Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

kontr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ 4.1. Общие методические указания

Правила выполнения и оформления контрольных работ

Каждая задача контрольных работ имеет 10 вариантов. Студент выполняет тот вариант, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

При выполнении и оформлении контрольных работ, необходимо соблюдать следующие правила:

1.Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов, его полный шифр, номер контрольной работы и дата ее отправки в университет.

2.Решения задач контрольной работы располагаются в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач, перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие.

3.Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов, чертежи можно выполнять от руки.

4.Если работа выполнена неудовлетворительно, то ее возвращают студенту и он должен в короткий срок исправить ее, решив заново в той же тетради задачи, в которых допущены ошибки. По необходимости студент должен давать на экзамене устные пояснения по всем или некоторым задачам, содержащимся в контрольных работах.

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

4.2. Контрольная работа № 1

Линейная алгебра

1-10. Каждый вариант этого раздела содержит четыре пункта, задания к которым соответствуют номеру пункта.

1.Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами: а) разложить по какой-либо строке или столбцу;

б) преобразовать определитель, получив нули в какой-либо строке или столбце, используя свойства определителя, а затем разложить его по этой строке или столбцу.

2.Записать систему линейных алгебраических уравнений АХ=В и решить ее тремя способами:

а) с помощью обратной матрицы Х=А-1·В, предварительно вычис-

лив А-1. Сделать две проверки:

1)А-1·А=Е;

2)подставить полученную матрицу-столбец Х в исходное уравнение и убедиться, что А·Х=В; б) по правилу Крамера; в) методом Гаусса.

3.Исследовать на совместимость и найти общее и какое-либо частное решение системы линейных алгебраических уравнений АХ=В. Сделать проверку по всем уравнениям, подставив частное решение в каждое уравнение системы.

4.Найти нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений АХ=0, если они существуют. Сделать проверку по всем уравнениям.

Вариант 1

		1	−2	−1	2		1	2	−1
		1	−2	−1	2
		−1	1	−2	1
	1.	−1	1	−2	1	2.		1		,
	1.	2	−1	3	2	2.	A = 2	1	1	,
		2	−1	3	2			2
		1	2	1	−1		1	2	2
		1	2	1	−1
	−2
	2
B =	2

	−1

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

1 3 2 0 1 3

3.A = 2 −3 7 −14 −1 , B = −81 3 −1 3 4 6

Вариант 2

	3	1	−1	2

1.	−1	2	1	−1
	5	−1	2	1

	1	3	−1	− 2

1 B = 2−2

3.A = −2 −4 1 −3 , B = 11 1 3 3 36 5 −3 2

									Вариант 3
		3	2	−1			2
		3	2	−1			2
	1.	−1	2	1		−1
	1.	5	−1	2			1
		5	−1	2			1
		0	3	−1		− 2
	2

B =	−2

	1
			3 1 2 −4							−7
	3.		2 2	−3	3		,
	3.	A =	2 2	−3	3		,	B =		−3
			−1 5
			−1 5	6 −2						2

		9		4	2	10
			3	7	5
4.	A =					−2
			1	8	6
						−6
				15
		4			11 −8

	2		5	3
2.		3	2		,
	A =			1
			4
	3			2

	3 8		−9 −7
4.		1 1
4.	A =	1 1	−13 −6

	1 4		5 1

	−1 −2			−1
2.		2	3	2	,
	A =
		4	5
				3

		5 −5	−1	−3
4.		1 1	3
4.	A =	1 1	3	−5
		4 −1
		4 −1	4 −9

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

Вариант 4

		−1	−3	2	−1
		−1	−3	2	−1
	1.	3	1	−1	2
	1.	2	1	2	−1
		2	1	2	−1
		1	−2	−3	−2
	0

B =	1

	2
			3	2 2	1		1
	3.		2	3 1
	3.	A =	2	3 1	−1 ,	B =	2
				1 3
		1		1 3	0		3

Вариант 5

		2 −2		1	−1
		2 −2		1	−1
	1.	−1	1	2	1
	1.	1	−3	1	2
		1	−3	1	2
		3	1	−1	0
	1

B =	−1

	2
			1	8 4	2			2
	3.		1	3 1		,
	3.	A =	1	3 1	0	,	B =	1
			−1	−6 −3
			−1	−6 −3	−1			−2

Вариант 6

	1		1	1
2.		3	2		,
	A =			1
			3
	6			1

		2		3	−1	5
			3	−1	2
4.	A =					−7
			4	1	−3	6

				−2	4
		1				−7

	5		0	3
2.		4	1		,
	A =			6
			0
	7			5

	3		9	− 2	4
4.		1	4	− 3	6
	A =
		1 7		−10
					20

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

				−1	2		3	−1
				−1	2		3	−1
	1.			2	1	−1		2
	1.			1	2		4	−1
				1	2		4	−1
				−2	3	−1		−3
	2

