
kontr
.pdf
Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ 4.1. Общие методические указания
Правила выполнения и оформления контрольных работ
Каждая задача контрольных работ имеет 10 вариантов. Студент выполняет тот вариант, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.
При выполнении и оформлении контрольных работ, необходимо соблюдать следующие правила:
1.Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов, его полный шифр, номер контрольной работы и дата ее отправки в университет.
2.Решения задач контрольной работы располагаются в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач, перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие.
3.Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов, чертежи можно выполнять от руки.
4.Если работа выполнена неудовлетворительно, то ее возвращают студенту и он должен в короткий срок исправить ее, решив заново в той же тетради задачи, в которых допущены ошибки. По необходимости студент должен давать на экзамене устные пояснения по всем или некоторым задачам, содержащимся в контрольных работах.

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
4.2. Контрольная работа № 1
Линейная алгебра
1-10. Каждый вариант этого раздела содержит четыре пункта, задания к которым соответствуют номеру пункта.
1.Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами: а) разложить по какой-либо строке или столбцу;
б) преобразовать определитель, получив нули в какой-либо строке или столбце, используя свойства определителя, а затем разложить его по этой строке или столбцу.
2.Записать систему линейных алгебраических уравнений АХ=В и решить ее тремя способами:
а) с помощью обратной матрицы Х=А-1·В, предварительно вычис-
лив А-1. Сделать две проверки:
1)А-1·А=Е;
2)подставить полученную матрицу-столбец Х в исходное уравнение и убедиться, что А·Х=В; б) по правилу Крамера; в) методом Гаусса.
3.Исследовать на совместимость и найти общее и какое-либо частное решение системы линейных алгебраических уравнений АХ=В. Сделать проверку по всем уравнениям, подставив частное решение в каждое уравнение системы.
4.Найти нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений АХ=0, если они существуют. Сделать проверку по всем уравнениям.
Вариант 1
|
|
|
1 |
−2 |
−1 |
2 |
|
1 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−1 |
1 |
−2 |
1 |
|
|
|||
|
1. |
2. |
|
1 |
|
, |
|||||
|
2 |
−1 |
3 |
2 |
A = 2 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
−1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
1 3 2 0 1 3
3.A = 2 −3 7 −14 −1 , B = −81 3 −1 3 4 6
Вариант 2
|
3 |
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
||||
1. |
−1 |
2 |
1 |
−1 |
|
5 |
−1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
3 |
−1 |
− 2 |
|
1 B = 2−2
4
3.A = −2 −4 1 −3 , B = 11 1 3 3 36 5 −3 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
3 |
2 |
−1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1. |
−1 |
2 |
1 |
|
−1 |
|
|
||
|
5 |
−1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
3 |
−1 |
|
− 2 |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 2 −4 |
|
|
|
−7 |
|||
|
3. |
|
2 2 |
−3 |
3 |
|
, |
|
|
|
|
A = |
|
B = |
−3 |
||||||
|
|
|
−1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 −2 |
|
|
|
2 |
|
|
9 |
4 |
2 |
10 |
|
|
|
|
3 |
7 |
5 |
|
4. |
A = |
|
−2 |
|||
|
1 |
8 |
6 |
|
||
|
|
|
−6 |
|||
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
4 |
11 −8 |
|
2 |
5 |
3 |
|
|
2. |
|
3 |
2 |
|
, |
A = |
1 |
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
3 8 |
−9 −7 |
|
4. |
|
1 1 |
|
A = |
−13 −6 |
||
|
|
|
|
|
1 4 |
5 1 |
|
−1 −2 |
−1 |
|
|||
2. |
|
2 |
3 |
2 |
|
, |
A = |
|
|||||
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 −5 |
−1 |
−3 |
4. |
|
1 1 |
3 |
|
A = |
−5 |
|||
|
|
4 −1 |
|
|
|
|
4 −9 |

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
Вариант 4
|
|
−1 |
−3 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1. |
3 |
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
−2 |
−3 |
−2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 2 |
1 |
|
1 |
|
3. |
|
2 |
3 1 |
|
|
|
|
A = |
−1 , |
B = |
2 |
|||
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
3 |
Вариант 5
|
|
2 −2 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1. |
−1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
8 4 |
2 |
|
|
2 |
||
|
3. |
|
1 |
3 1 |
|
, |
|
|
||
|
A = |
0 |
B = |
1 |
||||||
|
|
|
−1 |
−6 −3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
−1 |
|
|
−2 |
Вариант 6
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2. |
|
3 |
2 |
|
, |
A = |
1 |
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
−1 |
5 |
||
|
|
|
3 |
−1 |
2 |
|
|
4. |
A = |
|
−7 |
||||
|
4 |
1 |
−3 |
6 |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
−2 |
4 |
|
|
|
|
1 |
−7 |
|
5 |
0 |
3 |
|
|
2. |
|
4 |
1 |
|
, |
A = |
6 |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
7 |
5 |
|
|
3 |
9 |
− 2 |
4 |
||
4. |
|
1 |
4 |
− 3 |
6 |
|
A = |
|
|||||
|
|
1 7 |
−10 |
|
|
|
|
|
20 |

