Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

DIF_calc_2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

3.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

310	Индивидуальные задания

вточке x0 = 1 или показать, что он не существует.

20.4.Записать асимптотическую оценку функций

	√	2	3
1) f(x) = 1 − cos	3	x ;	2) f(x) = √x − x
1) f(x) = 1 − cos		x ;	2) f(x) = √x − x

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

20.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −4x2 + 9 непрерывна в точкеточке.x0 = 4; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

20.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	x2	,	если 0 x < 1;	2) f(x) =		1/(4x+2) ;	3) y =	x	2 .
	x,	x,	если x < 0;		1 − 3−			1 − x
	2	x,	если x 1;		1 − 3−			1 − x
					1

−

20.7. Найти производные следующих функций:

√

−x

;

2 ;

x 3

6x3

y =

− 8) x

y = ln tg

−

;

y = (√

;

y =

−

arcsin

)cos 3x

1 +

√

7) y =

2 ctg x

;

8) y = (x − 5)ch x;

√

1 −

√

2 ctg x

10) x + √

+ y = a;

11) xy = e2x − e3x + e−y

13) y = t2(t − 1);

14)

y = √1 + t;

x = t(t

+ 1),

x = arcsin √t,


3)	y =	sin3 7x					;
		14 sin 14x
6)								;
	y = (		2)
		√			ln cos x
9)	y = x
				1		− x2		;
				1		+ x2

;12) tg xy − y = sin2 x;

x = t − sin t,

15)y = cos2 t.

20.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y = (1 + x2) arctg x, x0 = 0; 2) y = ln(x + 1 + x2), x0 = 1.

20.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1) y = 3x − e3x arcsin e3x, x0 = 0; 2) y = (1 + x2)ex−8, x0 = 0.

20.10.Найти точки на кривой y = x3/3 − 9x2/2 + 20x − 7, в которых нормали параллельны оси Oy.

20.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

1) y = arccos	x − 1	; 2) y = ln cos x + x sin2 x; 3) y = etg2 x−5.

	√2x2
	√2x2		√3x + cos x, x = 0,01.
20.12. Вычислить приближенно y =			√3x + cos x, x = 0,01.
			3

20.13. Показать, что функция y = (c − ln x)x удовлетворяет уравнению (x − y)dx + x dy = 0.

20.14. Найти производные указанных порядков
1) y = ln(x + 3), y =?; 2) y = x + esin x, y =?;				3) y = lg(3x + 1), y(n) =?;
y = tg(1 − t),	dy2		y = t − 6,		dx2
4) x = sin(1 − t),	d2x	=?;	5) x = t3	+ 5t,	d2y	=?.

Задания для самоконтроля								311
20.15. Найти экстремумы функций
	2		2			ex		√

1) y = (x		+ x + 2)(x		+ x − 2);	2) y =		;	3) y = x + 3 − x.
						(x + 3)2

20.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x4

−

8x2 + 3, [ 2; 1];

2) y =

x3 − 1

, [

−

1];

3) y = ln(2x2

−

4x2

−

20.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = x

1 − x ;

4) y = n→∞

(x − 2)(x2 − 1)

;

2) y =

;

3) y = x

lim

20.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

9x − 3 f(x) = ln 3x − 9 .

+ 3), [−1; 3].

√

n 1 + xn, x > 0.

20.19.Определить наибольшую площадь равнобедренного треугольника, вписанного

вкруг радиуса R.

20.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) x→0	x−	1	x→0	2x2	− 2x tg x	x→∞	−
lim	e2x	1	; 2) lim	1	1	; 3) lim (ln x)2/(x		1).
lim			; 2) lim			; 3) lim (ln x)2/(x		1).

20.21.Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследо-

вания:

1)область определения X =] − ∞; 1[ ]1; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = 1;

3)горизонтальные асимптоты: y = 1 (x → −∞), y = −2 (x → +∞);

4)наклонные асимптоты: нет;

5)стационарные точки x = −2, x = 0, x = 2, x = 4;

6)точки, где y = ∞: −1;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ] − 2; −1[, ]1; 2[, ]4, ∞[; б) убывания: ] −

∞; −2[, ] − 1; 1[, ]2; 4[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −5/2[, ]0; 1[, ]1; 3[, ]5; ∞[; б) вогнутости: ] − 5/2; −1[, ] − 1; 0[, ]3; 5[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−5/2) = 3/4; y(−2) = 1/2; y(−1) = 4; y(0) = 1; y(2) = −1; y(3) = −2; y(4) = −3,5; y(5) = −2,5.

