2

Тогда Iпр

iпр (t) Iпр

можно также найти из расчета установившегося режима после комму-

тации (t ) . По 2 закону Кирхгофа e R I

пр

А.

Характеристическое уравнение

RCp2 p

;

(1.8.10)

р2 80 1

–

p1,2

р1 20

2RC

апериодический переходный процесс. Уравнение (1.8.10) можно также получить из Z(p) = 0 после коммутации.

Рис. 29

Cp Z ( p)

Z ( p) R pL 1 pC 0 pL 1 pC

или

RCp2 p RL 0 .

При апериодическом переходном процессе

(t) A e p1t A e p2t

св

тогда

i(t) i

(t) i

(t) 1 А е 20t

А е 80t .

пр

св

Для определения А1

и А2

найдем i(0 )

di(t)

– это зависи-

t 0

мые начальные условия.

Определяем независимые начальные условия: iL (0 )

и uC (0 ) .

iL (0 ) 0 ;

) e RJ 300

В,

причём

i(0 )

i(0 ) J 2 А.

Рис. 30

Схема после коммутации при t 0 .

J L iL (0 ) iL (0 ) 0 ;

iC (0 )

EC uC (0 ) uC (0 ) 300 В.

По 2 закону Кирхгофа

i(0 )

J L

e EC R i(0 ),

) e EC 2

тогда i(0

А.

Рис. 31

Для

определения

di(t)

используем

уравнение

(1.8.3)

t 0

e R i(t) uC , которое продифференцируем

R di(t) duC

R di(t) iC

т.е.

di(t)

iC (0 ) .

t 0

iC (0 ) найдем по 1 закону Кирхгофа:

i(0 ) J J L iC (0 ) 0.

) i(0 ) J J

2 2 0 0 , тогда di(t)

А .

t 0

Таким образом,

i(t) 1 A e 20t A e 80t

; di(t)

20A e 20t

80A e 80t .

i(0 ) 1 A1 A2 2;

А1 4 (А);

Или при t 0

di(t)

20A1 80A2

А 1 (А).

t 0

Окончательный результат i(t) 1 4e 20t 1e 80t

А.

i(t)

- 1

1е

iпр (t) 1 A

i(t)

10 2 с

-1

i(0 )

-3

-4e 2

-4

Рис. 32

5 10 2 с;

1, 25 10 2 с;

5max(

) 5

25 10 2 с.

1,2

Порядок расчета переходных процессов в цепях 2-го порядка

спостоянными или периодическими источниками:

Для искомого напряжения или тока f (t) определяются началь-

ные условия	f (0 ) и	df (t)	.
		dt
			t 0

Определяется принужденная составляющая fпр (t) .

При помощи Z ( p) 0 находятся корни характеристического уравнения.

	В зависимости от p1 и p2	записывается				fсв (t) .
	По начальным условиям	f (0 )	df (t)			и находятся постоян-
	По начальным условиям	f (0 )	dt			и находятся постоян-
			dt	t	0
ные интегрирования.				t	0
ные интегрирования.
	Записывается окончательный результат					f (t) fпр (t) fсв (t) .

1.9. Операторный метод расчёта переходных процессов

Операторный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображений). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изображением) производится обратное преобразование Лапласа, получается оригинал. Полученный оригинал – это функция, которая и будет решением дифференциального уравнения.

Любой функции можно сопоставить её преобразование Лапласа

F ( p) f (t)e ptdt ,

где F ( p) – изображение; f (t) – оригинал.

Приведём изображение нескольких часто встречающихся функций. Определим изображение константы – f (t) A const :

	pt		e pt		A

F ( p) A e		dt		0		.
			p		p
0

Найдем изображение экспоненциальной функции – f (t) e t :

	t		pt		e p t		1

F ( p) A e		e		dt		0		.
					p		p
0

Изображение экспоненциальной функции поможет нам найти изображения синусоидальной косинусной функций – sin( t), cos( t) . Для

этого запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем следующую цепочку преобразований:

sin t	e j t e j t	1	1	1

	2 j
		2 j p j		p j

1	p j p j			;
		p2 2	p2 2

2 j

cos t

e j t e j t

p j

p j p j

p2 2

Определим изображение производной

df (t)

функции

f (t) , имеющей

изображение F ( p)

df t

f t e

dt e

f 0 pF p .

И, наконец, определим изображение интегрального выражения f t dt

e pt dt

e pt

0 0

t dt

e pt f

f t e pt dt

F p

Таблица преобразований Лапласа

f (t) -оригинал	F( p) -изображение

1		1 p

e t	1 p
e t	1 p
sin( t)	p
sin( t)			2	2

cos( t)	p p
cos( t)			2	2

df (t) dt	f (0) pF( p)

t		F ( p)
f (t)dt
f (t)dt			p
0			p
0

Для определения оригинала f(t) используется обратное преобразование Лапласа

	1	j	F ( p) e ptdp .
f (t)
	2j
		j

На основании обратного преобразования Лапласа получена теорема разложения.

	D( p)	d	0	d p d	2	p2	... d	m	pm
Если F ( p)				1						, причем:
	B( p)	b0 b1 p b2 p2					... bn pn

m < n;

корни B(p) = 0 различны;

корни D(p) = 0 и B(p) = 0 различны,

тогда

n
f (t)	D( p k )	e p k t ,

k 1 B '( p k )

где pk – корни B(p) = 0;

B' ( p	)	dB( p)	.

k		dp
			p pk

Пример

Дано: изображение:				Определить:
F ( p) I ( p)	p 10	D( p)	, (Ac)	оригинал.
	p3 6 p2 8 p	B( p)

B( p) p3 6 p2 8 p p( p2 6 p 8) 0 ;

p1 0 ;

p2 2 1

;

p3 4 1

;

B' ( p) 3p2 12 p 8 ;

n 3

D( pk )

e pk t ;

i(t)

k 1

B' ( pk )

i(t)

0 10

e0t

2 10

e( 2)t

02 12 0

( 2)2

( 2) 8

4 10

e( 4)t ;

3 ( 4)2

12 ( 4) 8

i(t) 1, 25 2e 2t 0,75e 4t А.

Пример

Дано: изображение:

Определить:

D( p)

оригинал.

F ( p) U ( p)

2 10

p 2 10

, (Вc)

p( p2 200 p 2 104 )

B( p)

B( p) p( p2 200 p 2 104 ) 0 .

p1 0 ,

p2,3

100 j100 1

;

B' ( p) ( p2

200 p 2 104 ) p(2 p 200) ;

n 3

D( pk )

e pk t ;

u(t)

k 1

B' ( pk )

u(t)

2 104 0 2 106

eot

(02 200 0 2 104 ) 0(2

0 200)

2 104 p2 2 106

p t

( p 2

2 104 ) p (2

200

200)

2 104 p3 2 106

p t

e 3

( p 2

200

2 104 ) p (2 p

200)

100 70,5e j135 e( 100 j100)t 70,5e j135 e( 100 j100)t

100t

e j(100t 135 ) e j(100t 135 )

100 2 70,5e

100 141e 100t cos(100t 135 ), В.

Пример

Дано: изображение:

Определить:

2 10

D( p)

оригинал.

F ( p) U ( p)

p 2 10

, (Вc)

p( p2 200 p 2 104 )

B( p)

B( p) p( p2 200 p 2 104 ) 0 ;

p1 0 ;

p2,3 100 j100 1

B ( p) ( p3 200 p2 2 104 p) 3p2 400 p 2 104;

тогда

n 3 D( p )

p t

2 104

0 2 106

0 t

u(t)

( p

)

02 400 0 2 104

k 1

2 104 p2 2 106

p t

2 Re

3p 2

400 p

2 104

100 2 Re

70,5e j135 e( 100 j100)t

100 2 Re

70,5e j( 135 100t)e 100t

100 141e 100t cos(100t 135 ) В.

Пример

Дано:

изображение:

Определить:

I ( p)

0,5

D( p)

оригинал.

, (Аc)

p( p2 2 p 1)

B( p)

B( p) p( p2 2 p 1) 0;

p1 0 ;

p2 p3 1 1

Используем метод неопределённых коэффициентов.

(a b) p2 (2a b c) p a

( p 1)2

p( p 1)2

p p 1

Сравнивая коэффициенты числителей, находим

(a b) 1;

(2a b c) 1;a 0,5.

a 0,5;b 0,5;c 0,5.

Оригиналы каждой из простых дробей определим по таблице пре-

образований Лапласа. i(t) 0,5 0,5e t

0,5t e t

(A) .

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Резистивный элемент

при IR ( p) iR (t)e ptdt ,

UR ( p) uR (t)e ptdt R iR (t)e ptdt.

UR ( p) R IR ( p)

– закон Ома в операторной форме для резистивного

элемента.

Индуктивный элемент u

(t) L

diL

L i

(t) .

( p) i (t) , i (t) p I

( p) i (0

)

UL ( p) L [ p IL ( p) iL (0 )] или UL ( p) ZL ( p) IL ( p) L iL (0 )

при ZL ( p) pL и iL (0 ) 0 получаем закон Ома в операторной форме для индуктивного элемента.

Емкостный элемент uС (t) uC (0 )

iC (t)dt .

IC ( p)

При

IС ( p) iС (t), iC (t)dt

имеем

( p) uC (0 )

IC ( p)

pС

или

UС ( p) ZС ( p) IС ( p) uC (0 ) p .

При ZС ( p) 1 pC и uС (0 ) 0 получаем закон Ома в оператор-

ной форме для емкостного элемента.

Пассивный двухполюсник при нулевых начальных условиях, ко-

гда iL (0 ) 0 и uC (0 ) 0 . u f [R; L; C; i; i ; idt].

При I ( p) i(t) по аналогии с законом Ома для отдельных элемен-

тов можно записать операторное изображение напряжения.

U( p) Z( p) I ( p) – закон Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях, где Z ( p) ) – эквивалентное операторное сопротивление двухполюсника.

Например

	C	Z ( p) R	pL	R2		1	pC		.

R


2		1		R	1
				R	1			pC
			2					pC

Рис. 33

Первый закон Кирхгофа в операторной форме. Так как

ik (t) 0 , то ik (t)e ptdt 0 .

I k ( p) 0 – первый закон Кирхгофа в операторной форме.

i1(t)

i3(t) i2 (t)

I1( p)

I3( p)

I2 ( p)

i1(t) i2 (t) i3(t) 0;

I1( p) I2 ( p) I3( p) 0.

	Второй закон Кирхгофа в операторной форме.
Так как uп (t) ek (t) uJ										q	(t) ,
										q

то	uп (t)е ptdt ek (t)е ptdt uJq (t)е ptdt ,
		0	п				k		0		0
			п				k		Jq
или		U		( p )			E	p(	) U		p ( –) второй закон Кирхгофа
в операторной форме,
где Uп ( p)		– операторное изображение напряжения на пассивном эле-
менте;	Ek ( p) – операторное изображение ЭДС; UJq ( p) – операторное
изображение напряжения на источнике тока.
	i(t)	R
a					+
					+
u(t)	e(t)					uJ (t)					R i(t) u(t) e(t) uJ (t) .
u(t)	e(t)				J (t)						R i(t) u(t) e(t) uJ (t) .
b					J (t)
b
					I ( p)	R
			a						+
									+
	U ( p)				E( p)				U J ( p)		R I ( p) U( p) E( p) UJ ( p) .
	U ( p)				E( p)
			b					J ( p)
			b

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме аналогичны этим законам на постоянном токе, поэтому к операторным схемам замещения применимы те же методы расчета, но в операторной форме:

Метод законов Кирхгофа.

Метод контурных токов.

Метод узловых потенциалов.

Метод наложения.

Метод эквивалентного генератора.

Метод преобразований.

Операторная схема замещения составляется для цепи после коммутации на основании операторных схем отдельных элементов.

Схемы отдельных элементов следуют из законов Ома и Кирхгофа

воператорной форме.

1.Источник ЭДС:

	a	a
	e(t)	E( p)	e(t). . E( p) .
	b	b
2.	Источник тока:
	a	a
	J (t)	J ( p)	J (t). . J ( p) .
	b	b	J (t). . J ( p) .
	b	b
3.	Резистивный элемент:

iR (t) R
a		b
+u	R	(t)

uR R iR ,

a	IR ( p) R
	b

+UR ( p)

UR ( p) R IR ( p) .

4. Индуктивный элемент:

a	iL (t) L
	b

+uL (t)

	IL ( p) Lp	LiL (0)
a		b

	+UL ( p)

u	L	L	diL	,	U	L	( p) pL I	L	( p) Li (0) .

			dt						L

5. Емкостный элемент:

iC (t) C

a +uC (t) b

1 t

uC uC (0) C 0 iC dt ,

1 UC (0)

Cp p

IC ( p)

a +UC ( p) b

U	С	( p)	1	I	С	( p)	uC (0)	.

			pC				p

Порядок расчета переходных процессов операторным методом:

1. Определяются независимые начальные условия iL (0 ) iL (0) и uC (0 ) uC (0) .

2.Для схемы после коммутации изображается операторная схема, которая рассчитывается любым методом в операторной форме.

3.По теореме разложения определяются напряжения и токи переходного процесса в функции времени.

Пример

R			a		R
	+		iL		i
	+			+	C
					C
E	uL		L uC		С	J
E	uL		L uC		С	uJ
						uJ
i	R					+
i
			b
		Рис. 34

Дано:

E 100 В;

J 2 А;

L 1 Гн;

С 50 мкФ;

R 100 Ом .

Определить: i(t) ? uJ (t) ?

1. Определяются независимые начальные условия

	R	a		R
		R	+		J
E	I11		+	uC (0 )	J
E	I11			uC (0 )
i		i	(0 )	I22	+
		L

		b
		Рис. 35

iL (0 ) iL (0)

и uC (0 ) uC (0) .

iL (0 ) I11 I22 0,5 А; uC (0 ) iL (0 )R 50 .

