Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

DIF_calc_2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

270

Индивидуальные задания

3.2. Найти пределы

√

1 + 1 +

+ ... +

− 1

→∞ 3

→∞

n + 2 + 1

1 2

lim

n + 1 +

;

lim

n(n

1)];

lim

;

√

−

+ 1 + 1

+ ... + 1

4) lim

1 + cos(π/x)

;

lim

+ 4x − 5

;

lim

7x + 4x − 1

;

8x2 + 2x + 1

x→2

tg(π/3x)

x→1

2x4 + x3 − 3

x→∞

√

lim

x + 1 −

x − 1

;

lim

1 − x −

1 + x

;

lim

1 − cos 4x

;

x→+∞

sin

x→0

1 − cos 8x(x2

1)/3x

→

1 −1/x2

→∞

−

10)

lim

x arctg x

;

11)

lim

2 sin(πx/2)

;

12)

lim

+ 3

;

13)

14)

;

15)

;

x→e sin(x − e) ;

x→0

1 + sin x cos 3x

ln x − 1

tg x

1 + sin x cos 2x

16)

lim

;

17)

lim

sin x3

n→∞

(n!)2

n→∞

lim

(2n − 1)!!

lim sin2[π(n2 + 1)1/2

]

3.3. Вычислить предел функции

x f(x) = x cos x − 5

в точке x0 = 5 или показать, что он не существует. 3.4. Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) =	√x2	− √x3; 2) f(x) =
1) f(x) =	√x2	− √x3; 2) f(x) =	x2	+ 1	− 1
	3

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

3.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −4x2 − 8 непрерывна в точкеточке.x0 = 2; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

3.6.Исследовать на непрерывность функции

1) f(x) =	x2,	если 0 < x < 2;	2) y =		1/(x 3) ;	3) f(x) =		2 .
	x − 1,	если x 0;		21/(x−3)				4
	2x,	если x 2;
	2x,	если x 2;	1 + 2		−		x	− x

3.7. Найти производные следующих функций:

y =

x + x2 − 2

√

4 ;

2 1 − x

y = arcsin

x − 2

;

√

(x − 1)

;

y =

arctg(sh x) −

ch x

10)	x arctg y = 2y tg 2x;
13)	x = 2(t − sin t),
	y = 4(2 + cos t);

	√			cos 6x
2)	y = ln arccos 1 − 4x;	3)	y =		;
				sin2(1 − x)
5)	y = (tg 6x)1−x;	6)	y = (sin 2)ln(1−5x);

8) y = (x sin x)ln x;		9) y
11)	e−xy + ln y − x2 = 0;	12)
	x = (1 + sin2 t)2,
14)	y = ctg t − 8;	15)

= x arcsin 2x + 1 ; 3

sin x − 7 = x3y; y

x = ln(1 + t3), y = et − 1.

3.8. Найти значения производной в точке x = x0:
1) y = 2x sin x2 − 4, x0 = 0; 2) y = arcsin √x + 21 ln 11	+− xx, x0 = 0.

Задания для самоконтроля								271
3.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:
1						1
1		1 − 4x3 + ln(1 +	1	− 4x2), x0	=	1	; 2) y = β sin βx + α cos αx, x0	= 0.
1) y =
1) y =	x					4

3.10.Выяснить, в какой точке кривой y = x3/3−x2/2−7x+9 касательная составляет

сосью Ox угол −π/4.

3.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

y = cos x ln tg x − tg	1	;			y = 1 − x sin2 x +	1	; y = esin x−8.

	x					3x
	√
3.12. Вычислить приближенно	√		x	2	+ x + 3, x = 1,97.
3.12. Вычислить приближенно			x		+ x + 3, x = 1,97.

3.13.Показать, что функция y = 2/ cos x удовлетворяет уравнению y − tg xy = 0.