20.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = e−5x и вы-

числить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 21

21.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim

n + 1

−

;

2) lim

5x2 − 24x − 5

= 26.

→∞

−

→

−

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

312

Индивидуальные задания

21.2. Найти пределы

√

n2 − (n + 1)2

2 + ... + 2n

lim

[

n(n + 2)

−

2n + 3]

lim

3x2

+ 2x

1−

→∞tg2(πx/4) 3

;

2) n

→∞

5x + 6

; 3) n

→∞

1) ;

2n + 1

−

1 +

... + (2n

4) x 1

√ 2

;

5) x 2

;

6) x

;

lim

−

lim

−

lim

−

→ √ x + 3 + 1

→

+ 2x − x − 14

→∞

x + 2x

− 1

;

(√

x);

9) lim

x + tg 2x

;

lim

−

5x + 6

−

x→1

√x − 1

x→+∞

1/x2

x→0

sin 3x

→∞

+ sin x

→

1 + x2x

→∞

−

10)

11)

πx

;

12)

+ 1

;

xlim x + sin 2x;

1(1 − x) tg

lim

1 + x3x

lim

13)

x→0

;

14)

x→0

;

15)

x→0

;

lim

(cos x)1/ sin x

lim

lim (cos 2x)3/x

(2n)!!

16)

;

17)

nlim

sin[π√n2 + 1].

nlim (2n + 1)!

→∞

21.3. Вычислить предел функции

f(x) = x sin x − 1

вточке x0 = или показать, что он не существует.

21.4.Записать асимптотическую оценку функций

	√								− 1
1) f(x) = x + arctg			;	2) f(x) =		√		+ 1
		x					x
	3				3

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

21.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) − 4x2 − 7 непрерывна в точкеточке.x0 = 1; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

21.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	x2 + 1,			если 0 x < 1;	2) y = 1 3−1/(x−2);	3) f(x) = x + 1 .
	3x + 1,			если x < 0;
		−		если x 1;	−
		−
	2		x,				x

21.7. Найти производные следующих функций:

√

1) y =

− 6) 4 + x

; 2) y = ln

;

3) y =

;

sin 5x

1 x

−a8+ tg x

;

tg 3x

;

arctg √x

−

+ 2)

y = (x4

+ 5)tg x

y =

−

− cos ln 5x

7) y =

;

8) y = x

;

9) y = (x + 5) sin

x − 8;

;

tg x

= e ;

10) y = 1 + e

11) ln x + e−

12) x tg y + 3 sin x = x

;

13)

xy−

14)

15)

x = √1 − t2,

x = arccos t

x = ln(2 − t),

y = t + 3;

y = √t2

y = t(t + 1).

1 + arcsin 1 ;

−

21.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y = (ex + 3)4

−

2) y = √

arctg

3x − 1

cos x, x

= 0;

, x

= 0.

Задания для самоконтроля		313
21.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:
		π

1) y = 1 − 3x − x2 + arcsin √x, x0 = 0;	2) y = sin2 x − ln(1 + cos x), x0 =		.
		6

21.10. Найти точку на кривой y = x2/4 − 7, нормаль в которой параллельна прямой

y= −x/8 + 1.

21.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

sin ln

√

1) y = log3(x

− sin x) +

;

2) y = arctg(sh x) + ln

;

3) y = 3

21.12. Вычислить приближенно y = 4 2x − sin

πx

, x = 1,02.

удовлетворяет уравнению y

= y2.

21.13. Показать, что функция y = −

3x + c

21.14. Найти производные указанных порядков

1) y = (1 − x − x2) − ex−1, y =?;

2) y = 45x−1, y =?; 3) y = ln(5x + 2), y(n) =?;

y = sin t,

dx2

'y = t ,

dy2

= ln2 t,

4) x = 5 − cos t,

d y

=?;

d x

=?.