2. Для схемы после коммутации изображается операторная схема, которая рассчитывается любым методом в операторной форме.

iL (0) iL (0 ) 0,5

А,

uС (0) uС (0 ) 50 В.

b ( p) 0 ;

IL ( p)

IC ( p)

( p)

U J ( p)

LiL (0)

I ( p)

UC (0)

LiL (0)

uC (0)

p 1

Рис. 36

a ( p)

EL RLiL (0) RLJ RLCuC (0) p

RLCp2 Lp R

( p)

( p) E

a ( p)

3. I ( p)

;

LiL

(0) JL LCuC (0) p

I ( p)

;

RLCp2 Lp R

0,5 2510 4 p

D ( p)

I ( p)

0,005 p2

p 100

B1( p)

По 2 закону Кирхгофа

( p) ( p) U

( p) R

, U

( p)

( p) ;

UJ ( p)

200

50 0, 25 p

200

D2 ( p)

B2 ( p)

0,005 p2 p 100

4. По теореме разложения определяются i(t)

и uJ (t) .

n 2

D ( p )

e pk t

1 0,707e 100t cos(100t 45 ) А.

i(t) 1

B1' ( pk )

k 1

n 2

D ( p )

e pk t

70,7e 100t cos(100t 45 ) В.

uJ (t) 200

200

B2' ( pk )

k 1

Достоинства операторного метода

Не нужно определять ЗНУ, принужденные составляющие, корни характеристического уравнения и постоянные интегрирования.

Можно использовать известные методы расчета операторных схем замещения.

Пример решения в MathCAD		R	L iL
		R	L iL
ORIGIN 1
E 8	L 100 10 3	E	С
R 220	c 0.22 10 6

Операторный метод, постоянный источник, цепь второго порядка

1. Определяем независимые начальные условия

Uco

ilo 0

2. Определяем изображение искомой функции

iL (0 ) pL

( p)

E Uco L ilo

I(p)

L p R

c p

simplify

.16000e14

uC (0 )

I(p)

float 5

.90909e19 .44000e15 p

.20000e12 p

3. Определяем оригинал искомой функции

I(t)

I(p)

invlap lace p .120e-1 e( .1 10e4) t sin (.665e4 t)

float 3

I(t) .120e-1 e( .1 10e4) t sin (.665e4 t)

4. График искомой функции

.909e19

.200e12 p

.440e15 p

solve p

( 1100.) 6651.3 i

float

( 1100.) 6651.3 i

9.091 10 4

t 0 0.01 5

Re p1

	0.01
I(t)	0	0.001	0.002
	0	0.001	0.002
	0.01
			t
		40

1.10. Комбинированный операторно-классический метод расчета переходных процессов

Цель метода – упрощение операторных изображений искомых напряжений и токов.

Сущность метода – применение принципа наложения.

Когда принужденные составляющие находятся из расчета установившегося режима после коммутации, а свободные составляющие определяются из расчета операторной схемы (после коммутации).

Порядок расчета:

1. Определяются независимые начальные условия iL (0 ) iL (0) и uC (0 ) uC (0) .

2.Определяются принужденные составляющие тока в индуктивности, напряжения емкости и искомых величин, например, iпр (t) .

3.Определяются значения свободных составляющих при t 0:

iLсв (0) iL (0) iпрL (0) ; uСсв (0) uС (0) uпрС (0) .

4. Рассчитывается операторная схема после коммутации для свободных составляющих, где источники ЭДС закорочены, ветви с источниками тока разорваны, Причем индуктивности и емкости изображаются так:

IL св ( p) Lp LiL св (0)

1 UC

св

(0)

( p)

св

Находится операторное изображение свободной составляющей, на-

D( p)

пример, Iсв ( p) B( p) .

5. По теореме разложения и принципу наложения находим
					n	D( p )		p t
			i(t) iпр (t)			'	k	e k	.
						'	( pk )
					k 1 B		( pk )
						iсв (t)
Пример
R		a		R			Дано:
		iL					e(t) 200sin(100t 90 )				В;
		iL			J (t)		J (t) 2sin100t			А;
			+				J (t) 2sin100t			А;
e(t)							L 1 Гн;
	L	С		uC	+

							С 100 мкФ;
					uJ		С 100 мкФ;
i(t)					uJ		R 100 Ом .
i(t)							R 100 Ом .
		b					Определить:
		b					i(t) ? uJ (t) ?
	Рис. 37						i(t) ? uJ (t) ?
	Рис. 37
Решение:
1. Определяются независимые начальные условия

iL (0 ) iL (0) и uC (0 ) uC (0) .

R	a	R				200e j90
	(д)			E		200e j90	В;
	(д)				m
	ImL
Em	(д)			J	m	1e j0 А;
	UmC	jXC			m
jX L		jXC	J m	X L L 100 Ом;
			J m	X L L 100 Ом;

100

Im(д)

Ом.

Рис. 38

Так как Z

jX L ( jXC )

, то

I (д) J

jX L jXC

U (д)

(д)R 200e j90 2e j0

100 282e j45 В;

I (д)

UmC(д)

282e j45

2,82e j45 А;

jX L

j100

i(д) 2,82sin(100t 45 ) ,	i	L	(0) i(д)		(0)	2,82sin( 45		) 2 А.
L		L		L
u(д) 282sin(100t 45 ) ,	u			(0) u(д) (0)			282sin(45 ) 200 В.
C		С		C

2. Определяются принужденные составляющие тока в индуктивности, напряжения емкости и искомых величин:

iпр	L	(t) ? iпр (t) ? uпр			(t) ? uпр	J	(t) ?
	L			С		J
a			R		X L XC ;

	ImL		+
			Um
Em	UmC
		jXC
jX L
			J m

Im b

Рис. 39

UmC Em 200e j90 В;

ImL UmC jX L 2e j0 А;

Im Jm 2e j180 А;

Um RJm UmC 282e j45 В.

iпрL (t) 2sin100t А, uпрС (t) 200sin(100t 90 ) В; iпр (t) 2sin(100t 180 ) А, uпрJ (t) 282sin(100t 45 ) В.

3. Определяются значения свободных составляющих при t 0: iLсв (0) iL (0) iпрL (0) 2 2sin 0 2 А;

uC	(0)	uC (0)	uпр	(0) 200 200sin 90	0 В.
св			С

Iсв ( p) LiLсв

	1	U		( p)		LiL св (0)	2	D( p)
	Cp	U	св	( p)	Iсв ( p)	LiL св (0)	2	D( p)	;
			св
(0)	UCсв (0)					pL	p	B( p)
	UCсв (0)					Uсв ( p) 0.
	p					Uсв ( p) 0.

Рис. 40

5. По теореме разложения и принципу наложения находим


n 1
i(t) iпр (t)	D( pk )		e pk t 2sin(100t 180	) 2 А.

'		( pk )
k 1 B

uJ (t) uпрJ (t) uсв (t) 282sin(100t 45 ) В.

1.11. Метод переменных состояния

Метод переменных состояния используется для численного расчета переходных процессов особенно в цепях высокого порядка (n > 2), когда применение аналитических методов затруднительно. Суть метода заключается в сведения дифференциального уравнения электрической цепи n -го порядка к системе n дифференциальных уравнений первого порядка. Система дифференциальных уравнений первого порядка должна быть разрешена относительно производных. Коэффициенты при производных должны быть равны единице. Такая форма записи называется форма Коши. В качестве переменных состояния выбираются величины, однозначно определяющие состояние цепи – величины, подчиняющиеся законам коммутации, т.е. – токи в индуктивностях и на-

пряжения на емкостях.

Таким образом, составляются уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений в послекоммутационной цепи, записываются в нормализованной форме или форме Коши и решаются численно с помощью встроенных функций MathCAD или Matlab.

Уравнения состояния в матричной форме:
	(1.11.1)
X (t) A X(t) B F(t) ,	(1.11.1)

X (t) – матрица-столбец производных от токов в индуктивностях

и напряжений в емкостях (n-элементов);

A – квадратная матрица коэффициентов при переменных состояния (n-строк и n-столбцов);

B – прямоугольная матрица связи, состоящая из коэффициентов перед источниками ЭДС и тока (n-строк, m-столбцов);

F(t) – матрица-столбец (независимых) источников ЭДС и тока

(m-элементов);

D(x,t) – расширенная матрица.

Алгебраические уравнения для выходных величин в матричной форме:

Y(t) = C × X(t) + D × F(t) ,

(1.11.2)

Y(t) – матрица-столбец выходных величин (k-элементов);

C – прямоугольная матрица связи выходных величин с переменными состояния (k-строк, n-столбцов);

D – прямоугольная матрица связи выходных величин с источниками (k-строк, m-столбцов).

Порядок расчета:

1.ННУ. Определяем независимые начальные условия в цепи до коммутации iL (0 ) ; или uC (0 ) .

2.Для схемы после коммутации по законам Кирхгофа составляем уравнения (1.11.1)–(1.11.2).

3.Решаем уравнения (1.11.1)–(1.11.2) численно с помощью встроенных функций MathCAD или MatLab.

Записываем окончательное решение и строим график.

Пример решения в MathCAD

Находим матрицу состояния A, используя операции Given и Find.

Составляем уравнения по законам Кирхгофа в послекоммутационной схеме, исключая в них все величины кроме переменных состояния UC iLи их производных.

Given	R	L iL
iL R L diL UC E	R	L iL
iL R L diL UC E
	E	С
		С
iL C dUC

		iL

		C
Ao UC iL E Find dUC diL		C
Ao UC iL E Find dUC diL	iL R UC E
	iL R UC E

		L

Записываем матрицу переменных состояния A и матрицу-столбец правых частей B.

A augment(Ao(1 0 0) Ao(0 1 0))					B Ao(0 0 E)
	0		1	0
			C
				B E
A
	1	R

				L
	L		L

Дано:
E	8					L		100 10 3
R	220					C		0.22 10 6
Определяем собственные числа матрицы состояния A =>
									1.1 103 6.652i 103
eigenvals (A)
eigenvals (A)													3			3
									1.1 10				3	6.652i 10		3
									1.1 10					6.652i 10
Для проверки определяем корни характеристического уравнения через импе-
данс схемы Z(p)
Z(p) L p			1				solve p					( 1100.) 6651.7 i
Z(p) L p			C p			R	float		5
			C p				float		5			( 1100.) 6651.7 i
Для проверки определяем принуждённые составляющие.
iLпр 0						Ucпр				E
A	1 B	8				Ucпр						8
A	1 B	0					iLпр					0
		0					iLпр					0
Составляем расширенную матрицу.
D(t x) A x B
		1				9.091 10 4								T 3				N	100
						9.091 10 4								T 3				N	100
	max Re
x	rkfixed 0			0 T N D							t x 0			i	0 N
		0
Строим графики искомых UC iL (переменных состояния).
	20													0.01
1	10											2		0
x	10											x	i	0
	i												i
	0		0.001			0.002								0.010	0.001			0.002
					ti												ti

Определим для приведенной схемы токи. Для этого нужно расширенную матрицу умножить на диагональную матрицу, состоящую из ёмкости индуктивности.

		iC
		i
		U

		Li

C	0		x 1
C	0	D t		x 2	i
0	L	i		x 2
					i

		20
1		10
x	i	10
UL
i		0	0.001	0.002
		0	0.001	0.002
		10
			ti

	0.01
x 2	i
	i
iC	0
iC
i
	0.010	0.001	0.002
		ti

1.12. Переходные и импульсные характеристики

Переходные h(t) и импульсные K(t) характеристики используются для расчета переходных процессов при нулевых начальных условиях и импульсных воздействиях на линейные пассивные цепи. Для получения этих характеристик применяются две специальные функции.

Единичная функция							1(t)
0				при		t 0;	1
1(t)						t 0.	1
1				при		t 0.		t
1(t)	1							t
	1						0
	p


							Рис. 41

Единичный импульс							(t)	t 0
(дельта-функция)							t	t 0
(t)		d1(t)					t
		d1(t)			,
					,
			dt				1 t
(t) . . 1,							1 t	t
								t
							0
при этом (t)dt 1,							0
							Рис. 42
(0)							Рис. 42
(0)

Переходная характеристика h(t) зависит от времени t, параметров цепи R, L, C и может быть безразмерной , иметь размерность сопротивления или проводимости. Переходные характеристики h(t) определяются экспериментально или аналитически, например, операторным методом при подключении ЭДС в 1 (В) или источника тока в 1 (А).

Если Y (t) – прямоугольный импульс источника ЭДС или тока
		Y(t)
	Y
					t
	0		tи
		Рис. 43
Тогда X (t) – напряжение или ток
а) на интервале 0 t tи		равен X (t) Y h(t) ;
б) при t tи X (t) Y h(t) Y h(t tи ) ,
где h(t) – переходная характеристика.
Импульсная характеристика К(t) – это реакция цепи в виде тока
или напряжения на единичный возмущающий импульс (t) источника
при нулевых начальных условиях.
Импульсная характеристика
	K(t) h(0) (t) dh(t) .
				dt
Пример
				Дано:
	R			J (t)	J	при	0 t tи ;
				J (t)			t tи.
J (t)		+			0	при	t tи.
J (t)				J 2
R	u		С	J 2	А;
R	C		С	С 100 мкФ;
	i(t)			С 100 мкФ;
	i(t)			R 100 Ом ;
				R 100 Ом ;
Рис. 44				tи 0,01 с .
Рис. 44				Определить:
				Определить:
				h(t),	K(t) для i(t) , i(t) ?

1. Переходную характеристику h(t) для i(t) найдем операторным методом:

1.1. ННУ. uC (0) uC (0 ) 0 .

1.2. Операторная схема.

По правилу разброса

h( p)

2R 1

0,01

D1( p)

h( p)

1 2RCp

1 0,02 p

B ( p)

Рис. 45

1.3. По теореме разложения

n 1 D ( p )

e pk t 0,5e 50t

h(t)

1 k

B1' ( pk )

k 1

–переходная функция.

