Lek_4_ELEKTROEMKOST
.pdf
|
|
|
|
|
|||
|
|
( 1 2 ) E d |
|
||||
• Напряженность |
поля |
|
между |
||||
конденсатора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
S |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
• Разность |
потенциалов |
между |
|||||
конденсатора (7 6):
(6)
обкладками
(7)
обкладками
( |
) |
qd |
|
|
|||
1 |
2 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
• По определению емкость конденсатора:
|
C |
q |
|
|
|
|
( |
) |
|
||
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
• Подставляя (8) в (9), |
|
|
получаем |
||
электроемкости плоского конденсатора:
(8)
(9)
формулу
|
|
|
C |
S |
|
0 |
||
|
||
|
d |
(10
5. Электроемкость сферического конденсатора
ε |
R |
|
2 |
R1 |
r |
|
q q |
|
|
O |
P |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
Рис. 7
|
• Сферический |
конденсатор пред- |
|||||
E(r) |
ставляет две |
концентрические |
|||||
металлические сферы (обкладки), |
|||||||
|
|||||||
|
пространство |
между которыми |
|||||
|
заполнено диэлетриком с диэлект- |
||||||
|
рической проницаемостью |
|
|
(рис. 7). |
|||
|
|
|
|||||
|
• Сообщим обкладкам заряд |
|
q |
. |
|||
|
|
|
|
||||
• Между обкладками возникнет поле, напряженность которого зависит от расстояния r – E E(r) .
• Для любой точки |
|
|
поля между |
|||||||
конденсатора, в том числе и для точки |
|
|||||||||
P |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
1 |
|
|
|
q |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
0 |
|
r2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Учтем также, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
E |
d |
|
|
|||||
|
|
dr |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
• Из (11) и (12) следует, что
обкладками
(11
(12
|
q |
dr |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
d |
|
|
2 |
|
q |
2 |
dr |
|
||||
4 |
r |
|
d |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
r |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
• После интегрирования получаем:
( 1 |
2 ) |
q |
|
1 |
|
1 |
|
(13) |
|
|
|
|
|
||||
|
R1 |
|
|
|||||
|
|
4 |
|
R2 |
|
|||
• Подставляя (13) в ключевую формулу электроемкости
конденсатора – формула (2), получаем:
C |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q |
1 |
|
1 |
|||
4 |
|
R |
R |
|
||
|
||||||
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||
C |
4 |
0 R1R2 |
(14) |
||
R2 |
R1 |
||||
|
|
||||
• Формула (14) выражает электроемкость сферического
конденсатора.
• Бесконечно увеличивая радиус |
|
, |
|
|
|
R |
получаем уже |
||||
|
|
2 |
|
|
|
известную формулу электроемкости шара: |
|
||||
|
Cш 4 |
0 R |
(15) |
||
6. Электроемкость цилиндрического
1
R1
|
|
|
|
ε |
|
h |
|||||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q
|
2 |
|
R2
q
r E(r)
P
конденсатора
• Цилиндрический конденсатор
представляет систему, состоящую из двух соосных (коаксиальных) цилиндров (рис. 1).
• Для цилиндрического конденсато-
ра необходимым и достаточным является выполнение условия:
|
|
h (R |
R ) d |
2 |
1 |
• Электрическое поле цилиндриче-
Рис. 8 ского конденсатора сосредоточено между обкладками конденсатора и создается исключительно зарядом внутреннего цилиндра.
• Электрическое поле между обкладками конденсатора
является функцией расстояния от оси коакситальных цилиндров и, как это уже было показано ранее на примере поля заряженного бесконечно протяженного цилиндра, определяется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
q |
|
линейная |
плотность |
заряда |
на |
||
|
h |
внутреннем цилиндре. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
С учетом этого замечания напряженность поля цилиндрического конденсатора запишем в виде:
E |
q |
(16) |
||
|
|
|||
2 |
0 rh |
|||
|
|
|||
Разность |
потенциалов |
между |
обкладками |
конденсатора находим из условия:
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
q |
dr |
|
|
|
|
|
|||||
E |
|
d Edr |
|
|||||
|
2 h |
r |
||||||
dr |
||||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
• Интегрируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
q |
R2 |
dr |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
||
|
|
2 h |
r |
||||
|
|
1 |
R1 |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
q |
ln |
R |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 h |
|
R |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
(17)
• Подставляя (17) в ключевую формулу электроемкости
конденсатора – формула (2), получаем:
C |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
R2 |
|||
|
|
||||
|
|
2 h |
ln |
R |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
||
C |
2 h |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
ln |
|
2 |
|
R |
||
|
|
||
|
|
|
1 |
• Формула (13) выражает
цилиндрического конденсатора.
(18)
электроемкость
Применим к электроемкости цилиндрического конденсатора известное из математики соотношение:
если |
x 1, то |
|
|
|
. |
|
|
• Тогда, |
|
|
ln(1 |
x) x |
|
d |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
в соответствии со |
* |
, если |
|||||
|
|
||||||
знаменатель формулы (18) можно представить
|
R2 |
|
|
R2 R1 |
|
|
|
d |
|
|
d |
|
ln |
ln 1 |
|
|
ln 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
R1 |
|
|
R1 |
|
|
|
R1 |
|
R1 |
||
R |
* |
|
, то |
||
1 |
в виде:
(19)
• Подставляя (19) в (18), получаем:
|
|
|
|
|
|
C |
2 0 hR1 |
|
0 S |
(20) |
|
d |
d |
||||
|
|
|
где S 2 R1 площадь боковой поверхности цилиндра.
•Как это следует из всех предыдущих рассуждений, следует подчеркнуть, что электроемкость конденсатора зависит исключительно от трех факторов: 1) его размеров; 2) формы; и 3) диэлектрической проницаемости среды, заполняющей пространство между обкладками конденсатора.
•Кроме того, необходимо иметь в виду и то, что каждый конденсатор кроме электроемкости, характеризуется предельным напряжением, которое можно подать на его обкладки.
7. Соединения конденсаторов
а) параллельное соединение
q1 C1
q |
2 |
|
|
C2 |
|
U |
|||||
|
|||||
|
|
|
|||
Рис. 9
(q1 q2 )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
CЭ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
С |
|
q q |
|
q |
|
q |
C |
C |
|||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Э |
|
|
|
|
U |
|
U |
|
U |
1 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
• Обобщая (17), получим:
N
CЭ Ci
i 1
(21)
(22)