21.15. Найти экстремумы функций

1) y = x(x − 1)2(x − 2)3; 2) y = 2x + 3 3 (2 − x)2; 3) y =

ln x

21.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x4 − 8x2 + 3, [−1; 2];

2) y = x2

+ 7 , [−10; −3]; 3) y = x2 ln x,

; 1 .

+ 3

21.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = e1/(2−x); 2) y =

x2 ;

3) y = 3√x2+2x; 4) y = nlim

, x 0.

1 + xn +

→∞

+ 1

21.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) =		.
	(x − x + 2
	1)2(x + 1)

21.19.В данный шар радиуса R вписать конус с наибольшим объ¨емом.

21.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) x→0		3 −	3			x→0	x→∞
lim	ctg	x	cosec	x	;	2) lim ctg x ln(x + ex);	3) lim (1 + ex)1/x.

21.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞; −2[ ] − 2; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = −2;

3)горизонтальные асимптоты: y = 0;

4)наклонные асимптоты: нет;

5)стационарные точки: x = −3, x = −1, x = 2;

314	Индивидуальные задания
6)	точки, где y = ∞: x = −4, x = 0;
7)	интервалы монотонности: а) возрастания: ] − 4; −3[, ]0; 2[; б) убывания: ] − ∞; −4[,
	] − 3; −2[, ] − 2; 0[, ]2; ∞[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −4[, ] − 4; −2[, ] − 1; 0[,

]0; 3,5[; б) вогнутости: ] − 2; −1[, ]3,5; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−4) = −2; y(−3) = 1; y(−1) = 1; y(0) = −2; y(3) = 2; y(3,5) = 0,5.

21.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = 4/(x − 7) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 3. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 3. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 22

22.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim

1 − 2n2

−

2; 2)

lim

6x2 − 75x − 39

−

81.

→∞

n2 + 3

→−

1/2

x + 1/2

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

22.2. Найти пределы

√

2n+1 + 3n+1

→∞

3 5

1 + 2n

−

→∞

22 + 3

;

→∞

+ 2

n);

+ ... +

lim

lim (

lim

;

− 3x + 2

− 5x + 1

lim

5x + sin πx

;

lim

;

lim

;

tg(πx/3)

x→1

x→1 x4

−

4x + 3

x→∞

3x + 7

lim

√

−

√

sin 5x

−

;

1 + x

1 − x

;

lim

(

x(x + 1)

→

0 sin 4x ;

→

∞

9) x

→

→ 1 − cos 3

→

sin(1

−

ctg2 x

→∞

x 3

10)

x sin x

11)

x 1

;

12)

x/2

;

√x

lim

−

lim

−

x→0

sin

√x

x→0

− cos x

x→∞

13)

lim

ln(1 +

√

)

;

14)

lim

;

15)

lim (x + 2x)1/x;

16)

nlim

17)

nlim

cos[π√n2 + n].

5 · · ·

(3n

−

1) ;

→∞

· · ·

→∞

(2n

+ 1)

22.3. Вычислить предел функции

f(x) = (x − 1)2 exp x + 1

вточке x0 = −1 или показать, что он не существует.

22.4.Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = arcsin( 9 + x2 − 3); 2) f(x) = ln(1 + x2)

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

22.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −5x2 − 8 непрерывна в точкеточке.x0 = 2; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

22.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =

если 0 < x 1;

2) y =

1/(x+3) ;

3) f(x) = x + 3 .

+ x,

если x 0;

3 + 2−

|x|

0,−

если x > 1;

22.7. Найти производные следующих функций:

Задания для самоконтроля

315

√

(2x

− 1)

1 + x

cos

y =

;

y = ln

;

y = cos ln 2

;

x3 + 1

√

1 − ax

−

3 sin 6x

√

ln sin √

cos3(1 x)

4) y = (x + 2

+ 2) arctg

x + 2

;

5) y = (sin

;

y = 2

−

;

arctg √

4 ch4 x

;

x + 1

;

y =

sh x

y = xsin2 x

y = x ln

x − 1

10) exy − x2 + y2 = 0;

11) x2 + y2 ln x − 4 = 0;

12) cos

+ tg2 x = 2 − y3;

13) x = t − sin t,

14)

x = sh1 t,

15)

x = ln t,

y = 1

y =

+ √

cos t;

;

1 − t

−

22.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y = sin α ln sin(x − α), x0 = 2α;

2) y =

arctg x, x0 = 0.