2.Для i(t) найдем K(t) операторным методом:

2.1.ННУ. uC (0) uC (0 ) 0 .

2.2.Операторная схема.

По правилу разброса

K( p) 1

RCp

;

2R 1

1 2RCp

2RCp 1 1

0,5

K ( p)

K( p)

0,5

2(1 2RCp)

1 2RCp

0,5			D2 ( p)					Рис. 46
0,5		0,5			.
0,5	1 0,02 p	0,5	B ( p)		.
			2
2.3. По теореме разложения
		n 1 D ( p )					p t		50t 1
K (t) 0,5 (t)				2 k		e	k	0,5 (t) 25e
K (t) 0,5 (t)						e	k	0,5 (t) 25e
		k 1 B2' ( pk )								c

–импульсная характеристика.

3.Определяем ток:

а) на интервале 0 t tи i(t) J h(t) 1 e 50t А; б) на интервале t tи .

i(t) J h(t) J h(t tи ) 1 e 50t 1 e 50(t tи ) А.

1.13. Метод интеграла Дюамеля

Интеграл Дюамеля используется для расчета переходных процессов в линейных пассивных цепях с нулевыми начальными условиями при воздействии импульса произвольной формы источника электроэнергии.

Пусть на такую цепь воздействует импульс источника Y(t) произвольной формы, который заменим ступенчатой функцией.

Y(t)

Y(0)

Рис. 47

Тогда ток или напряжение согласно наложению составят:

X (t) Y (0) h(t) X ,

где X Y h(t ) ( τ tg ) h(t ) τ Y '( ) h(t ) .

X (t) Y (0) h(t) Y ' ( ) h(t )d – интеграл Дюамеля.

Если X (t) является iL (t) или uC (t) ,

тогда X (t) Y ( ) K (t )d .

Если X (t) является сложной функцией, тогда

а) на интервале 0 t t1

X (t) Y1(0) h(t) Y1' ( ) h(t )d ;

б) на интервале t t1 .

Y (t)

Y1(t)

Y1(0) Y2 (t)

Рис. 48

X (t) Y1(0) h(t) Y1'() h(t )d

Y2 (t1) Y1(t1) h(t t1) Y2' () h(t )d.

Пример

	R	iL		Дано:
				e(t) 100e 200t В;


e(t)		R	L	L 1 Гн;
				L 1 Гн;
				R 100 Ом .
				R 100 Ом .
	i(t)			Определить:


	Рис. 49			i(t) ?
	Рис. 49

1. Переходную характеристику методом:

1.1.ННУ. iL (0) iL (0 ) 0 .

1.2.Операторная схема.

По правилу разброса

h( p)			1 p
		R	RpL


			R pL
	R Lp			D( p)	.
	p(R2 2RLp)
				B( p)

1.3. По теореме разложения

h(t) для i(t) найдем операторным

1
p	R	Lp
	h( p)
	Рис. 50

n 2						R
n 2
h(t)	D( pk )	e pk t	1	1	e 2Lt		1
h(t)		e pk t			e 2Lt
k 1	B' ( pk )		R 2R				Ом

–переходная проводимость.

2.Расчет i(t) интегралом Дюамеля:

i(t) e(0) h(t) e ( ) h(t )d ;

e(0) 100 В;

e ( ) 2 104 e 200 B						c	;
						c
	1	1	e	R	(t ) 0,005 0,0025 e 100(t ) 1
h(t )
				2L				Ом	.
				2L					.
	R	2R
	R	2R

		t
i(t) 0,5 0, 25 e 100t			2 104 e 200			0,005 0,0025 e 100(t ) d
		0
		t					t
0,5	0, 25	e 100t 100 e 200 d 50 e 100t e 100 d
		0					0
0,5	0, 25	e 100t 0,5 e 200		t	0,5 e 100t		e 100	t
0,5	0, 25	e 100t 0,5 e 200		t	0,5 e 100t		e 100	t
				0				0
0,5	0, 25	e 100t 0,5 (e 200t			1) 0,5 e 100t (e 100t 1)
0, 25 e 100t А.

Проверка: i( ) 0;

i(0 ) e(0) / 2R 0, 25 A.

E 100е j45 B; X

L 100 Ом ; Х

2.1.Нелинейные резистивные элементы

Нелинейные резистивные элементы (НРЭ) имеют нелинейную ВАХ i(u) и необратимо преобразуют электрическую энергию в тепло.

Кнелинейным резистивным элементам относятся, например:

лампа накаливания, имеет симметричную вольт-амперную характеристику;

i i(u)

полупроводниковый диод, с несимметричной ВАХ;

		i i(u)
	i	u
	u	u
	u	0

биполярный транзистор, имеет семейство ВАХ;

			K iK	iK
iБ			K iK	iK	(uK )
	Б		uK
uБ		Э	uK
uБ		Э
				0

фотодиод (активный НРЭ).

iБ3 iБ2

iБ1 iБ 0

i u

0	u

Ф0

Ф1 Ф2

Нелинейные резистивные элементы подразделяется:

на пассивные;

активные;

управляемые;

инерционные;

безынерционные.

У пассивных НРЭ ВАХ i(u) расположена в 1 и 3 квадрантах, а у активных НРЭ участок ВАХ i(u) должен проходить дополнительно во 2 или 4 квадрантах, причем управляемые НРЭ имеют семейства ВАХ i(u).

Инерционные НРЭ имеют линейные динамические ВАХ, а статические ВАХ и ВАХ для действующих значений нелинейны из-за их тепловой инерции, причем у этих элементов за счет линейности динамических ВАХ формы u(t) и i(t) одинаковы.

Безынерционные НРЭ имеют нелинейные динамические ВАХ, причем за счет этого формы u(t) и i(t) различны.

Лампа накаливания – инерционный пассивный НРЭ с симметричной ВАХ i(u).

Полупроводниковый диод – безынерционный пассивный НРЭ с несимметричной ВАХ i(u).

i	i	i(u)		i
	i	i(u)		i
	u
	0		u 0	3 2 i(t) t

	2			2
	3 2

u Um sin t

Рис. 51. Безынерционные элементы являются источником высших гармоник

В общем случае НРЭ изображаются:

Rст (u)

Rдиф (u)

a i

(u) b

Рис. 52

Статическое сопротивление

R (u)

Ом.

ст

i(u)

Дифференциальное сопротивление

R (u)

u eдиф (u)

R (u)

eдиф (u)

Ом.

диф

i(u)

ст

i(u)

i	A

				eдиф		u
		Рис. 53
Закон Ома
		u	u eдиф (u)
i(u)							А.
i(u)	Rст (u)		Rдиф (u)				А.
Закон Джоуля – Ленца
P(u) u i(u)		u2		u2	u eдиф (u)			Вт.
P(u) u i(u)		Rст (u)			Rдиф (u)			Вт.

Пример

			U1		R
E	I	1	IA	A		I	4
		1					4

	I3		R		I2	U2
	I3				I2

Рис. 54

Дано:

E = 50 В;

R = 100 Ом.

НРЭ имеют ВАХ

U1 = 200.I12 B;

I2 = 2.10–4 U22 А.

Определить:

показание амперметра IA (А).

Запишем	уравнения по законам Кирхгофа
и решим с помощью Given и Fihd в MatCAD. Для
записи равенства в системе уравнений после Given
используется сочетание двух клавиш Ctrl=. Либо
выбираем из палитры логических символов.
Пример решения в MathCAD
ORIGIN 1
E 50	R 100	U1(I1) 200 I12	U2(I2)	I2
				2 10 4

Given

U1(I1) I4 R

E U1(I1) I3 R

E I4 R U2(I2) I1 Ia I3

I4 Ia I2

Возможные варианты ответов, из которых выбираем 1 столбец (все положительные) IA=0 А.

				0	0	.50

				.60	1.6	.50
A	find (Ia I I1 I2 I3 I4)	float 2		.30	.80	.50
A	find (Ia I I1 I2 I3 I4)	float 2		.20	1.3	0
				.20	1.3	0
				.30	.80	0

			.20		1.3	.50

Пример
				Дано:
		u		J (t) Im sin t (А);
				R =… Ом.
J(t)	V	R	i	НРЭ имеет ВАХ	u m i3	(В).
J(t)	V		i	Определить:
				Определить:
				показание вольтметра UV (В).
	Рис. 55			Примечание:
	Рис. 55

sin3 t 0,75sin t 0,25sin 3 t .

uV (t) R i uНЭ R i m i3 R Im sin t m Im sin t 3

3	3		1
R Im sin t mIm		sin t		sin 3t
R Im sin t mIm	4	sin t	4	sin 3t
	4		4

					3	3					1				3
R Im mIm							sin t						mIm			sin 3t.
R Im mIm							sin t				4		mIm			sin 3t.
						4					4
Напряжение вольтметра U												V			U 2		U 2			В, где действующие зна-
												V				1	3
чения напряжения первой и третьей гармоники:
				3	m I 3										1	m I 3
U	R	Im	4					m						4				m
	R	Im	4						В;	U	3			4					.
									В;	U									.
1	2					2											2
	2					2											2

2.2. Расчет нелинейных резистивных цепей

Ведется графоаналитическими методами с использованием статических или динамических ВАХ НРЭ.

1.Метод эквивалентного генератора – применяется для цепей

содним НРЭ.

Лин.

цепь

i a					a


				Rг


		u	eг i			u



	b				b
	b

Рис. 56

iKЗ eг Rг

u eг Rгi

u eг

Рис. 57

2. Сложение ВАХ – применяется для упрощения схем.

При этом на основании законов Кирхгофа ВАХ i(u) последовательно соединенных НРЭ складываются вдоль оси u, а ВАХ параллельно соединенных НРЭ складываются вдоль оси i.

a i

Рис. 58

i		i(u2 )
i(u1 )		i(u2 )
i(u1 )		i(u)
		i(u)
i		i2	u2
i		i2	R
			R
i
i12		i1 (u2 )
u2	u	u
Рис. 59

3. Метод двух узлов – применяется для схем с двумя узлами.

		i1	a
						R


		u		u2


	1
e		uab	i2		i3	e3
1

Рис. 60

Уравнения по законам Кирхгофа: i3 i1 i2 ;

uab (i1) e1 u1(i1) ; uab (i2 ) u2 (i2 ) ; uab (i3) e3 Ri3 .

Так как i3 i1 i2 , то uab (i1) и uab (i2 ) складываем вдоль оси i, причем точка пересечения полученной ВАХ uab (i1 i2 ) с uab (i3) даст ре-

шение.

i	uab (i2 )
e3 R	uab (i2 )
e3 R	uab (i1	i2 )	ab	(i )
i2			ab	1

uab e1

Рис. 61. Графическое решение

4. Метод итераций – применяется для расчета схем с использованием вычислительной техники.

При этом НРЭ обозначаются в виде неизвестных статических сопротивлений Rст, причем для лучшей сходимости итерационное выражение составляется для тока в НРЭ, если его ВАХ загибается к оси i, иначе составляется для u.

Расчет ведется до повторения результатов.

Пример

Дано:

I22

I11

e(t) ... В;

Rст1

J (t) ... А,

u1 R

ст2

R ...Ом.

ВАХ нелинейных элементов.

c i2

Определить:

I33

i1 ?

u1 ?

i2 ?

u2 ?

Рис. 62

По ВАХ определяем статические сопротивления нелинейных элементо.

i2k i1k

i2 (u2 )				uk
	R		k	uk
	R			1
i1(u1)		ст1		i1k
i1(u1)				i1k
	R	k		uk
	R			2
	ст2			ik
	u			2
				2

u2k u1k

Рис. 63

Для расчета статических сопротивлений Rстk 1 и Rстk 2 используем метод контурных токов

2R Rстk 1 I11(k +1) Rстk 1 I22(k +1) e R J ;

Rстk 1 I11(k +1) Rстk 1 Rстk 2 R I22(k 1) Rстk 2 J ;

I33 J .

Итерационные выражения:

u(k 1)		Rk	i(k +1)	Rk	I (k 1)	I (k 1)	;
	1	ст1	1	ст1	11	22
		I (k 1) J .
i(k +1)		I (k 1) J .
	2	22

Задаемся произвольными значениями u1(0) и i2(0) , по ВАХ находим i1(0) и u2(0) , рассчитываем Rст(0)1 и Rст(0)2 , по итерационным выражениям определяем u1(1) и i2(1) , по ВАХ находим i1(1) и u2(1) , и т.д.

Расчет ведется до повторения результатов.

5. Метод линеаризации ВАХ в области предполагаемого решения – применяется как приближенный метод.

i					i		u
	i(u)			a					b

i



						Rн
	u			a i				e	b
	u			a i				e	b
	u(1) u(2)						u
							u
		Рис. 64
	u eн Rнi ;
	R		u(2) u(1)	Ом;
	R			Ом;
	н		i(2) i(1)
			i(2) i(1)
	e	u(1) R i(1)		В.
	н		н

После замены нелинейных элементов линейными резисторами Rн и ЭДС eн расчет ведется любым методом.

Если найденные токи i лежат в выбранных интервалах i(1) i i(2) , то i приближенно истинные.

6. Применение MathCAD на ЭВМ для расчета переменных напряжений и токов.