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1. |
|
|
2 |
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
4 |
−1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−2 |
3 |
−1 |
−3 |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
1 |
3 |
|
6 |
||||
|
3. |
|
|
|
2 −4 |
−3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
A = |
5 , B = |
|
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 −3 |
|
5 |
|||||||
|
|
1 |
1 |
0 |
|
−3 |
−1 |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
−2 |
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
−4 |
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
−7 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1. |
|
|
1 |
3 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 1 2 |
|
|
|
|
2 |
||||
|
3. |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
4 −2 |
|
, B = |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −4 |
|
|
|
|
4 |
||||
|
|
1 |
−2 |
1 |
−1 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
−3 |
|
|
|||||||||
|
|
3 |
−2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
−5 |
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
3 |
−2 |
|
||
2. |
|
2 |
6 |
3 |
|
, |
A = |
|
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
4.
|
1 |
1 |
−1 |
|
|
2. |
|
8 |
3 |
|
, |
A = |
−6 |
||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
4 |
3 |
|
4.

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
Вариант 8
|
|
2 |
−1 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1. |
1 |
2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
3 |
−2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 4 5 −3 |
|
|
5 |
|||||
|
3. |
|
2 −1 1 2 0 |
|
, |
|
|
||||
|
A = |
|
B = |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −2 2 3 −1 |
|
|
7 |
|
|
1 |
−3 |
−4 |
1 |
|
|
|
5 |
−8 |
−2 |
8 |
|
A = |
|
|
||||
|
−2 |
−1 |
−10 |
|
|
|
|
|
−5 |
||||
|
6 |
−11 |
−6 |
|
|
|
|
|
9 |
Вариант 9
|
|
|
|
3 |
2 |
−2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1. |
|
|
−1 |
1 |
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
−1 |
−2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
−5 |
−2 |
|
|
1 |
|
|
3. |
|
|
|
6 7 |
−2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
A = |
9 |
B = |
−1 |
|||||
|
|
|
|
|
2 −1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
−3 |
|||
|
|
5 |
−5 |
10 |
|
−1 |
|
|
|
||
|
|
|
3 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
7 |
1 |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
8 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
6 |
1 |
1 |
|
|
2. |
|
4 |
6 |
|
, |
A = |
6 |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
0 |
|
4.
|
1 |
−3 |
1 |
|
|
2. |
|
0 |
3 |
|
, |
A = |
2 |
||||
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
0 |
|
4.

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
Вариант 10
|
|
|
|
2 |
−2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
−3 |
1 |
2 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
, |
||||
|
|
|
4 |
−3 |
−2 |
|
|
1 |
|
|
A = 2 0 |
−2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
4 |
3 |
|
|
−2 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
1 |
−2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
3. |
|
|
|
2 5 |
3 |
0 |
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
, |
B = |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
2 −1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
6 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
7 |
5 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
−1 |
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
8 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Методические указания к выполнению заданий
1. Вычислить определитель
|
1 |
2 |
3 |
4 |
det A = |
2 |
3 |
4 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
(1.1)
Разложим определитель по элементам первого столбца
det A = a11A11 + a21A21 + a31A31 + a41A41 ,
|
(1.2) |
|
_ |
где |
Ai1 - алгебраические дополнения элементов ai1 (i =1,4). |
Применяя формулу (1.2) к определителю (1.1), получим

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
det A =1 (−1)1+1 |
3 |
4 |
1 |
+2 (−1)1+2 |
2 |
3 |
4 |
+3 (−1)1+3 |
2 |
3 |
4 |
+4 (−1)1+4 |
2 |
3 |
4 |
4 |
1 |
2 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
3 |
4 |
1 |
||||
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
1 |
2 |
.
Таким образом, исходный определитель 4-го порядка свелся к четырем определителям 3-го порядка.
Вычислим каждый определитель 3-го порядка, разложив по элементам, например, первого столбца, или применяя правило треугольников.
3 |
4 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
4 |
1 |
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
1 |
2 |
|
|
= 3 |
|
− 4 |
|
+1 |
= −36; |
||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
3 |
4 |
|
|
|
1 2 |
|
|
3 4 |
|
3 4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
1 |
2 |
|
|
= 2 |
|
− 4 |
+1 |
= −4; |
|||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
3 |
4 |
|
|
= 24 + 24 + 3−16− 27 − 4 = 4; |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
3 |
4 |
1 |
|
|||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 4
34 1 = 16+12 +12 −64 −18− 2 = 44.
41 2
Окончательно получаем
det A=1·(-36)-2·(-4)+3·4-4·(-44)=-36+8+12+178=160.
Вычисления значительно упрощаются, если воспользоваться свойствами определителя и получить нули в какой-либо строке или столбце. Будем обозначать строки определителя буквой S, а столбцы -К. Тогда S1+3S4 означает, что к 1-ой строке нужно прибавить 3 четвертых строки. Действия над строками и столбцами будем писать над знаком равенства при преобразовании определителя, учитывая свойства определителя.