3.14.Найти производные указанных порядков:

1) y = sin(ln √

) + cos ln x, y

=?;

2) y = 3cos x−1, y =?;

3) y = sin(3x + 1) + cos 5x, y(n) =?;

dx2 =?.

y = sin 2t,

dy2 =?;

y = te−t,

x = cos t + sin t,

d2x

x = t2e−2t,

d2y

3.15. Найти экстремумы функций

4√

1) y = (1 + x)ex

; 2) y =

; 3) y = 2x3 − 3x2.

x + 2

3.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

−

+ 5

−

1) y = 3x4

16x3 + 2, [ 3; 1]; 2) y =

− 2

, [ 2; 3];

3) y =

sin x,

π; 2π .

3.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = ln(x2 − 2x + 2); 2) y = x +

;

3) y = x +

;

x2 − 1

4) y = nlim (1 + x)(1 + x2)(1 + x4) · · · (1 + x2n), |x| < 1.

→∞

3.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = (x

−

1) ln

2x − 2

2x − 1

3.19.В окружность радиуса r вписан прямоугольник. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

3.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

x→1		−	x→a xn − an			x→0 x
1) lim	[ln x ln(x		1)]; 2) lim	xm − am	;	3) lim	1	tg x.

3.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − 3, 0[ ]0; 2[;

2)вертикальные асимптоты: x = −3, x = 2;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: нет;

272	Индивидуальные задания

5)стационарные точки: x = −2, x = −1, x = 1;

6)точки, где y = ∞: x = 0 (x → ±∞);

7)интервалы монотонности: a) возрастания: ] − 3; −2[, ] − 1; 0[, ]0;2[, ]1;2[; б) убывания:

(−2; −1);

8)интервалы выпуклости и вогнутости: a) выпуклости: ] −3, −1,5[, ]0;1[; б) вогнутости: ] − 1,5; 0[, ]1;2[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−2) = 2; y(−1) = 1; y(−0) = 2; y(+0) = 0; y(1) = 1.

3.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = x/(x + 5) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 3. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 3. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3

вформе Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 4

4.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim

5n + 1

;

lim

6x2 − x − 1

−

10n

−

→∞

3 2

→−

1/3

3x + 1

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

4.2. Найти пределы

√

3n + 1

(3n 1)! + (3n+ 1)!

n→∞

;

n→∞

n + 8(

n + 2

−

;

n→∞

;

3n − 2

(3n)!(n − 1)

lim

√

lim

−

+ 1

;

− 2x − 8

;

− sin(πx/2)

;

lim

x→∞

2x + 3

x→2

x2 − 4

x→1

cos(πx/3)

√x2 − 8

− 1

;

lim (√

tg3 x − 3 tg x

lim

√x2

x→+∞

−

;

π/2 cos(x + π/6) ;

→

−

− 3

→

√1 + tg x − √1 − tg x

10)

lim

cos x − cos

;

lim

;

12)

lim

n[ln n

−

ln(n + 2)]

};

→

x sin 2x

11) x

→

{

n + 1 (n+1)

→∞

n + 1

arctg6 √x

13)

lim

2 + x

2x−1;

14) lim

1 + ln

1/x ;

15)

lim

1 + tg x

;

x→∞ 1 + x

x→0

x→∞ 1 + sin x

16)

;

17)

lim cos[π√

lim

n2 + n

n→∞ n + 2

→∞

4.3. Вычислить

предел

функции

f(x) = ch x + 2

в точке x0 = −2 или показать, что он не существует. 4.4. Записать асимптотическую оценку функций

3 √

1) f(x) = 1 − cos(sin x); 2) f(x) = x + 1 − 1

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

4.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −3x2 − 9 непрерывна в точкеточке.x0 = 3; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

4.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	x2,		если 0 < x < 1;	2) y =		1/(2x		1)	; 3) y =	2 .
	x	− 1,	если x < 0;		1	+ 41/(2x−1)				1
	2,		если x 1;
	2,		если x 1;		1	− 4	−			x(x − 1)