Пример

	i1		u					Дано:
			u
				1				e(t) 200sin 314t В;
				1
					i2
					i2			J (t) 1cos314t А;
e(t)								i1 0,1 e0,02 u1 1 А;


					u2
					u2
							J (t)	u2 100 i23 В.
		Рис. 65						Определить:
		Рис. 65						i1 ?	u1 ?
								i1 ?	u1 ?
								i2 ?	u2 ?
По законам Кирхгофа: i1 i2 J (t) 0,									e(t) u1 u2 .
u1 100			i2		1	t 0

Given

0.1 e0.02 u1 1 i2 1 cos(314 t) 0 u1 100 i23 200 sin (314 t) 0

A Find (u1 i2)

A0 u1

A1 i2

i1 i2 1 cos(314 t)

u2 200 sin (314 t) u1

Изменяем t : 0.001 и повторяем расчет. Затем строим графики, например, i1(t) и u2 (t) .

i1, A u2 , B

100

1 50		i1
1 50
			12	20
0	4	8		t, mc
	50			t, mc
1	50
1		u2
	100	u2

Рис. 66

2.3. Нелинейные индуктивные элементы

Нелинейные индуктивные элементы (НИЭ) запасают энергию в магнитном поле и задаются нелинейной веберамперной характеристикой (iL ) .

, Вб		L iL
		L iL	НИЭ
			НИЭ
		(iL )
	0		iL , A
			iL , A

ЛИЭ

Рис. 67

– потокосцепление, Вб; iL – ток НИЭ, А.

НИЭ обозначаются:

	i	L			i	+ uL
a		L	b	a	L	b
a			b	a		b
		+	uL

Рис. 68

НИЭ характеризуются:

а) статической индуктивностью Lст (iL ) Гн; iL

б) дифференциальной индуктивностью Lдиф (iL ) d Гн. diL

Для линейного индуктивного элемента (ЛИЭ)

L Lст Lдиф const .

L, Гн

Lст (iL )

Lдиф (iL )

0	iL , A

Рис. 69

Напряжение НИЭ

diL

)

diL

dt diL

диф

Веберамперная характеристика (ВбАХ) НИЭ

iL k1 k3 3 k5 5 ...,

где k1, k3, k5... – постоянные коэффициенты. Энергия магнитного поля НИЭ в момент t t0

		t0			t0		d
Wм (t0 ) uLiLdt								iLdt
Wм (t0 ) uLiLdt							dt	iLdt
		0		0			dt
		0		0
	0		k 2			k 4			k 6
		iLd	1 0				3 0		5 0	... Дж,
		iLd	2						6	... Дж,
	0		2				4		6
	0

где 0 – значение потокосцепления в момент t t0 ; (0) 0 значение

при t 0.

НИЭ – это безынерционный элемент, т.е. формы кривых iL (t) и uL (t) различны.

Если uL (t) Um cos , то (t) uLdt A Um sin t Вб.

, Вб

(iL )

(t)

		iL , A
2
	2	iL (t)
		iL (t)
		t

Рис. 70

Ток iL (t) содержит нечетные гармоники k = 1, 3, 5. Физически НИЭ

это катушка с ферромагнитным магнитопроводом.

(iL ) – это соединенные между собой вершины петель гистерезиса.

, Вб

(iL )

iL , A

Рис. 71

Законы Кирхгофа для магнитных цепей

Магнитопроводы НИЭ образуют магнитные цепи, которые предназначены для концентрации и усиления магнитного потока Ф. Законы Кирхгофа используются для определения Ф и (iL ) НИЭ.

Магнитные цепи характеризуются:средней длиной участка (м);

площадью сечения участка S (м2);

величиной воздушного зазора (м);

магнитной индукцией В (Тл);

магнитной напряженностью Н (А/м);

магнитным потоком Ф ВS (Вб);

числом витков катушки w (в);

намагничивающей силой w i (Ав).

Первый закон Кирхгофа

Для любого узла магнитной цепи алгебраическая сумма магнитных потоков равна нулю, причем магнитные потоки выходящие из узла берутся со знаком плюс («+»), а входящие в узел – со знаком минус («–»)

Фк 0 .

Физически основывается на законе непрерывности магнитного потока.


	В
			B dS 0 ,
			S

S		B – вектор индукции магнитного
S			поля (Тл).
			поля (Тл).

Второй закон Кирхгофа

Для любого контура магнитной цепи алгебраическая сумма намагничивающих сил равна алгебраической сумме магнитных напряжений, причем со знаком плюс («+») записываются те слагаемые, положительные направления которых совпадают с направлением обхода контура

iqwq Uмк .

Физически основывается на законе полного тока.

ik i1 i2 i3 ,

– вектор напряженности маг-

нитного поля (А/м).

– для воздуха;

4 10 7

Гн/м – магнитная постоянная.

для магнитопровода. (Н ) – магнитная проницае-

В (Н ) H –

мость (Гн/м).

Для ферромагнитного материала В(Н ) кривая намагничивания.

В, Тл В(Н )

0	Н , A
	Н , A	м
		м

Рис. 72

1. Намагничивающая сила iqwq (А), где iq – ток (А), wq – число витков катушки.

iq
	iqwq
	wq
Ф	Ф

Рис. 73

2. Нелинейное магнитное сопротивление участка магнитопровода.

Rм

Гн

Rм

Рис. 74

Для ферромагнитного материала R

(H ) S BS

Гн

Магнитное напряжение – Uм RмФ А.

3. Линейное магнитное сопротивление воздушного зазора

R 1Гн

		UM
R
		+
		+

	Ф
	Ф
	Ф
	Рис. 75

R				1		.

		0S
				Гн
Магнитное напряжение U		R Ф			В		А.
	м
					0

Таким образом iqwq Rм			Фк R Фк.
		к					к

Аналогия между резистивной и магнитной цепями: i Ф;

u Uм ; e iw.

2.4. Расчет неразветвленной магнитной цепи

Неразветвленная магнитная цепь содержит один магнитный поток.

		l
a	iL
a
		w
в
	Ф	S
		S
		Рис. 76
		68

Схема замещения магнитной цепи:

Ф	Rм	По 2 закону Кирхгофа

iLw RмФ R Ф

+ Uм

iLw

А,

Uм

где Ф ВS Вб.

Рис. 77

Прямая задача

Когда известен магнитный поток Ф.

Тогда

B Ф

и по В(Н )

графически находим Н.

В(Н )

0	Н	Н
	Н

Рис. 78

В результате находим:

H l B

а) ток i

А;

б) потокосцепление w Ф Вб;

в) статическую индуктивность Lст

Гн;

B H

г) энергию магнитного поля W

S l

S Дж;

д) силу, стягивающую зазор P

S Н.

Обратная задача

Когда известен ток iL , тогда из уравнения

iLw H В , полу-

чаем уравнение прямой линии

В a b Н ,

где a

0iLw

Тл; b

Гн

Графически определяем В и Н, а затем по известным формулам на-

ходятся Ф,

, Lст , Wм, Р .

В,Тл

B a b Н

В(Н )

Н , А

Рис. 79. Графическое решение

2.5. Расчет разветвленной магнитной цепи

Разветвленная магнитная цепь содержит несколько магнитных по-

токов.

Пример

Дано:

δ1 δ3 0 ;

w 0;

1, 2, 3, S1, S2, S3, 2 ;

Ф3

B(H) – кривая намаг-

ничивания стали.

Ф1

Определить:

Ф1, Ф2, Ф3 ?

Рис. 80

Схема замещения магнитной цепи

			Ф2
			Ф2
		U				UM3
		M1		UM2


iL w1		UMcd
iL w1				UM	Ф3
		Ф		iL w2	Ф3
	1

Рис. 81

Воспользуемся методом двух узлов (c и d) и составим уравнения по законам Кирхгофа:

Ф2 Ф1 Ф3;

Uмcd (Ф1) iLw1 Uм1(Ф1) ;

Uмcd (Ф2) iLw2 Uм2(Ф2) Uм (Ф2) ;

Uмcd (Ф3) Uм3(Ф3) .

Магнитные напряжения

Uм1(Ф1) H1 1;

Uм2 (Ф2 ) H2 2 ;

Uм3(Ф3) H3 3 ;

U	м		(Ф		)	B2 2	.
U			(Ф		)		.
				2		0
						0
Прямая задача
Известны Ф1 и Ф2, тогда Ф3 Ф2								Ф1,
B1		Ф1		, B2			Ф2	, B3	Ф3	.
B1				, B2				, B3		.
				S1				S2		S3

(2.5.1)

(2.5.2)

(2.5.3)

(2.5.4)

(2.5.5)

(2.5.6)

(2.5.7)

(2.5.8)

	В, Тл
				В(Н )
B1,2,3
B1,2,3
По B(H) и B1,2,3 находим H1,2,3.
				Н ,	A
				Н ,	м
					м
0			Н1,2,3
			Н1,2,3
	Рис. 82
По уравнениям (2.5.5)–(2.5.8) рассчитываем Uм1(Ф1) , Uм2(Ф2) ,
Uм3(Ф3) , Uм (Ф2 ) .
По уравнениям (2.5.1)–(2.5.4) определяем Uмcd Uмcd (Ф3) ,						iLw1 ,
iLw2 .
При заданном токе iL находим:
числа витков w1 и w2;
суммарное потокосцепление w1Ф1 w2Ф2 w3Ф3 Вб;
суммарную статическую индуктивность Lст			Гн.
			iL
Обратная задача
При заданном токе iL и числах витков w1 и w2		определяем н.с.				iLw1

и iLw2 . Рассчитываем уравнения (2.5.1)–(2.5.4) и (2.5.5)–(2.5.8), запол-

няем табл. 2.5.1 и 2.5.2.

Таблица 2.5.1

B1,2,3, Тл	0	0,6	1	…	2,5

H1,2,3, А/м	0	250	500	…	2 105
Ф1 B S1, Вб
Ф2 B S2 , Вб
Ф3 B S3 , Вб
Uм1(Ф1) , А
Uм2 (Ф2 ) , А
Uмδ (Ф2 ) , А
Uм3(Ф3) , А

Таблица 2.5.2

В1,2,3, Тл		0		0,6	1		…	2,5

Uмcd (Ф1) , А
Uмcd (Ф2 ) , А
Uмcd (Ф3) , А
Строим	графики Uмcd (Ф1) , Uмcd (Ф2),					Uмcd (Ф3) . Так как
Ф2 Ф1 Ф3 ,	то Uмcd (Ф1)		и Uмcd (Ф3)		складываем вдоль			оси Ф.

По точке пересечения Uмcd (Ф1 Ф3) с Uмcd (Ф2 ) определяем Ф1, Ф2, Ф3

и Uмcd .

Вб	Ф
Ф1				UMcd (Ф2 )
Ф1
Ф2
Ф2
iLw2			UMcd (Ф1 Ф3)	iLw1 UMcd
0		UMcd		А
Ф3			UMcd (Ф3 )	UMcd (Ф1)
Ф3


			Рис. 83

Если изменить ток iL , то необходимо повторить расчет, начиная

с табл. 2.5.2, и определить другое значение . В результате можно построить ВбАХ (iL ) НИЭ.

, Вб

( 2)	(iL )
( 2)
(1)
0 i(1)	iL , А
0 i(1)	i(2)
L	L

Рис. 84

2.6.Расчет цепей с линейными

инелинейными индуктивными элементами

Расчет осуществляется графоаналитическими методами с использованием ВбАХ (iL ) .

1. Группа линейных и нелинейных индуктивных элементов на основании законов Кирхгофа заменяется одним НИЭ с эквивалентной ВбАХ (iL ) .

a	i	3(iL )	i
a	i	L	i	2
		L		2
uL		1(i1)	L	2 (i2 )
uL			1
			i1
b
				Рис. 85

a iL

uL (iL )

Потокосцепление (t) uL (t) dt A;

(t0 ) мгновенные значения; iL iL (t0 )

t t0 – расчетный момент времени.

Графически определяем мгновенные значения iL , i1 и i2 , причем

ВбАХ параллельных элементов складываются вдоль оси i, а последовательно соединенных – вдоль оси .

, Вб	1(i1) L1i1	(iL )
	1(i1) L1i1	(iL )
		2 (i2 )
		12 (iL )

3(iL ) i, А

0	i2	i1	iL

Рис. 86

2. Заданная ВбАХ (iL ) НИЭ может приближенно заменяться за-

висимостью iL k1 k3 3 , коэффициенты k1 и k3 находятся из решения уравнений

, Вб

2		(iL )
2
1			i	k k		3;
1				1 1	3		1
			1	1 1	3		1
		i, А	i	k	k		3.
		i, А	2	1 2	3		2
0	i1	i2
	i1	i2

Рис. 87

Если веберамперная характеристика нелинейного индуктивного элемента задана аналитически: iL k1 k3 3 . Напряжение на НИЭ

uL (t)

2UL cos( t ) , тогда

(t) uL (t) dt A

2UL

sin( t ) ;

a iL

iL k1 (t) k3 3(t)

(iL )

2k1UL

sin( t )

2k3UL

sin3

( t ).

sin3( t )

sin( t )

sin(3 t 3 ) ;

iL (t) 2 I1 sin( t )

2 I3 sin(3t 3) .

Действующие значения

k U

3k U 3

k U 3

I 2

I 2 .

1 L

3 L

;

3 L

;

2 3

Изменяя UL , можно рассчитать I1 , I3 , IL и получить ВАХ UL (IL ) НИЭ для действующих значений. При расчете UL (IL ) удобно заполнять таблицу.

UL , B

I1 , A

I3 , A

IL , A

kг I1 I3

Пример
				Дано:
				J (t) Im sin t (А);
J (t)	V	R	iL	R =… (Ом).
J (t)	V		iL	НИЭ имеет ВбАХ
				m i3 (Вб).
				L
	Рис. 88			Определить:
	Рис. 88			показание вольтметра UV (В).
				показание вольтметра UV (В).

Решение
		uL (t)		d (t)		m iL3 ' ;
		uL (t)		dt		m iL3 ' ;
				dt
3		3	3		3		1
mIm	sin		t mIm			sin t		sin 3 t ;
mIm	sin		t mIm			sin t	4	sin 3 t ;
					4		4

3 3

3 1

3 3

mIm

sin t mIm

sin3t

mIm

cos t mIm

3 cos3t;

(t) R i u

R I

sin t mI

cos t mI

3 cos3 t .