1 + x2

22.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1				4x +		1
								= 0; 2) y = 2 + ex + 2 e2x + ex, x0 = 0.
1) y =	√		arctg	√			, x0
		2			2

22.10. Найти точку на кривой y = −3x2 + 4x + 7, нормаль в которой параллельна

прямой x − 20y + 5 = 0.			2	дифференциалы функций
22.11. Найти первый dy и второй d y				дифференциалы функций
	x			2
	x			2	−√x; 3) y = tg(2 cos 1 − x2).
1) y = arctg		;	2) y = (ln 2)x
1) y = arctg	3	;	2) y = (ln 2)x
				√
				√		2x	2	+ x + 1, x = 1,016.
22.12. Вычислить приближенно y = 1/						2x		+ x + 1, x = 1,016.

22.13.Показать, что функция y = 5e−2x + 13 ex удовлетворяет уравнению y + 2y = ex.

22.14.Найти производные указанных порядков

1) y =

sin 2x, y =?; 2) y = ex+x

+ 2x, y =?;

3) y = √e7x−1, y(n) =?;

dy2

=?;

5) y = ln t2

, dx2 =?.

4) y = 1 + t2,

x = arctg t,

d2x

x = et,

d2y

22.15. Найти экстремумы функций

3xx3

; 3) y = x2 1 − x√x.

1) y = x3e−x; 2) y =

+ 1

22.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = 3x − x3, [−2; 3]; 2) y = x2e1/x,		4 ; 1 ;		3) y = x + x, [−10; −0,1].
		1		1

22.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = (1 − x2)3; 2) y = x2 − 1 ; 3) y = x2/3e−x2/3; x2 + 2

4) y = lim (1 + x)(1 + x2) · · · (1 + x2n), |x| < 1.

n→∞

316	Индивидуальные задания

22.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

2x − 1 f(x) = ln 4x − 8 .

22.19.Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объ¨ем при данной полной поверхности S.

22.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

x→0	2x2		x(e2x	− 1)	x→1	1 − √2x − x2		x→0
1) lim	x − 1	+	1		; 2) lim	1 − x + ln x	;	3) lim xx.

22.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞; 2[ ]2; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = 2;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: y = −x/3;

5)стационарные точки x = −1, x = 1, x = 3;

6)точки, где y = ∞: x = 4;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ]−1; 1[, ]1; 2[, ]3; 4[; б) убывания: ]−∞; −1[,

]2; 3[, ]4; ∞[;

8) интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −2[, ]0; 1[; б) вогнутости:

] − 2; 0[, ]1; 2[, ]2; 4[, ]4; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−2) = 0; y(−1) = −2; y(0) = 0; y(1) = 2; y(3) = −2, y(4) = 0.

22.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = ln(5 + x2) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 23

23.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim	n 1	;	2) lim	2x2 − 9x + 10	=	1	.
				2x − 5		2
n→∞ 3n − 1 3			x→5/2

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции. 23.2. Найти пределы

1 + 1

+ ... +

√

nlim n(

5 + 8n

− 2n);

nlim

;

→∞

√

→∞ 1 + 4 + . . . +

lim

x −

x2 + 3

;

lim

x2 − 2x

;

x→1

cos(πx/3)

x→2 x3

−

7) x→1

√x2

+ 3 − 2 ;

8) x→+∞

−

;

lim

− 1

lim

√x2

x + 1)

10) lim

sin x − cos x

;

11) lim

1 − cos 2x + tg

;

x→π/4

1 − tg x

x→0

x sin x

13) lim

ln(1 +

√

sin √

)

;