B =	0

	−1
					1	5	1	3					6
	3.				2 −4		−3
	3.			A =	2 −4		−3	5 , B =					12
					3	4
					3	4	6 −3						5
		1		1	0		−3	−1
			1	−1	2		−1	0
	A =		1	−1	2		−1	0
	A =		4	−2	6		3
			4	−2	6		3	−4
				4	2		4
		2		4	2		4	−7
											Вариант 7
				2	1		1	−1
				2	1		1	−1
	1.			1	3	−1		2
	1.			−1	1		2	1
				−1	1		2	1
				2	2		1	−3
	1

B =	−1

	2
					2 5 1 2							2
	3.				1 3
	3.			A =	1 3		4 −2			, B =		2
					3 2
					3 2		3 −4					4
		1		−2	1		−1			1
			2	1	−1		2
	A =		2	1	−1		2	−3
	A =		3	−2	−1		1
			3	−2	−1		1	−2
				−5	1		−2
		2		−5	1		−2		2

	1		3	−2
2.		2	6	3	,
	A =
			2	1
	1

	1		1	−1
2.		8	3		,
	A =			−6
			−1
	4			3

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

Вариант 8

		2	−1	0	−1
		2	−1	0	−1
	1.	1	2	−1	1
	1.	−1	1	2	−3
		−1	1	2	−3
		1	3	−2	0
	1

B =	2

	−1
			3 1 4 5 −3					5
	3.		2 −1 1 2 0			,
	3.	A =	2 −1 1 2 0			,	B =	3

			4 −2 2 3 −1					7

	1	−3	−4	1
	5	−8	−2	8
A =
	−2	−1	−10
				−5
	6	−11	−6
				9

Вариант 9

				3	2	−2		0
				3	2	−2		0
	1.			−1	1		0	−1
	1.			2	−1		1	3
				2	−1		1	3
				1	2	−1		−2
	2

B =	−1

	3
					3 4		−5	−2			1
	3.				6 7		−2		,
	3.			A =	6 7		−2	9	,	B =	−1
					2 −1		8
					2 −1		8	13			−3
		5		−5	10		−1
			3	1	7
	A =		3	1	7		1
	A =		1	7	1		3
			1	7	1		3
				8	11
		4		8	11		4

	6		1	1
2.		4	6		,
	A =			6
			2
	4			0

	1		−3	1
2.		0	3		,
	A =			2
			7
	7			0

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

Вариант 10

				2	−2	3		2				1	−3	1
				2	−2	3		2
				−3	1	2		−2
	1.			−3	1	2		−2			2.				,
	1.			4	−3	−2		1			2.	A = 2 0		−2	,
				4	−3	−2		1					−4
				2	4	3		−2				4	−4	3
				2	4	3		−2
	−1

B =	2

	1
				3 2		1	−2			1
	3.				2 5	3	0				4.
	3.			A =	2 5	3	0	,	B =	1	4.

				3 4		2 −1				1
		5		6	4	2
			7	5	3	6
	A =		7	5	3	6
	A =		2	−1	−1	4
			2	−1	−1	4
				8	6
		1		8	6	−6

Методические указания к выполнению заданий

1. Вычислить определитель

	1	2	3	4
det A =	2	3	4	1
	3	4	1	2
	4	1	2	3

(1.1)

Разложим определитель по элементам первого столбца

det A = a11A11 + a21A21 + a31A31 + a41A41 ,

	(1.2)
	_
где	Ai1 - алгебраические дополнения элементов ai1 (i =1,4).

Применяя формулу (1.2) к определителю (1.1), получим

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

det A =1 (−1)1+1	3	4	1	+2 (−1)1+2	2	3	4	+3 (−1)1+3	2	3	4	+4 (−1)1+4	2	3	4
det A =1 (−1)1+1	4	1	2	+2 (−1)1+2	4	1	2	+3 (−1)1+3	3	4	1	+4 (−1)1+4	3	4	1
	1	2	3		1	2	3		1	2	3		4	1	2

Таким образом, исходный определитель 4-го порядка свелся к четырем определителям 3-го порядка.

Вычислим каждый определитель 3-го порядка, разложив по элементам, например, первого столбца, или применяя правило треугольников.

3	4	1		1	2		4	1		4	1
3	4	1
4	1	2	= 3			− 4			+1			= −36;
1	2	3		2	3		2	3		1	2
1	2	3
2	3	4		1 2			3 4			3 4


4	1	2	= 2			− 4			+1			= −4;
1	2	3		2	3		2	3		1	2
1	2	3
2	3	4	= 24 + 24 + 3−16− 27 − 4 = 4;
2	3	4
3	4	1
1	2	3

2 3 4

34 1 = 16+12 +12 −64 −18− 2 = 44.