Напряжение вольтметра

В,

где действующие значения напряжения первой и третьей гармоники:

			R Im				mI		m	3	3
							mI				4
U											4	e90i	В;
U												e90i	В;
	1	2								2
		2								2
				mIm	3 3
					3 3
U	3					4		.
						4

					2

2.7. Нелинейные емкостные элементы

НЕЭ запасают энергию в электрическом поле и имеют нелинейную кулонвольтную характеристику (КВХ) q(UC ) .

q, Кл

НЕЭ

q(uC )

ЛЕЭ uC , В

iC d

Рис. 90

НЕЭ обозначаются:

Рис. 89

q – заряд НЕЭ, Кл; uC – напряжение, В;

а – абсолютная диэлектрическая про-

ницаемость, Ф/м;

d – расстояние между обкладками, м.

iC q(uC )

НЕЭ характеризуется:

1. Статической емкостью Cст (uC ) q uC Ф.

2. Дифференциальной емкостью Cдиф (uC ) dq Ф. duC

Для линейного емкостного элемента C Cст Cдиф const .

					С, Ф
							Cст (uC )
							Cдиф (uC )
				0				uC , В
								uC , В
			Рис. 91
Ток НЕЭ i	dq	dq	duC		C	(u )		duC	А.
Ток НЕЭ i					C	(u )			А.
C	dt	duC dt			диф	C		dt
	dt	duC dt						dt

Кулонвольтная характеристика нелинейного элемента может быть задана аналитически, например

	u m q m q3				m q5				,
		C	1	3	5
где m1, m3, m5 – постоянные коэффициенты.
Энергия НЕЭ
		t0		t0		dq		q0
WЭ (t0 ) uCiC dt uC						dq	dt		uC dq
WЭ (t0 ) uCiC dt uC							dt		uC dq
		0		0		dt		0
		0		0				0
	m q2		m q4	m q6
	1 0		3 0	5 0	, Дж,
	2		4	6	, Дж,
	2		4	6

где q0 – значение заряда в момент времени t t0 , причем q(0) 0.

НЕЭ – это безынерционный элемент.
Если iC (t) Im cos t , то q(t) iC (t) dt A	Im	sin t , Кл .

Графически определяем напряжение q, Кл

q(t)

uC (t)

q(uC )

uC , В

uC (t)

Рис. 92

Напряжение uC (t) содержит нечетные гармоники.

Физически НЕЭ – это вариконды и варикапы.

r a 0

1.	Вариконды содер-
жат	сегнетодиэлектрики
(титанат бария),		у которых		r (E)
зависимость		r f (E)
				E uC	d
нелинейна (рис. 91).
			0	В / м

				Рис. 93
Вариконды имеют КВХ q(UC )				в виде семейства петель гистерезиса.

q(uC )

Рис. 94

2. Варикап – это барьерная емкость обратно смещенного p–n- перехода специального диода.

		Cст	q
iC			q(uC )
			q(uC )

			Cст (uC )
	u
	u
	C		uC
			uC
			0

Рис. 95

Для расчета цепей с ЛЕЭ и НЕЭ используются графоаналитические методы с применением.

КВХ q(UC ) емкостных элементов, которые складываются между

собой согласно законам Кирхгофа, причем КВХ последовательных НЕЭ складываются вдоль оси UC , а параллельных НЕЭ – вдоль оси q .

КВХ q(UC )

может

приближенно

заменятся

зависимостью

m q m q3

, тогда при i (t)

2 I

cos( t ) получаем

q(t)

2 IС

sin( t );

m q(t) m q(t)3

U sin( t )

sin(3 t 3 ) В;

m1IC

3m3IC3

m3IC3

где U1

; U3

2 3

; UС

U3 ; kг

2.8. Метод эквивалентных синусоид

Применяется для приближенного расчета установившегося режима в нелинейных цепях, которые содержат нелинейные элементы и подключены к периодическим источникам с одинаковым периодом Т.


При этом напряжения u(t)	2Uk sin(k t k k ) и токи
k 1

i(t) 2Ik sin(k t k ) заменяются эквивалентными синусоидами

k 1

u(t) 2U sin( t ) ; i(t) 2I sin( t ) ,


				2
где U	Uk2 ; I	Ik2	;		; P Uk Ik cos	k , Q Uk Ik sin k .
				Т
	к 1	k 1			k 1	k 1

Активная потребляемая мощность P UI cos,						Вт должна остать-

ся неизменной, поэтому

а) если Q < 0 arccosUIP ; б) если Q > 0 arccosUIP .

Нелинейные элементы задаются ВАХ U(I) и ФАХ (I ) для действующих значений, при этом применяется символический метод.

I +

а в

U Ue j (I ) , I Ie j , P(I ) U (I ) I cos (I ) .

B Град

ВАХ U ( I )

ВАХ U (I ) и ФАХ (I ) нели-( I ) нейных элементов получают экс-

ФАХ периментально или расчетом

Рис. 96

1.Метод эквивалентного генератора – применяется для цепей

содним нелинейным элементом.

I а

			+
ЛЦ			U
	в		Z	Г
	b			Г	а
	d				а
	d
		+			+
			UГ		+
	EГ		UГ		U
U	EГ				U
U	э
U	э		I
	Э		I

bв

Рис. 97

Для линейной цепи (ЛЦ) определяются параметры эквивалентного

генератора Eг Еге j г (В) , Z г Zге j г (Ом) . Задаемся I (1) I (1)е j0 и по известным

ски находим U (1) и (1) .

B Град

ВАХ

U ( 1 )

(1)

ФАХ

I ( 1 )

U (I ) и (I ) НЭ графиче-

U ( I )

(I )

Рис. 98

Рассчитываем U (1) Z		г	I (1) и по 2 закону Кирхгофа определяем
г		г
эквивалентное напряжение U (1)				U (1) e j (1)э	U (1) U (1)	e j (1) .
			э	э	г
Определяем Uэ(1) и (1)э		, соответствующие току I (1) .
Для иллюстрации строим векторную диаграмму.
j				а
				а
U	(1)			Г 0
U
(1)				UГ(1)	I (1)
(1)					I (1)
в	Э		(1)	0	1
			(1)		1

UЭ(1)

Рис. 99

Задаемся другим значением I (2) I (2)е j0 и аналогично определяем

Uэ(2) и (2)э .

Строим эквивалентные характеристики Uэ (I ) и э (I ) , по которым при Uэ Eг графически находим I , э, , U .

U				UЭ (I )
B Град				UЭ (I )
B Град
EГ						U ( I )
EГ
U
						(I )
						(I )
			I				I
			I
Э							A
							Э (I )
	Рис. 100
В результате I Ie j ,	U Ue j( ) ,					г	.
						г	э
Рассчитываем P E I cos Вт,		Z		U	e j , Ом.
Рассчитываем P E I cos Вт,		Z	н		e j , Ом.
г	э		н	I
				I
При известном сопротивлении		НЭ		Z н			рассчитываем линейную

цепь (ЛЦ).

2. Группы линейных и нелинейных элементов для упрощения схем при помощи законов Кирхгофа в комплексной форме могут быть заменены эквивалентными НЭ с эквивалентными ВАХ и ФАХ.

а) последовательное соединение.

Пример

а I

Дано:

U Ue

;

U1(I ), 1(I ) ;

U2 (I ), 2 (I ) .

Определить:

I Ie j .

Рис. 101

Задаемся током

I (1) I (1) e j0

по

характеристикам нелинейных

элементов находим U

(1) ,

(1)

(1) ,

(1) .

По 2 закону Кирхгофа определяем входное напряжение

(1)

j (1)

(1)

j (1)

(1)

Задаемся другим значением тока I (2) I (2)

e j0 , повторяем расчет

и находим U (2) U (2)

e j (2) .

Строим эквивалентные характеристики U (I ) и (I ) , по которым

графически находим I и , тогда I Ie j( ) .

( I )

U ( I )

(1)

( I )

U (1)

(1)

U (1)

1(I )

U2(1)

I (1)

(1)2

2 (I )

(I )

Рис. 102

б) параллельное соединение. Пример

а I		I2	Дано:
+	I1		I Ie j ;
	I1		U1(I ), 1(I ) ;
U			U1(I ), 1(I ) ;
U			U2 (I ), 2 (I ) .
			U2 (I ), 2 (I ) .
			Определить:
в			U Ue j .
	Рис. 103

Задаемся напряжением U (1) U (1) e j0 по характеристикам нелинейных элементов находим I1(1) , 1(1) и I2(1) , 2(1) .

По 1 закону Кирхгофа определяем входной ток

I (1) I (1) e j (1) I1(1) e j 1(1) I2(1) e j 2(1) .

Задаемся другим значением напряжения U (2) U (2) e j0 , повторяем расчет и находим I (2) I (2) e j (2) .

Строим эквивалентные характеристики U (I ) и (I ) , по которым графически находим U и , тогда U Ue j( ) .

U		U ( I2 )		U ( I )
		U ( I2 )		U ( I )
(1)
1				U ( I1 )
U				U ( I1 )
U ( 1 )
(1)
				1(I1)
				I
	I ( 1 )	I ( 1 ) I2( 1 )	I	2 (I2 )
(1)	1			2 (I2 )
2
				(I )
				(I )
		Рис. 104
3. Метод итераций –		используется	для расчета сложных схем

с применением вычислительной техники. При этом нелинейные элементы представляются в виде неизвестных комплексных сопротивлений

Z н U (I ) e j ( I ) Ом. I

Затем при помощи любого метода расчета в комплексной форме составляются итерационные выражения

а) для тока в НЭ, если ВАХ U(I) загибается к оси тока:

U	U ( I )

Рис. 105

б) для напряжения в НЭ, если ВАХ U(I) загибается к оси напряжения:

U ( I )

Рис. 106

Пример

н1

Дано:

E Ee j , J Je j ,

U1(I ), 1(I ) ,

Z н

U2 (I ), 2 (I ) .

Определить:

I1, I2 , U1, U2 .

Рис. 107

Обозначим:

Z н

(I1)

j ( I )

Z н

U2 (I2 )

( I

)

1 1

Ом;

Ом.

По методу узловых потенциалов:

J .

Z н1

Z н2

E J Z н

тогда

Z н

Итерационные выражения:

U E

(E J Z н

) Z н

(E J Z н

)

В;

А.

Z н Z

Z н

Z н Z

Задаемся U1 ... B ,

I2 ... A .

Находим по ВАХ и ФАХ: I1 ... А,

1 ... град,

U2 ... В, 2 ... град.

Рассчитываем Z н , Z н

, U1, I2 .

Находим по ВАХ и ФАХ: I1, U2 , 1, 2 и т.д.

Расчет ведется до тех пор, пока результаты не начнут повторяться.

U	U1(I1)
	U1(I1)
U1
2		U2 (I2 )
2
		2 (I2 )
U2
1		1(I1)
		1(I1)
I2	I1	I
I2	I1

Рис. 108

Пример

Дано:

E 30e j20 В;

XL =20 Ом.

НЭ имеет ВАХ I 10 4 U 2 А;

jXL

ФАХ 40 30 I ,

где ток I в амперах.

Рис. 109

Определить:

показание амперметра IA (А).

Расчёт произведём в MathCAD

30 e20i deg

эдс

xl 20

I (U) 10 4 U2

(I)

40 30(I)

Iнэ

нэ

Iнэ

i xl

эдс

нэ

deg

нэ

1.556

IL Iнэ

2.9. Резонансные явления в нелинейных цепях

Резонансные явления в нелинейных цепях возможны при периодических напряжениях и токах и наличии индуктивного и емкостного элементов. Резонансные явления в нелинейных цепях сопровождаются рядом особенностей, которые обусловлены зависимостью параметров цепи от величин напряжений и токов.

Резонанс может наступать при изменении величины напряжения или тока источника питания.

Напряжения или токи негармонические, поэтому резонанс возможен на первой или других гармониках.

Возможны скачки амплитуд напряжений и токов (релейный эффект) при изменении знака угла сдвига фаз (опрокидывание фазы).

Ограничимся рассмотрением феррорезонанса, т.е. резонансных явлений в цепях с нелинейным индуктивным элементом. Для упрощения анализа представим напряжения и токи эквивалентными синусоидами и будем использовать характеристики для действующих значений.

Феррорезонанс напряжений – это резонансные явления при последовательном соединении катушки с сердечником и конденсатора. Рассмотрим без учета потерь энергии.

Эквивалентные синусоиды:

		C
		uС
u
	i		uL


	Рис. 110

i 2 I sin( t ) ;

uL 2UL sin( t 90 ) ;

uС 2UC sin( t 90 ) .

По 2 закону Кирхгофа

u uC uL 2U sin( t 90 ),

где U UL UC .

B U	U	С	(I ) I	C
		С		C

		а		UL (I )
				UL (I )

U0	d	c	U ( I )	U L ( I ) UC ( I )
U0		b		I
		b

0	I1	I0 I2		A
	I1	I0 I2		A
		Рис. 111

Необходимое условие феррорезонанса напряжений – пересечение
UL (I ) и UC (I ) , поэтому точки a и b – это точки резонанса, когда
UL UC .
										j
							UL		UС
а) 0 I I0 ,							UL				I
а) 0 I I0 ,											I
UL UC ,										U

1 90 .										1	1
1 90 .											1
										Рис. 112
										j
							UL				I
б) I I0 ,											I
б) I I0 ,
UL UC ,										2	1
2 90 .									0	2
2 90 .									0
										U
										UС
										Рис. 113
При питании от источника с малым сопротивлением ( Zи 0 ) при
незначительном изменении напряжения (U) наблюдаются скачки тока (I):
а) при плавном увеличении U					наблюдается скачок I от I1 до I2
при изменении от 1 90			до 2		90 . Это релейный эффект с оп-
рокидыванием фазы, причем I2 >> I1 ;
15 0
10 0
50
0
50
10 09	9.5	10	10 .5	11	11 .5	12	12 .5	13	13 .5	14
			Рис. 114
				89

б) при плавном уменьшении U наблюдается скачок I от I0 до 0. При наличии потерь энергии в катушке и Zи 0 также наблюдаются скачки тока I .