14) lim (1 + 3 tg2 x)ctg2 x;

x→0

16) n→∞

· ·2·n

−

;

lim

(5n

lim

1 − 2 + 3 − ... − 2n

;

n→∞

√n3 + 2n + 2

lim

3x2 + 2x − 1

;

x→∞

6x2

−

9) lim

sin

(x/2)

;

x→0

12)

1 + x2

(x2+1)/x

;ctg3 x

x→∞ 2 + x2

lim

15)

x→0

1 + sin x cos βx

;

lim

1 + sin x cos αx

√

17)

lim esin[π

+1].

n→∞

Задания для самоконтроля	317
23.3. Вычислить предел функции

f(x) = sin

3x − 1

3x + 1

вточке x0 = −1/3 или показать, что он не существует.

23.4.Записать асимптотическую оценку функций

√	3	5
		√
1) f(x) = ln(1 +	x );	2) f(x) = 1 + x − 1

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

23.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −2x2 − 5 непрерывна в точкеточке.x0 = 2; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

23.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	2x,	если 1 < x 3;	2) f(x) = 9−1/(7−x); 3) y = \|x\|.
	x2 + 1,	если x 1;
	x + 2,	если x > 3;
	x + 2,	если x > 3;		x

23.7. Найти производные следующих функций:

y =

2x2 − x − 1

3√2 + 4x ;

arcsin 2x

;

y =

√

−

4x2

tg x

;

y =

√

2 − tg x

10)

y =

− y5 + x4;

cos y

13)

y = 1 + sin 2t;

x = cos2 t,

2) y = ln a2 + x2 ; a2 − x2

√

5) y = (sin x)1/x;

8) y = xarcsin x;

11)ln(x − y2) + sin xy = 0;

14)	x = arctg t,
	y = ln(t + √1 + t2);

3) y = − cos2 24x ;

48 sin 48x

√

6) y = (ln 2) 1−3x;

√

9) y = x arcsin 1 − x2;

12)	2y/x − 2x = 3;
	y = t + 7.
15)	x = t2 − 8t,

23.8.Найти значения производной в точке x = x0:

1)y = 3 sin x, x0 = 0; 2) y = x3 arcsin x, x0 = 0. cos2 x

23.9.Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0

1) y = arctg(3x − 2), x0 = 1; 2) y =	1	(ex − 3), x0	= 0,

	2

23.10.Найти точку на кривой y = 3x2 − 4x + 6, нормаль в которой перпендикулярна прямой 8x − y − 5 = 0.

23.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

1) y = x cos3	1	; 2) y = x2 arctg	x2 − 1; 3) y = earctg √1+x.
	5x − x

23.12. Вычислить приближенно y = x7, x = 2,001.

√

23.13. Показать, что функция y = 2 + c 1 − x2 удовлетворяет уравнению yy = x − 2x3.

318					Индивидуальные задания
23.14. Найти производные указанных порядков
1) y = cos 2x − 3 sin 2x, y =?;	2		(1−x), y =?;						x
	2) y = 4ln			3) y =						, y(n) =?;
	2) y = 4ln			3) y =				2(3x + 2)		, y(n) =?;
4) y = 1/5t,	dy2 =?;	5) y = ctg 5t,				dx2	=?.
x = ln 2t,	d2x		x = sin 5t,			d2y
23.15. Найти экстремумы функций
				16
1) y = x3 − 12x; 2) y = 3 1 − x2; 3) y =				16					.

					x2(x − 4)

23.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = 2 sin x+cos 2x, 0;

; 2) y =

x − 2

, [

3; 3];

3) y =

7x2+24+1, [

5; 2].

−

4 −

3 −

x2 + 5

−

23.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = xe2x−1; 2) y =

3x2 − 7x − 16

;

3) y =

ln x

;

4) y =

lim cos

cos

· · ·

cos

x2 − x − 6

n→∞

23.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = x ln

4x − 1

4x − 8

23.19. Найти наибольший объ¨ем конуса, имеющего данную образующую l.