41 2

Окончательно получаем

det A=1·(-36)-2·(-4)+3·4-4·(-44)=-36+8+12+178=160.

Вычисления значительно упрощаются, если воспользоваться свойствами определителя и получить нули в какой-либо строке или столбце. Будем обозначать строки определителя буквой S, а столбцы -К. Тогда S1+3S4 означает, что к 1-ой строке нужно прибавить 3 четвертых строки. Действия над строками и столбцами будем писать над знаком равенства при преобразовании определителя, учитывая свойства определителя.

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

	1	2	3	4				1	2	3	4	S3	1		1	2	3	4
	2	3	4	1	S2 −=2S1			0	−1 −2		− 7				0	−1	−2	−7

det A =												=2		2					=
	3	4	1	2	S	−	3S	0	−2	−8	−10				0	−1	−7	−7
					3		1
	4	1	2	3	S4	−	4S1	0	−7	−10 −13					0	−7 −10 −13

−1

− 2

− 7

S2=−S1 2

−1

− 2

− 7

− 2 2

=1 2

−1

− 4

− 5

− 2

= 2 (−1)

− 7

−10 −13

S3 −7S2

4 36

= −2 (−72 −8)

=160

2. Составим систему линейных алгебраических уравнений для

		1	1	2
A		2	−1	2	и	B	=
A	=	2	−1	2	и	B	=
3×3		4	1	4		3×1
		4	1	4

				1 1			2 x				−1
A	X		= B		2	−1	2		1		−4
A	X		= B		2	−1	2	x		=	−4
3×3		3×1	3×1		4	1	4		2		−2
	(1.3)				4	1	4	x3			−2
	(1.3)

	−1
	−4
	−4	.
	−2
	−2

x1 + x2 + 2x3 = −1

2x1 −	x2 +	2x3 = −4
4x1 +	x2 +	4x3 = −2

а). Решим систему (1.3) с помощью обратной матрицы. Для того, чтобы существовала обратная матрица к матрице А, матрица А должна быть невырожденной, т.е. det A≠0. В этом случае А-1 существует и находится по формуле

	1			A11	A21	A31
A−1 =	1	A , где	A =	A	A	A	,
A−1 =		A , где	A =	A	A	A	,
	det A			12	22	32
	det A				A23	A33
				A13	A23	A33

(1.4)

где Aij -алгебраические дополнения элементов aij.

Обратная матрица используется для нахождения решений системы из n - линейных уравнений с n - неизвестными вида

An×n X n×1 = Bn×1

(1.5)

Если det A≠0, то используем известные формулы

A−1 A = A A−1 = E

AE = EA = A

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»

(1.6)

A·(BC) = (AB)·C,

где E - единичная матрица.

Умножим обе части уравнения (1.5) слева на A-1

A−1 AX = A−1 B EX = A−1 B X = A−1 B

(1.7)

Для исходной системы (1.3) вычислим определитель

= det A =	1	1	2	= 6 ≠ 0 A - невырожденная.
= det A =	2	−1	2	= 6 ≠ 0 A - невырожденная.
	4	1	4

Решение системы найдем по формуле (1.7)

	−6 2 4					1	−6 2 4
				A−1
A =	0	−4 2	,		=		0	−4 2	.
						6
	6						6
		3 −3						3 −3

Решение системы

x1		1	−6 2		4	−1		1	6		1

x2	=		0	−4 2		−4	=		12	=	2	.
		6						6
			6	3
x3					−3	−2			−12		−2

Получим x1 = 1, x2 = 2, x3 = -2,

Сделаем проверку, подставив найденные неизвестные в исходную систему

1	+ 2 - 4 = -1	истина
2	- 2 - 4 = -4истина
4	+ 2 - 8 = -2	истина.

б). Решение системы (1.3) можно получить по формулам Крамера.

X i =	i	,	i = 1, 2, 3,	= det A,

(1.8)
i - определитель, полученный из определителя системы					заменой

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.04.2019723.97 Кб98kollokvium1 (1).doc
#
13.09.2019234.5 Кб2Kollokvium_2_Kolpakov.doc
#
26.11.201980.45 Кб4kollokvium_po_fizike_hhy.docx
#
22.09.2019563.2 Кб3komplekt_resheny.doc
#
29.05.201519.91 Mб144Konspekt_lektsy.pdf
#
29.05.20151.1 Mб2kontr.pdf
#
25.11.201964 Кб17Kontr1.doc
#
30.08.2019281.6 Кб0Kontrolnaya_rabota_70_var_7_zadach.doc
#
29.05.201515.5 Кб24kontseptsii_estestvennogo_obschestvoznania.docx
#
23.09.2019573.44 Кб4Kopia_MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI_ROSSIJS...doc
#
25.03.2016143.36 Кб9Kopytova_IDZ1_O_2013.doc