			ZИ 0
	d		(I )
U0	d
U0
Uа			I
			I
0	I1	I0	I2
	I1	I0	I2
		Рис. 115

Таким образом, при Zи 0 невозможно экспериментально полу-

чить участок db U(I) и достигнуть устойчивый феррорезонанс в точке b. При питании от источника с Zи можно без скачков снять всю

ВАХ U(I) и в точке b получить устойчивый феррорезонанс.

			U		ZИ
					ZИ
		U0	d		c U ( I )
		Uа		b
		Uа
					I
		0	I1	I0	I2
			I1	I0	I2
				Рис. 116
R	Ua	– сопротивление, характеризующее потери энергии в ка-
R		– сопротивление, характеризующее потери энергии в ка-
a	I0
	I0

тушке.

ВАХ U(I) с учетом потерь энергии можно рассчитать по формуле

U (I ) I 2Ra2 UL (I ) I XC 2 ,

которая следует из векторной диаграммы:

Ua Ra I

UL	U

	0 I	1

UС

Рис. 117

Феррорезонанс напряжений может применяться:

Для стабилизации переменного напряжения источника с Zи 0 .

И Н

ZИ 0 U1 U2

стабилизатор

I>>I H

Рис. 118

			UС (I )
U2					U2 (I )

	U2		а
U1					U1(I )
U0		d	U1		U1(I )
			U1


					I
0		I1 I0		I2
		Рис. 119

Коэффициент стабилизации напряжения
K	ст	U1 U2		1,
	ст	U2	U1
		U2	U1
причем U1 U2 .
Недостаток такого стабилиза-
тора – несинусоидальное выходное 0 00
напряжение.		8	9	10	11	12	13	14

Для защиты от повышения переменного напряжения сети.

ТН C

UCЕТИ	w1 w2	Н
UCЕТИ

Рис. 120

Происходит отключение нагрузки при Uсети U0 w1 w2 , причем w1 w2 – количество витков.

Феррорезонанс токов – это резонансные явления при параллельном соединении катушки с сердечником и конденсатора.

Рассмотрим без учета потерь энергии.

Эквивалентные синусоиды:

2 U sin( t ) ;

2 IL sin( t 90 ) ;

iС

2 IС sin( t 90 ) .

iС

По 1 закону Кирхгофа

i iL iC 2 I sin( t 90 ) ,

Рис. 121

где

IL IC

U0		а	IL (U )
U0	b		IL (U )
	b
U1	d
U1
			I
0 I0			A
		Рис. 122

Необходимое условие феррорезонанса токов – пересечение IL (U )

иIC (U ) . Поэтому точки a и b – это точки резонанса, когда IL IC .

а) 0 U U0 ,	IL
а) 0 U U0 ,	IC	U
IC IL ,	I	U
IC IL ,	I
1 90 .	1	1
1 90 .		1
	Рис. 123
	j
б) U U0 ,	IC	U
б) U U0 ,	IC
IC IL ,		1
2 90 .	0 2	1
2 90 .

I IL

Рис. 124

При питании от источника с большим сопротивлением ( Zи )

при незначительном изменении тока (I) наблюдаются скачки напряжения (U).

а) При плавном увеличении I наблюдается скачок U от U1 до U2 при изменении от 1 90 до 2 90 . Это релейный эффект с опроки-

дыванием фазы, причем U2 > U1.

Напряжение после скачка опережает ток на 90° и явно несинусоидально/

20 00

10 00

12 12 .5 13 13 .5 14 14 .5 15 15 .5 16 16 .5 17 17 .5 18

10 00
20 00	Рис. 125
	Рис. 125

При наличии потерь энергии в катушке и Zи также наблюда-

ются скачки напряжения U.

б) При плавном уменьшении I наблюдается скачок U от U0 до 0. При наличии потерь энергии в катушке и Zи также наблюдаются скачки напряжения U.

		U
	U2	ZИ
	U2	c I (U )
		c I (U )
	U0	b
	U1	d

0 Iа I0

Рис. 126

Таким образом, при Zи невозможно экспериментально получить участок db I(U) и достигнуть устойчивый феррорезонанс в точке b.

При питании от источника с Zи можно без скачков снять всю ВАХ I(U) и в точке b получить устойчивый феррорезонанс.

I (U )

ZИ 0

Iа I0

Рис. 127

– проводимость, характеризующая потери энергии

Ом

в катушке.

ВАХ I(U) с учетом потерь

Ia Uga

энергии можно рассчитать, изме-

няя U, по формуле

IС

0 U

I (U ) U 2 g2 I

(U ) CU 2 ,

которая следует из векторной диа-

граммы.

Рис. 128

Феррорезонанс токов может применяться:

а) Для стабилизации переменного напряжения источника с Zи .

	I		IH
И
И	U	C	U Н
ZИ		C
ZИ
		стабилизатор

I>>I H

Рис. 129

I (U ) при ZИ

Iа

Рис. 130

Коэффициент стабилизации напряжения

Kст

I U

причём ( I ) / I ( U ) / U .

б) Для защиты от повышения переменного тока сети.

IСЕТИ

ТТ

Рис. 131

Происходит отключение

нагрузки

при

сети

причём

w1 w2 – количество витков.

2.10. Переходные процессы в нелинейных цепях

Расчет переходных процессов имеет ряд особенностей, обусловленных зависимостью параметров нелинейных элементов от величин напряжений и токов.

1.Для нелинейных цепей неприменим метод наложения – классический метод и интеграл Дюамеля нельзя использовать.

2.Нелинейные цепи характеризуются нелинейными дифференциальными уравнениями – операторный метод нельзя использовать.

3.Для расчета переходных процессов в нелинейных цепях используют приближенные методы и численные расчеты на ЭВМ.

Метод условной линеаризации

Дает ориентировочное решение и заключается в условной замене нелинейных элементов линейными элементами.

Напряжения и токи переходного процесса находятся в виде приближенных функций времени классическим или операторным методом. Этот метод наиболее удобно применять для нелинейных цепей с постоянными источниками.

Условимся, что замена нелинейных элементов линейными осуществляется следующим образом:

Резистивный элемент

+ u

А i

i(u)

Ен

iуст

Rн

+а

i(0 )

Rн

uуст u(0 )

u(0 )

uуст

Ом;

iуст i(0 )

Eн u(0 ) Rн i(0 ) В.

Рис. 132

Индуктивный элемент

Вб

(iL )

Lн

(0 )

уст

уст (0 )

Lн

Гн.

iLуст

iL уст iL (0 )

)

Рис. 133

Емкостный элемент

iС

uС

Сн

iС

uС

Cн

qуст q(0 )

Ф.

uC уст uC

(0 )

Кл q		q(uC )
qуст
q(0 )
			uС
0	uС (0 )	uС уст	В
			В

	Рис. 134

Порядок расчёта переходных процессов методом условной линеаризации с использованием классического метода:

1.ННУ. Определяем независимые начальные условия в цепи до коммутации iL (0 ) или uC (0 ) .

2.ЗНУ. Определяем искомую величину при t(0 ) – i(0 ) или u(0 ) .

3.Из расчета установившегося режима после коммутации находим установившиеся значения при t – iуст и uуст .

4.Линеаризуем участок характеристики НЭ и определяем его условно линейные параметры.

5.Определяем корень характеристического уравнения p через

входное сопротивление Z ( p) 0 , в схеме после коммутации.

6.Определяем постоянную интегрирования из начальных условий

Аi(0 ) iуст (0) или В u(0 ) uуст (0) .

7.Записываем окончательное решение

i(t) iуст iсв (t) i( ) Ae pt или u(t) uуст uсв (t) u( ) Be pt .

Пример

	+	iC
E	u	+ u
E	u	+ u
		C
	i
	i

Рис. 135

Дано:

e(t) const В;

С100 мкФ;

i(u) – ВАХ нелинейного элемента.

Определить: i(t) ?

1.ННУ. Определяем независимые начальные условия в цепи до коммутации uC (0 ) uC (0 ) Е .

2.ЗНУ. Определяем искомую величину при t(0 ) . i(0 ) находим графически по i(u) и u(0 ) uC (0 ) E .

3.Из расчета установившегося режима после коммутации находим установившиеся значения при t – iуст 0или uуст 0 .

4.Линеаризуем участок характеристики НЭ и определяем его условно линейные параметры.

Rн uуст u(0 ) ... Ом; iуст i(0 )

Ен u(0 ) Rн i(0 ) 0 .

В результате при t 0 получим схему:

А i

i(u)

i(0 )

		u
0	u(0 )	В
	u(0 )
а
i
Rн	+ uC
С	+ uC
Eн
в
Рис. 136

5. Определяем корень характеристического уравнения p через входное сопротивление Z ( p) 0 , в схеме после коммутации.

Z ( p) R	1	0;	p	1	... , 1		.
						с
н	pC			RнС

6.Определяем постоянную интегрирования из начальных условий

Аi(0 ) iуст ... .

7.Записываем окончательное решение

i(t) iуст Ae pt i(0 ) e t RнС А.

Пример

Дано:

J const ;

R ... Ом;

С 100 мкФ;

(iL ) – ВбАХ нелинейного индук-

тивного элемента.

Определить:

Рис. 137

uJ (t) ?

1. ННУ. Определяем независимые начальные условия в цепи до

коммутации i

) i

)

J R

J .

R R

2. ЗНУ. Определяем искомую величину при t(0 ) iR (0 ) J iL (0 ) J 2 ,

uJ (0 ) R iR (0 ) R J 2 .

3. Из расчета установившегося режима после коммутации находим установившиеся значения при t :

iLуст J , uJ уст 0 . уст находим графически по (iL ) и iLуст . 4. Линеаризуем участок характеристики НЭ и определяем его ус-

ловно линейные параметры.

Lн уст (0 ) ... .

iLуст iL (0 )

В результате при t 0 получим схему:

Вб

уст				(iL )
уст
(0 )
					iL
	0 iL (0 )		iLуст		А
	J
					iL
	+



	uJ	R			Lн


		iR	R

Рис. 138

100

Z( p) R рLн 0 ; p R ... 1с .

Lн

6.Определяем постоянную интегрирования из начальных условий

ВuJ (0 ) uJуст R J 2 .

7.Записываем окончательное решение

(t) u

) u

e pt

R J

e R t Lн

В.

J уст

Пример

Дано:

iС

J const ;

R ... Ом;

uС

С 100 мкФ;

q(uC ) – КВХ нелинейного ёмко-

стного элемента.

Определить:

Рис. 139

iR (t) ?

1. ННУ. Определяем независимые начальные условия в цепи до

коммутации uC (0 ) uC (0 ) J R .

2. ЗНУ.

Определяем

искомую

величину при

t(0 )

–

)

uC (0 )

q(0

) находим графически по q(u )

и u

) .

3. Из расчета установившегося режима после коммутации находим

установившиеся значения при t : iRуст J , uС уст 2R J . qуст

на-

ходим графически по q(uC )

и uC уст .

4. Линеаризуем участок характеристики НЭ и определяем его ус-

ловно линейные параметры.

101

Сн	qуст q(0 )	...Ф.
	uC уст uC (0 )

В результате при t 0 получим схему:

Кл q

qуст					q(uC )
					q(uC )
q(0 )
						uC
	0 u	(0	)		uC уст	B
	C
	J

				iR	+
				iR

2R Сн uС

Рис. 140

Определяем корень характеристического уравнения p через входное сопротивление Z ( p) 0 , в схеме после коммутации.

Z ( p) 2R	1	0 ;	p	1	...	1		.
							с
	рСн			2RCн

5.Определяем постоянную интегрирования из начальных условий

A iR (0 ) iRуст J 2 .

6.Записываем окончательное решение

i R (t) iR	A e t 2RCн J	J	e t 2RCн	А.

уст	2

Метод последовательных интервалов
Является приближенным численным методом,				заключающимся

в замене нелинейных дифференциальных уравнений алгебраическими уравнениями, содержащими конечные приращения исследуемых величин за малые интервалы времени:

102

а) нелинейные элементы u

q ;

б) линейные элементы u

diL

duC

Пример

+ uR

Дано:

е Em sin( t ) В;

R ... Ом;

С 100 мкФ;

(iL ) – ВбАХ нелинейного ин-

дуктивного элемента.

Рис. 141

Определить: iL (t) ?

По 2 закону Кирхгофа e uR uL

R iL

Тогда E sin( t )

R i (k )

(k )

(к) [E

sin( t

) R i(k )

] t ,

при этом (k 1) (k ) (k) ,

t k t , k 0, 1, 2, 3...

Начальные условия k 0,

(0) i (0) 0,

(0) (0)

причём t T 2 .

Расчет удобно вести, заполняя следующую таблицу.

k	tk	(k )		iL(k )	(к)		(k 1)		iL(k 1) по (iL )
–	c	Вб		A	Вб		Вб		А
0	0	(0)		i (0)	(0)		(1)		i (1)
				L					L
1	t		(1)	(1)		(1)		(2)	(2)
				iL					iL
2	2· t		(2)	(2)		(2)		(3)	(3)
				iL					iL

103

Ток iL(k 1) определяется графически.

Вб

(iL )

(k 1)

		iL
0	(k 1)	A
	iL
	Рис. 142

По результатам расчета строим график iL (t) .

А iL	iL (t)
iL(3)

iL(4)

iL(2) iL(5)

iL(1)

2 t

3 t

4 t

5 t

Рис. 143

t c

Недостаток метода – постепенное накопление ошибки при переходе от одного интервала к другому интервалу времени t .