23.20. Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

x→1/2

−

x→1 ln x − x − 1

x→0

−

lim x1/(x

1).

lim sin(2x

1) tg πx;

lim

;

23.21.Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследо-

вания:

1)область определения X =] − ∞; 0[ ]0; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = 0;

3)горизонтальные асимптоты: y = 0;

4)наклонные асимптоты: нет;

5)стационарные точки: x = −3, x = −1, x = 1, x = 3;

6)точки, где y = ∞: x = −2, x = 2;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ]−3; −2[, ]−1; 0[, ]1; 2[, ]3; ∞[; б) убывания: ] − ∞; −3[, ] − 2; −1[, ]0; 1[, ]2; 3[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ]−∞; −4[, ]4; ∞[; б) вогнутости

] − 4; −2[, ] − 2; 0[, ]2; 4[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−4) = −1/2; y(−3) = −1; y(−2) = 3; y(−1) = 0; y(1) = 0; y(2) = 3; y(3) = −1; y(4) = −1/2.

23.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = xe3x и вы-

Задания для самоконтроля

319

Вариант № 24

24.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

4 + 2n

−

;

lim

10x2 + 9x − 7

−

19.

−

→∞

→−

7/5

x + 7/5

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

24.2. Найти пределы

√n2 + 1 − n

lim n2[

√

n! + (n + 2)!

lim

n(n4

lim

+ 2x

n + 2

;

−

− ;

→∞

3 + 2x2

→∞

2−

1)! + (n + 2)! ;

1 + tg x

;

−

;

lim

+ 3x + 2

(x −

x→π/3 cos x + sin x

x→−1

x→∞

5x2

;

√

x→0

+ 2

;(x+1)/2

√x2 + x − √x;

1 − x2

x→0

sin x

lim

1/x

lim

→

−

→∞

10)

lim

tg x − sin x

;

11)

lim

1 −

2 cos x

;

12)

lim

1 + x

;

x sin2 x

π/2

13)

n x−

;

14)

x→0

− ln(1 +

√

;

15)

x→0

x→∞ cos √x ;

lim

lim[1

√x)]x/ sin

lim

16)

;

17)

[π√

n→∞

· ·3·n

n→∞

(4n + 1)

ecos2

lim

+n]

24.3. Вычислить предел функции

f(x) = x2 exp x − 1

в точке x0

= 1 или показать, что он не существует.

24.4. Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = arcsin(√x);

2) f(x) =

− 1

1 + √x

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

24.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −3x2 − 6 непрерывна в точкеточке.x0 = 1; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

24.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =

если 0 x < 1; 2) y =

1/(x 1) ;

3) y = |x| .

sin x,

если x < 0;

1 − 3−

−

x − 1

если x 1;

−

24.7. Найти производные следующих функций:

1) y =

x4 − 8x2

;

2) y = ln(√

+ √

);

3) y =

cos 5 sin2 2x

;

1 + x

2 cos 4x

2(x

− 4)

√

(ln cos 2x)/4

;

arctg

;

4) y = √1 − x2 − x arcsin √x;

5) y = (cos 2x)

6) y = 6

1 +

√

tg x

;

8) y = (arcsin x)2x−3;

9) y = ln x sin3(1 − 2x);

7) y =

−

√

tg x

10) x2 sin y + y3 cos x − 2x = 0;

11) cos(x − y) − 2x + 4y = 0;

12)

exy +

= x5;

13)

y = arcsin

√1

t2;

14)

y = sec t;

15)

'y = t3 .

−

x = t2,

− 3

x = ln(1 − t

x = sin t,

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251.12 Mб0cvicebnice_statistika_ii.doc
#
21.09.201918.53 Mб8dachet element.doc
#
29.05.20153.5 Mб128dejatelnos (1).pdf
#
21.09.201964.51 Кб1Delphi отчёт.doc
#
15.11.2019158.72 Кб4Diagramma_otchet.doc
#
29.05.20153.1 Mб62DIF_calc_2013.pdf
#
01.05.2025277.5 Кб0diplom.doc
#
29.05.20152.58 Mб52Diplom.docx
#
29.05.20155.95 Mб20Diplom_na_pechat.doc
#
29.05.2015753.61 Кб69DisMathTPU.pdf
#
29.05.2015753.84 Кб69DisMathTPU_new.pdf