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
S3 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
2 |
3 |
4 |
1 |
S2 −=2S1 |
0 |
−1 −2 |
− 7 |
|
|
0 |
−1 |
−2 |
−7 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
det A = |
=2 |
2 |
= |
||||||||||||||||
|
3 |
4 |
1 |
2 |
S |
− |
3S |
0 |
−2 |
−8 |
−10 |
|
|
|
0 |
−1 |
−7 |
−7 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
3 |
S4 |
− |
4S1 |
0 |
−7 |
−10 −13 |
|
|
|
0 |
−7 −10 −13 |
|
|
−1 |
− 2 |
− 7 |
|
S2=−S1 2 |
|
−1 |
− 2 |
− 7 |
|
|
− 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
=1 2 |
−1 |
− 4 |
− 5 |
|
|
0 |
− 2 |
2 |
|
= 2 (−1) |
= |
. |
||
|
− 7 |
−10 −13 |
|
S3 −7S2 |
|
0 |
4 36 |
|
|
4 36 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= −2 (−72 −8) |
=160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составим систему линейных алгебраических уравнений для
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
A |
|
2 |
−1 |
2 |
|
и |
B |
= |
= |
|
|||||||
3×3 |
|
4 |
1 |
4 |
|
|
3×1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
2 x |
|
|
−1 |
|
|||||
A |
X |
|
= B |
|
2 |
−1 |
2 |
|
1 |
|
|
−4 |
|
|
|
|
x |
|
|
= |
|
||||||||
3×3 |
|
3×1 |
3×1 |
|
4 |
1 |
4 |
|
2 |
|
|
−2 |
|
|
|
(1.3) |
|
|
x3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
−4 |
|
|
. |
|
|
−2 |
|
|
|
x1 + x2 + 2x3 = −1
2x1 − |
x2 + |
2x3 = −4 |
4x1 + |
x2 + |
4x3 = −2 |
а). Решим систему (1.3) с помощью обратной матрицы. Для того, чтобы существовала обратная матрица к матрице А, матрица А должна быть невырожденной, т.е. det A≠0. В этом случае А-1 существует и находится по формуле
|
1 |
|
|
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
A−1 = |
A , где |
A = |
A |
A |
A |
|
, |
|
|
|
|||||||
|
det A |
|
|
12 |
22 |
32 |
|
|
|
|
|
|
A23 |
A33 |
|
|
|
|
|
|
|
A13 |
|
|
(1.4)
где Aij -алгебраические дополнения элементов aij.
Обратная матрица используется для нахождения решений системы из n - линейных уравнений с n - неизвестными вида
An×n X n×1 = Bn×1
(1.5)
Если det A≠0, то используем известные формулы
A−1 A = A A−1 = E
AE = EA = A

Контрольныеработыподисциплине «ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА. Часть1»
(1.6)
A·(BC) = (AB)·C,
где E - единичная матрица.
Умножим обе части уравнения (1.5) слева на A-1
A−1 AX = A−1 B EX = A−1 B X = A−1 B
(1.7)
Для исходной системы (1.3) вычислим определитель
= det A = |
1 |
1 |
2 |
= 6 ≠ 0 A - невырожденная. |
2 |
−1 |
2 |
||
|
4 |
1 |
4 |
|
Решение системы найдем по формуле (1.7)
|
−6 2 4 |
|
|
|
1 |
|
−6 2 4 |
|||||
|
|
|
|
|
A−1 |
|
|
|
|
|
||
A = |
0 |
−4 2 |
|
, |
= |
|
|
|
0 |
−4 2 |
. |
|
6 |
|
|||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 −3 |
|
|
|
|
|
|
3 −3 |
Решение системы
x1 |
|
|
1 |
|
−6 2 |
4 |
−1 |
|
1 |
|
|
6 |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
= |
|
|
|
0 |
−4 2 |
|
−4 |
= |
|
|
|
|
12 |
|
= |
2 |
. |
||
6 |
6 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x3 |
|
|
|
|
|
−3 |
−2 |
|
|
|
|
|
−12 |
|
−2 |
Получим x1 = 1, x2 = 2, x3 = -2,
Сделаем проверку, подставив найденные неизвестные в исходную систему
1 |
+ 2 - 4 = -1 |
истина |
2 |
- 2 - 4 = -4истина |
|
4 |
+ 2 - 8 = -2 |
истина. |
б). Решение системы (1.3) можно получить по формулам Крамера.
X i = |
i |
, |
i = 1, 2, 3, |
= det A, |
|
|
|
||||
(1.8) |
|
|
|
|
|
i - определитель, полученный из определителя системы |
заменой |