104

3.ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

СРАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Это такие цепи, длина которых соизмерима с длиной электромагнитной волны и напряжения и токи изменяются вдоль этих цепей.

Примерами цепей с распределенными параметрами являются: а) двухпроводная линия (связи);

1 i1(t)			i(x,t) i2 (t)		2
u1(		t)		u(x,t) u2 (t)
						2
				x		2
	1			x
			Рис. 144
			Рис. 144

б) трехфазная транспонированная линия (электропередачи).

A1	iA (t)		B
	1		2
B1	iA(x,t)		C
B1	iA	(t)	C
	iA	(t)	2
	2		A2
C1			A2
C1			uA2 (t)
uA (t)	uA(x,t)		uA2 (t)
1			“Земля”
	x
	Рис. 145

Изменение напряжения и тока вдоль линии в функции x обусловлено наличием продольных сопротивлений и поперечных проводимостей. Линии, у которых напряжения и токи заметно изменяются вдоль их длины, называются длинными линиями.

Для линий электропередачи при = 314 рад/с такое изменение заметно при > 300 км.

Бесконечно малый участок dx двухпроводной линии или трехфазной линии на одну фазу (в симметричном режиме) может быть представлен так.

105

Рис. 146

где	i	x,t i x,t	i x,t	dx ;	u	x,t u x,t	u x,t	dx ;	R	(Ом/м),
	3		x		3		x		0
			x				x

L0 (Гн/м); G0 (См/м); C0 (Ф/м) – первичные (удельные) параметры ли-

ний.

Ограничимся рассмотрением однородных линий, у которых первичные параметры постоянны. Для бесконечно малого участка линии длиной dx по законам Кирхгофа получаем основные уравнения в частных производных

u x,t

R i x,t L

i x,t

;

(3.1)

i x,t

u x,t

G0 u x,t C0

знак «+» – при отсчете x от конца линии; знак «–» – при отсчете x от начала линии.

Решение уравнений (3.1) при определенных начальных (t = 0) и граничных условиях (x = 0, x = ) позволяет определить u(x,t) и i(x,t).

3.1. Установившийся гармонический режим однородной линии

При напряжении u2 t 2 U2 sin t U2 имеем

u x,t				U x sin t			x ;
		2
					U
i x,t			I x sin t			x .
	2				I

106

Тогда для комплексов действующих значений

U x U x e j U x , I x I x e j I x .

Из уравнений (3.1) получаем

	dU x			Z 0 I x ,
	dU x

		dx		(3.2)
				(3.2)
dI x			Y 0 U x ,
		dx	Y 0 U x ,
		dx

где Z 0 R0 j L0 (Ом/м) – комплекс продольного сопротивления ли-

нии на единицу длины;

Y 0 G0 j C0 (См/м) – комплекс продольного сопротивления ли-

нии на единицу длины.

Решением уравнений (3.2) при отсчете х от конца линии будут следующие комплексы действующих значений.

а) напряжения

U x A e x

A e x U

ch x Z

sh x;

(3.3)

б) тока

I x

e x

sh x I2 ch x,

(3.4)

Z в

где

A A e j 1

U2 Z в I2

(В);

A A e j 2

Z в I2

(В) – постоянные интегрирования;

(Ом) – волновое сопротивление;

Y 0

Z 0

(1/м) – постоянная распространения (передачи);

α, (Нп/м) – коэффициент затухания (ослабления);

β, (рад/м) – коэффициент фазы;

U2 U2 e j U2 , I2 I2 e j I2 – комплексы

действующих

значений

напряжения и тока в конце линии.

107

Напряжение и ток в линии можно рассматривать как сумму па-

дающей (прямой) и отраженной (обратной) волн

отр

(3.5)

Uп x

Uотр x

где U

x A e x , I

Uп x

– комплексы действующих значе-

Z в

ний падающих волн напряжения и тока;

x A e x

, I

Uотр x

– комплексы действующих

отр

Z в

значений отраженных волн напряжения и тока.

При изменении x от 0 до ℓ по формулам (3.3) и (3.4) можно рассчи-

тать

U x U x e j U x ;

Ix I x e j I x .

иопределить активную мощность

P x U x I x cos	x	I	x Вт,
U		I

которая монотонно возрастает к началу линии.

Графики зависимостей U(x), I(x), P(x) и КПД P2	P	1	исполь-
	1

зуются для анализа установившегося режима линий.

U I	U x	P	P
	U x		P
	P x		1
I2	P x		U1
I2
U2			I1
U2		I x
P2		I x	x
			x
0
	Рис. 147

108

Примечания:

sh x

e x e x

B e j 1 ; сh x

e x e x

B e j 2

2 .

e x e j x

B e j 3 , B

e x ,

x 180

Град.

e x e j x B e j 4

, B 1

При постоянных напряжениях и токах (ω = 0) имеем:

;

R G

;

0 0

U x U x , I x I x , P x U x I x .

3.2. Бегущие волны

При

A A e j 1 , A A e j 2

, Z

e j в ,

j получаем

мгновенные значения: а) напряжения

u x,t uп x,t uотр x,t

2 A1 e x sin t 1 x

2 A2 e x sin t 2 x ;

б) тока

i x,t iп x,t iотр x,t

2 A1 e x sin t 1 в x

Zв

2 A2 e x sin t 2 в x .

Zв

Падающие и отраженные волны можно рассматривать как бегущие волны, затухающие в направлении своего движения.

1. Падающую волну напряжения

uп x,t 2 A1 e x sin t 1 x

рассчитываем для трех моментов времени t1 < t2 < t3.

109

uотр x,t
t	t2	2A2e x	v
1	t2		v
1
0		t3	x
0
		2A e x
		2

Рис. 148

Падающая волна uп x,t , постепенно затухая, движется от начала

линии к ее концу с некоторой скоростью ʋ. 2. Отраженную волну напряжения

uотр x,t 2 A2 e x sin t 2 x

рассчитываем для трех моментов времени t1 < t2 < t3.

	uп x,t	2A e x
		1	t1
v		t2	t1
v	t3	t2	x
0	t3		x
0

2A1e x

Рис. 149

Аналогично можно сказать о падающей и отраженной волнах тока. При этом скорость ʋ является фазовой скоростью – это скорость перемещения значений волн, фаза которых остается неизменной. Так, если для падающей волны напряжения фаза постоянна

t 1 x const,

тогда	dx	0	или	dx	м/с.
	dt			dt

110

Длина волны λ – это расстояние между ближайшими точками линии, в которых фазы напряжения или тока отличаются на 2π.

Так для падающей волны напряжения

t x			t x 2 ,
	1		1

тогда 2 , причем ʋ ≤ 3∙105 км/c и при ω =314 1/с имеем λ = 6000 км.

3.3. Режимы однородной линии при гармонических напряжениях и токах

Проанализируем режимы работы для комплексов действующих значений напряжений и токов.

1 I1	I ( x)		I2	2
+				+
U1		U ( x)	U2
U1			U2

1' 2'

Рис. 150

1. Напряжение

U (x) Uп (х) Uотр (х) A1 e x A2 e xU2 ch x Z в I2 sh x.

2. Ток

I (x) I	п	(х) I	отр	(х)	A1	e x	A2	e x

					Z в		Z в

U 2 sh x I2 ch x.

Z в

3.Входное сопротивление

(Z н Z в

th l)

вх

th l)

111

где

– сопротивление нагрузки;

th l

sh l

– гиперболический

ch l

тангенс.

4. Коэффициент отражения волн от нагрузки (х = 0):

Uотр

(0)

а) для напряжения К

;

Uп (0)

Iотр (0)

б) для тока К

Iп (0)

где

U2 Z в

;

Z в

; К

Z н Z в

Режим согласованной нагрузки, когда Z

е j в .

Входное сопротивление Z

(с) Z

вх

Коэффициенты отражения КU К I 0 .

A U

e j U2 ,

A 0,

U (x) U

e x ,

e x.

I (x) I

При I2

Z в

мгновенные значения:

(x,t)

e x sin( t x

а) напряжения u(x,t)

) ;

б) тока i(x,t) i

(x,t)

e x sin( t x

) .

Zв

В любой точке линии

U (x)

I (x)

Активные мощности

P U I

cos U I cos

Вт,

1 1

P2 U2I2 cos 2

U2I2 cos в .

КПД P2

e 2

Так как U (x) U (x) e

j ( x)

j U

2 е

j x

, то

коэффициент затухания

U ( x)

( Нп

)

в режиме согласован-

км

ной нагрузки характеризует изменение величины напряжения или тока

112

на	единице длины			линии	при		этом коэффициент фазы
	U (x) U2	( рад		) в режиме согласованной нагрузки характери-
		( рад	км	) в режиме согласованной нагрузки характери-
	x		км
	x
зует изменение фазы напряжения или тока на единице длины линии.
	Режим холостого хода, когда Z н и I2 0 .
	Входное сопротивление Z (хх) Z					в	cth ,
				вх		в

коэффициент отражения КU К I 1.

Падающие и отраженные волны напряжения в конце линии равны

между собой

При A1 A2 U2 2

получаем

е х

е х U2 сh х;

U (x)

е х

I (x)

sh х.

Мгновенные значения

а) напряжения

u(x,t) uп (x,t) uотр (x,t)

2U2

e x sin( t х

)

2U2

e x sin( t х

б) тока

i(x,t) iп (x,t) iотр (x,t)

2U2

sin( t х

)

2Zв

2U2

sin( t

2Zв

113

Режим короткого замыкания, когда Z н 0 , U2 0 .

Входное сопротивление Z (вхкз) Z в th l , коэффициент отражения КU К I 1.

Падающие и отраженные волны тока в конце линии равны между собой.

При A1 I2 Z в 2 A2 получаем

U (x)

Z в I 2

е х

Z вI2

е х Z

sh х;

I 2

I (x)

х.

Мгновенные значения

а) напряжения

u(x,t) uп (x,t) uотр (x,t)

2ZвI2

sin(t х

)

2ZвI2

sin(t х

б) тока

i(x,t) iп (x,t) iотр (x,t)

2I2

sin( t х

)

2I2

sin( t х

2	2

Режимы холостого хода и короткого замыкания могут использоваться для экспериментального определения Z в и j :

а) режим холостого хода (ключ разомкнут)

Z (хх)	UV(хх)	e j xx Ом;

вх	IA(xx)

114

б) режим короткого замыкания (ключ замкнут)

кз

UV(кз)

вх

кз

Ом;

IA(кз)

в) расчет волнового сопротивления

е j в

Z (хх) Z (кз) ;

вх

г) расчет постоянной распространения

Z (вхкз) / Z

(вххх)

( 1

км

(кз)

/ Z

(хх)

вх

где k = 0 при ; к = 1

при

2 и т.д.

3.4. Однородная линия без искажений

Это линия связи, у которой формы кривых напряжения (тока) в начале и конце линии одинаковы.

u(t)

u1(t)

u2 (t)

Для этого необходимо, чтобы α и ʋ не зависели от ω. Условие не искажения формы кривых напряжения (тока)

R0	G0	К	0	;	(3.4.1)
L0	C0

Z 0 R0 j L0 L0 (K0 j ), Ом км ,

Y 0 G0 j C0 C0 (K0 j ), Cм км .

								j ), 1
тогда	Z		Y		L C (K			j ), 1		,
		0		0		0 0	0		км
		0		0		0 0	0		км

т. е	K0 L0C0 , L0C0 .

115

Фазовая скорость

, км

L0C0

Волновое сопротивление Z в

Z 0

Zв , Ом .

Если условие (3.4.1) не выполняется, то используют дополнитель-

ные катушки и конденсаторы

Lдоп

L (R0

L )

Гн ;

доп

Рис. 151

C (G0

C )

Ф;

Cдоп

доп

Рис. 152

3.5. Однородная линия без потерь

при гармонических напряжениях и токах

Линией без потерь считается линия, у которой R0 L0

и G0 C0,

поэтому R0 ≈ 0, G0

≈ 0.

Тогда Z 0

j L0 , Y 0

j C0 ,

Z в Zв

Y 0

Z 0

j L0C0 .

0 ,

L C

L0C0

Амплитуды падающей и отраженной волн напряжения и тока вдоль линии меняться не будут (α = 0).

Будет изменяться фаза напряжения и тока вдоль линии (β ≠ 0).

116

Поскольку α и ʋ не зависят от ω, то линия без потерь является ли-

нией без искажений.
Так как ch x ch j x cos x ,	sh x sh j x j sin x , тогда

основные уравнения однородной линии без потерь при отсчете x от конца линии будут следующими.

Если U	2	U	2	e j U2 и I						2	I	2	e j I2		, то мгновенные значения бу-
	2		2							2		2
дут следующими:
а) напряжения								U2 cos x sin t U2
		u x,t
		u x,t					2
			2 I2		ZВ sin x sin t I											2	90 ;
																2
б) тока
		i x,t							U2	sin x sin t U2								90
						2			U2
						2			ZВ
									ZВ
			2 I2		cos x sin t I									2	.
														2

Для любого момента времени распределение напряжения и тока вдоль линии в функции x является гармоническим:

	а) t = t1			б) t = t2
u i	u(x,t1)		u	i u(x,t2 )


				i(x,t2 )
	i(x,t1)			i(x,t2 )
0		x	0		x
0			0

Рис. 153

Рис. 154

Комплекс входного сопротивления линии

вх

Z н j Zв tg

j Z

где Z н U2 – сопротивление нагрузки.

117

3.6. Режимы однородной линии без потерь

Проанализируем для комплексов действующих значений напряжений и токов с использованием основных уравнений.

1 I1

I ( x)

I2 2

U ( x)

Z Н

Рис. 155

Режим холостого хода, когда Z н и I2

0 .

2 cos x;

U x U

I x j

sin x.

Z в

Входное сопротивление

Z (хх) j Z

ctg , в линии стоячие волны

вх

напряжения и тока.

