граммирования зацикливание явлеется довольно редким, возможность его не исключена.

Один из приемов борьбы с вырожденностью состоит в преобразовании задачи путем «незначительного» изменения вектора правых частей системы ограничений на величины εi таким образом, чтобы задача стала невырожденной, и, в

то же время, чтобы это изменение не повлияло реально на оптимальный план задачи.

Чаще реализуемые алгоритмы включают в себя некоторые простые правила, снижающие вероятность возникновения зацикливания или его преодоления.

Пусть переменную xj необходимо сделать базисной. Рассмотрим множество индексов E0 , состоящее из тех i , для которых достигается

условие обозначим через E0 . Если E0 состоит из одного элемента, то из базиса

состоит из одного индекса k , то из базиса выводится переменная xk . В противном случае составляется множество E2 и т.д.

Практически правилом надо пользоваться, если зацикливание уже обнаружено.

7.3. Двойственность задачи линейного программирования

Рассмотрим задачу (7.1) максимизации линейной формы и, одновременно, задачу (7.2) минимизации:

Задача (7.2) называется двойственной по отношению к прямой (7.1) (и наоборот).

82

Пример: Предприятие выпускает три вида продукции. Каждая продукция требует обработки на трех различных типах установок. Ресурс времени каждого типа установок ограничен. Известна прибыль от единицы каждого вида продукции: p1, p2 , p3 . Если количество выпускаемой продукции каждого вида есть

x1, x2 , x3 , то прибыль определяется по формуле

Q(x)= p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 → max

при ограничениях следующего вида:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ≤b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ≤ b2 , a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ≤ b3 ,

x ≥ 0 ,

где b1,b2 ,b3 – ресурсы времени установок первого, второго и третьего типов. Величины aij определяют количество ресурса времени установки i -го типа, которое необходимо для выпуска одной единицы продукции j -го вида.

Двойственная к ней задача будет иметь вид:

W(u)= b1 u1 +b2 u2 +b3 u3 → min

сограничениями:

a11 u1 + a21 u2 + a31 u3 ≥ p1,

a12 u1 + a22 u2 + a32 u3 ≥ p2,.a13 u1 + a23 u2 + a33 u3 ≥ p3,

u ≥ 0.

Здесь u1 – это оценка (цена), соответствующая одной единице ограничен-

ного ресурса, соответствующего первой установке. И она равна величине, на которую могла бы увеличиться суммарная прибыль, если бы количество этого ограниченного ресурса увеличилось на единицу, и если это увеличение было бы использовано оптимально. Иными словами, u1 – это количество прибыли, недо-

полученной из-за нехватки единицы ограниченного ресурса b1 . Аналогичным образом можно интерпретировать смысл величин u2 и u3 .

Преобразования при решении прямой и двойственной задач

Пусть имеются прямая и двойственная задачи следующего вида:

Для ограничений прямой задачи симплексная таблица имеет вид:

Пусть arS – разрешающий элемент, сделаем шаг модифицированного жорданова исключения:

Здесь bij = aij arS − arj aiS и всю данную таблицу следует разделить еще на

arS .

Симплексную таблицу для двойственной задачи запишем, развернув ее на 90 . Получаем:

Пусть arS – направляющий элемент. Сделаем шаг обыкновенного жорда-

нова исключения (отличие от модифицированного состоит в том, что элементы в разрешающей строке меняют знаки, а в столбце знаки сохраняются; в остальном преобразование остается тем же):

Здесь bij = aij arS − arj aiS и всю данную таблицу также следует разделить

еще на arS .

Замечание: Не следует забывать при преобразованиях, что в данном случае у нас таблица развернута.

Таким образом, нетрудно заметить, что шаг модифицированного жорданова исключения над симплексной таблицей прямой задачи соответствует шагу обыкновенного жорданова исключения над симплексной таблицей двойственной задачи. Эти взаимно двойственные задачи можно совместить в одной симплексной таблице:

Можно показать, что, решая основную задачу линейного программирования, решаем и двойственную к ней. И наоборот. Причем, max Q = min W .

Теоремы двойственности

Основная теорема двойственности линейного программирования

Пусть рассматривается пара двойственных задач:

Если одна из этих задач обладает оптимальным решением, то и двойственная к ней задача также имеет оптимальное решение. Причем экстремальные значения соответствующих линейных форм равны: max Q = min W .

Если же у одной из этих задач линейная форма не ограничена, то двойственная к ней задача противоречива.

Доказательство: Пусть основная задача (7.1) имеет конечное решение и получена окончательная симплексная таблица:

Так как данная таблица, по предположению, соответствует оптимальному решению задачи (7.1), то b1,n+1 ≥ 0, ..., bm,n+1 ≥ 0 и q1 ≥ 0, ..., qn ≥ 0. При этом maxQ = q0 достигается при y1 =...= ys = xs+1 =...= xn = 0.

Рассмотрим полученную таблицу двойственной задачи. Полагая значения переменных слева (небазисных) равными нулю:

v1 =... = vs = us+1 =... = um = 0 ,

найдем

u1 = q1 ≥ 0 , …, us = qs ≥ 0 , vs+1 = qs+1 ≥ 0 , …, vn = qn ≥ 0.

Следовательно, получено опорное решение u1 = q1, …, us = qs , us+1 = 0 , …, um = 0 .

Из последнего столбца находим, что

W= b1,n+1 v1 +... +bs,n+1 vs +bs+1,n+1 us+1 +... +bm,n+1 um + q0

ив точке

v1 =... = vs = us+1 =... = um = 0

86