Стоячие волны – это результат наложения падающих и отраженных волн с одинаковой амплитудой. При стоячих волнах активная мощность в любой точке линии равна нулю. При стоячих волнах пучности

и узлы неподвижны и сдвинуты друг относительно друга на 4 .

Построим

графики для

U I

действующих значений

U x U2

cos x

U (x)

2 ZВ

I x

sin x

I (x)

Zв

Рис. 156

118

Режим короткого замыкания, когда Z н 0 , U2 0

U x j ZВ I2 sin x;I x I2 cos x.

Входное сопротивление Z (вхкз) j Zв tg .

В линии – стоячие волны. Действующие значения:

U x Zв I2 sin x ;I x I2 cos x .

		U I
			I2 ZВ
	U1		I2 ZВ
	U1
			I2
x	I1		I2
	I1
		4	0
		4	0
		Рис. 157
		Рис. 157

Режим реактивной нагрузки, когда Z н jXн,

jXн I 2 , tg σ

Xн

Zв

x U2

sin x

;

sin

cos x

x I2

cos

Входное сопротивление Z (р)

j X

tg l

вх

В линии – стоячие волны.

а) индуктивная нагрузка

Действующие значения:

(Xн 0, 0);

sin x

U I

U x U2

;

sin

cos x

I x I

cos

Рис. 158

119

б) емкостная нагрузка ( Xн 0, 0).

U I

sin

cos

Рис. 159

Режим согласованной нагрузки, когда Z н Zв

U x U

e j x

;

I x I

e j x .

Входное сопротивление

Z (с)

вх

U (x) U2

U I

В линии – стоячих волн нет.

Действующие значения:

I (x) I2

U x U2 ;

I x I2.

Рис. 160

Режим активной нагрузки, когда Z н Rн Zв.

2 cos x

sin x ;

Rн

I x I 2 cos x

sin x .

Zв

120

В линии – стоячих волн нет. Действующие значения:

Zв

U x U2

cos

sin

Rн2

I x I2

cos2 x

Rн

sin2 x.

Zв2

а) Rн Zв;

	I
U1	U2
	U2
I1	I2

4		0
4		0

	б) Rн Zв.
	U I
U1	U2

I1 I2

4		0
4		0

Рис. 161

Если	4	и Rн 10 Zв , то	U1	Zв	0,1,	I1	Rн	10 – чет-
			U2			I2
				Rн			Zв

верть волновой трансформатор.

3.7.Переходные процессы

воднородных линиях без потерь

Переходные процессы в линиях возникают:

при включении и отключении источников и нагрузки;

при обрывах проводов и коротких замыкания;

при грозовых разрядах;

при прохождении импульсов в линиях связи.

У большинства линий R0 L0 G0 C0.

Поэтому ограничимся рассмотрением линий без потерь, у которых

R0 0 G0 0.

121

Основные уравнения при отсчете x от начала линии:

u(x,t) L i(x,t) ;					(3.7.1)
x	0		t
x			t
i(x,t) C u(x,t) .					(3.7.2)
x	0		t
x			t
Продифференцируем уравнения (3.7.1) и (3.7.2) по х и t, тогда при
скорости перемещения волн		v	1			км с , после преобразований


				L0C0
				L0C0

получаем следующие уравнения для напряжения u(x, t) и тока i(x, t) переходного процесса в линии


2u(x,t)		1			2u(x,t)		;
x2			v2		t2

2i(x,t)		1		2i(x,t)		.
x2	v2				t2

Решение уравнения (3.7.3):

u(x, t) f1 t x v f2 t x vuпад (x,t) uотр ( x, t).

Решение уравнения (3.7.4):

i(x,t) 1 t x v 2 t x viпад (x,t) iотр (x, t).

(3.7.3)

(3.7.4)

(3.7.5)

(3.7.6)

Подстановка (3.7.5) и (3.7.6) в уравнения (3.7.1) и (3.7.2) позволяет определить

iпад (x,t) uпад (x,t) ;

Zв

iотр (x,t) uотр (x,t) ,

Zв

где Zв L0 C0 , Ом – волновое сопротивление.

122

Вид функций f1, f2 , 1, 2 определяется граничными условиями,

т.е. входным напряжением и нагрузкой, причем эти функции должны быть дважды дифференцируемыми по х и t.

Так при	включении линии к источнику напряжения
u1(t) Umsin( t ) имеем при замене t на (t – x / v) :
uпад (x,t) f1(t – x / v) Umsin[ (t – x / v) ] ,
тогда
i	(x,t) (t – x / v)	Um	sin[ (t – x / v) ].

пад	1	Zв

Падающие волны uпад (x,t) и iпад (x,t) перемещаются со скоростью
v от начала линии в сторону увеличения координаты х .

Отраженные волны uотр (x,t) и iотр (x,t) перемещаются со скоро-

стью v от конца линии в сторону уменьшения координаты х.
Если uпад (x1,t1) f1 t1 x1 v , то при t2	t1	x2	x1	t1 и	х2 x1
Если uпад (x1,t1) f1 t1 x1 v , то при t2	t1		v	t1 и	х2 x1
			v
получаем падающую волну напряжения:
uпад (x2 ,t2 ) f1 t2 x2 v f1	t1 x1 v		.

При любом законе изменения во времени падающей волны напряжения и тока в начале линии по такому же закону, но с опозданием во времени изменится падающая волна напряжения и тока в любой точке линии.

B uпад
x 0	x x1	x x2 x1

0 t1 x1 v	t2 x2		t
	t2 x2	v
Рис. 162
Рис. 162
Таким же образом изменяются		отраженные волны напряжения

и тока, но с опозданием во времени относительно конца линии.

123

3.8. Включение однородной линии без потерь на постоянное напряжение

После замыкания ключа по линии начнут перемещаться падающие волны напряжения и тока с прямоугольным фронтом и со скоростью

v 1 L0C0 .

Рис. 163

Падающие волны:

а) напряжения uпад U0 ;

б) тока

uпад

, где

, Ом – волновое сопротив-

пад

Zв

ление.

Когда падающие волны достигнут конца линии, то появляются отраженные волны, которые определяются характером нагрузки. Так как для любой точки линии напряжение и ток равен сумме падающей и от-

раженной волн, тогда и для нагрузки (н) имеем (x ) :
u		u		u ;
	2	пад		отр	(3.8.1)
i		i	i .		(3.8.1)
i		i	i .

	2	пад		отр
	2	пад		отр

Напряжение u2 и ток i2 появляются в нагрузке только после прихода падающих волн uпад и iпад .

Так как iотр uотр то из уравнений (3.8.1):

Zв

u		u			u		;
				пад		отр
2				пад		отр		(3.8.2)
i Z				u	u .			(3.8.2)
i Z				u	u .

	2		в	пад		отр
	2		в	пад		отр

124

После сложения уравнений (3.8.2) получаем
2uпад u2 Zв i2 .	(3.8.3)

Уравнению (3.8.3) соответствует расчетная схема, которая используется для определения i2 (t) и u2 (t) после прихода в нагрузку падающих волн.

		Zв
				+


2uпад			Н		u2
	i2
	Рис. 164

За начало переходного процесса в нагрузке (t = 0) принимается момент прихода туда падающих волн.

Переходный процесс в нагрузке может быть рассчитан классическим или операторным методом при нулевых начальных условиях.

Затем определяются отраженные волны

			i		(t)	uотр (t)	;
			i		(t)		;
			отр			Zв
						Zв
			uотр (t) u2 (t) uпад (t) .
Рассчитываем распределение напряжения и тока для момента вре-
мени	t t	1	, где	1	– расстояние от нагрузки, которое прошли
мени	t t		, где		– расстояние от нагрузки, которое прошли
	0	v
		v

отраженные волны. При этом используем, что в каждой точке линии напряжение и ток равны сумме падающих и отраженных волн, которые запаздывают во времени относительно соответственно начала и конца линии.

		A	Б	В Г
			3
		1	3
U0			2 1	3	Н
				1	Н





	Рис. 165

125

	А		Б		В		Г
t, c	tА 0	tБ	1	tВ	2 1	tГ	1
			3v		3v		v

uотр , В	uотр (tA )	uотр (tБ )		uотр (tB)		uотр (tГ )
iотр , А	iотр (tA )	iотр (tБ )		iотр (tВ)		iотр (tГ )
u(x, t0 ), B	u2 (tA )	u2 (tБ )		u2 (tВ)		u2 (tГ )
i(x, t0 ), A	i2 (tA )	i2 (tБ )		i2 (tВ)		i2 (tГ )

U i

uпад U0

iпад U0 Zв

Рис. 166

v	iотр
v		х
A	Б В Г	х

uотр

Рис. 167

126

U i

v	u( x ,t0	)

iпад

i( x ,t0 )

A Б В Г

Рис. 168

3.9. Отражение и преломление волн в однородных линиях без потерь

Отражение и преломление волн происходит в местах неоднородностей, которыми являются нагрузка и другие линии с другими волновыми сопротивлениями. При этом используются коэффициенты отражения и преломления:

а) коэффициенты отражения Ku Ki uотр1 ;

uпад1

б) коэффициенты преломления n

uпад2

и n

iпад2

uпад1

iпад1

1. Переход волн с одной линии (Zв1) на другую линию (Zв2).

uпад1

iпад1

Zв1

Zв2

Zв1

Zв2

Рис. 169

uпад1 .

пад1

Zв1

127

Расчетная схема

2uпад1

Zв1

iпад 2

Zв2

uпад 2

Рис. 170

Определяем:

2uпад1

; u

;

в2

пад2

Zв1

Zв2

пад2

;

uотр1

;

отр1

пад2

пад1

отр1

Zв1

Zв2 Zв1

;

2Zв2

;

2Zв1

Zв1 Zв2

Если Zв1

= 2Zв2, тогда

;

uпад1

пад1

iпад1

Zв2

Zв1

Zв2 Zв1

t t0

пад1

uпад 2

iпад1

Zв1

пад 2

Zв2

l1 v1t0

l2 v2t0

Рис. 171

128

2. Переход волн с одной линии (Zв1) на две другие линии (Zв2 и Zв3).

uпад1

Zв2

uпад1

v1 Zв2

iпад1

Zв1

Zв3

Zв1

Zв3

Рис. 172

uпад1 .

пад1

Zв1

iпад 3

2uпад1

uпад 2,3

Zв3

Zв2

iпад 2

Рис. 173. Расчетная схема

Определяем:

2uпад1

;

iпад2 i 2

Zв3

;

Zв2Zв3

Zв2

Zв3

Zв1

Zв2

Zв3

iпад3 i2

Zв2

;

uпад2,3 iпад2 Zв2 .

в2

в3

Если Zв1 Zв3 Zв2

, v1 v3 v2

l , то при iпад2

iпад3 получа-

ем график.

129

uпад1

Zв2 uпад1

v2 Zв2

пад1

iпад1

Zв1

Zв3

Рис. 174

t t0;

l1 v1·t0; l2 v2·t0;

l3 v3·t0.

uпад1

в2

uпад 2,3

iпад1 v11

Zв1

в3

Рис. 175

3.Переход волн с одной линии (Zв1) на другую линию (Zв2), если

вместе стыка линий параллельно включен конденсатор с емкостью C.

uпад1


	iпад1	v1	i
			2
Zв1				С Zв2

Рис. 176

iпад1 uZпад1 . в1

130

Zв1


			C

2uпад1
				uпад2

			Zв2
			Zв2
		iC
	i2		iпад 2

Рис. 177. Расчетная схема

Переходный процесс рассчитывается классическим или операторным методом при нулевых начальных условия.

Расчетное время: а) для линии с Zв1

tA X A v1 ;

б) для линии с Zв2

tB X B v2 .

Изменяя XA и XB , рассчитываем распределения напряжения и тока

в линиях:

а) в линии с Zв1

uA u2 tA uпад2 tA ;

iA i2 tA ;

б) в линии с Zв2

uB uпад2 tB ; iB iпад2 tB .

Строим графики для t t0 , когда l1 v1 t0 и l2

v2 t0 .

uпад1

пад1

uпад 2

пад 2

x Zв1

Zв2x

в1

в2

Рис. 178

131

2iпад1

iпад1

iпад 2

iпад1

iпад 2

iС

Zв1

Zв2x

в1

в2

Рис. 179

Такое включение емкости используется для сглаживания фронтов

uпад2 и iпад2

в линии с Zв2.

4.Переход волн с одной линии (Zв1) на другую линию (Zв2), если

вместе стыка линий последовательно включена катушка с индуктивностью L.

uпад1

iпад1	v1 L

Z	в1	uL	Z	в2
	в1			в2

Рис. 180

iпад1 uZпад1 . в1

Zв1 L		Zв2
u	L	u
2uпад1		пад2

i2 iпад2

Рис. 181. Расчетная схема

Переходный процесс рассчитывается классическим или операторным методом при нулевых начальных условиях.

132

Расчетное время: а) для линии с Zв1

tA X A v1 ;

б) для линии с Zв2

tB X B v2 .

Изменяя XA и XB, рассчитываем распределения напряжения и тока в линиях:

а) в линии с Zв1

uA u2 tA ; iA i2 tA ;

б) в линии с Zв2

uB uпад2 tB ; iB iпад2 tB .

Строим графики для момента времени t = t0, когда l1 v1 t0 и l2 v2 t0

2uпад1

uпад1

uпад 2

uпад1

uпад 2

Zв1

Zв2x

в1

в2

Рис. 182

iпад1

iпад 2

iпад1

пад 2

Zв2x Zв1

Zв2x

Zв1

Рис. 183

Такое включение индуктивности используется для сглаживания фронтов uпад2 и iпад2 в линии с Zв2.

133

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2014_09_04_08_29_33_main

#
29.05.2015575.61 Кб15main.pdf
#
29.05.20152.57 Mб30mu.pdf
#
29.05.20152.16 Mб32mulp.pdf
#
29.05.20156.27 Mб36up2.pdf