4.7. Найти производные следующих функций:

Задания для самоконтроля

273

y =

√

;

y = ln3(1 + cos 5x);

1 − 3x5

cos √

;

y = arctg x +

y = (x

+ 1)

sin−x

;

y = (sin 3x)tg 2x;

y =

ln th

−

2 cos2 x

10) ex sin y − e−y cos x = 0;

11)

ln 2x + arctg

= 0;

y = tg

t2;

y = 2 − cos t

√1 +

13) x = √1 + t2,

14)

x = t

− sin t,

;

3) y = ctg 2 cos3 18x ; sin 36x

6) y = πarctg(x+5);

√

9) y = x arcsin x;

12)exy + 3xy = 5;

15)x = 4t2 + 1 ,y = arctg 3t.

4.8. Найти значения производной в точке x = x0:

y = ln cos x, x0 = 0; y = x + x2 + 1, x0 = 0.

4.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

	x4	3					2	arctg ex, x0
1) y =		arcsin		, x0	= 3;	2) y =			= 0.
	8		x				3

4.10.Выяснить, в каких точках кривой y = x3/3 − 5x2/2 + 7x + 4 касательная составляет с осью Ox угол π/4.

4.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

1) y = ln(x2 − 4x) + cos x; 2) y = x − ln x2 + 5; 3) y = 5ln sin(x+3).

√
	x	2	+ 5, x = 1,97.
4.12. Вычислить приближенно y =

4.13.Показать, что функция y = ln(e + ex) удовлетворяет уравнению y = ex−y.

4.14.Найти производные указанных порядков

1) y = ln(1		−	x), y =?;	2) y
4)	y = 1 + t,			dy2
	x	= ln(1 + t),		d2x

4.15.Найти экстремумы функций

1)y = x3 − 6x2 + 9x − 4;

= e1/x, y =?; 3) y = 23x+5, y(n) =?;

	x = arcsin 2t,	d2y
=?; 5)	y = t,			=?.
		dx2
2) y = (x + 1)e−x; 3) y =			x2	+	8	.
		2			x2

4.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x3

4 − x2

1; 3]; 3) y = √

−

3x + 1,

; 2 ; 2) y =

, [

−

4x, [

1; 1].

4 + x2

−

4.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = 2x

arcsin x;

2) y ln

x − 1

;

3) y =

; 4) y = lim cos

cos

−

x − x3

· · ·

x + 2

→∞

2 4

4.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = 2x2 − 1 e1/(x−1). x + 1

274	Индивидуальные задания

4.19.Найти высоту конуса наименьшего объ¨ема, описанного около шара радиуса r.

4.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) x→1 cos(πx/2) ln(1 − x)		x→0		x→π/2 ctg x −		2 cos x
lim	1	; 2) lim	(ctg x)sin x;	3) lim	x	π	.

4.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞, ∞[;

2)вертикальные асимптоты: нет;

3)горизонтальные асимптоты: y = 0 (x → −∞);

4)наклонные асимптоты: y = x − 2 (x → ∞);

5)стационарные точки x = −1, x = 1, x = 3;

6)точки, где y = ∞: x = 0, x = 2;

7)интервалы монотонности: a) возрастания: ]−∞; −1[, ]0;1[; ]3, ∞[; б) убывания: ]−1; 0[, ]1;2[, ]2;3[;

8) интервалы выпуклости и вогнутости: a) выпуклости: ] − 2, 0[, ]0;2[; б) вогнутости:

] − ∞; −2[, ]2; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−2) = 1; y(−1) = 2; y(0) = 0; y(1) = 4; y(2) = 3; y(3) = 2.

4.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = cos 3x и вычис-

лить е¨ значение в точке x0 = π/4. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = π/4. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 5

5.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim

4n − 3

= 2;

lim

2x2 + 15x + 7

−

13.

2n + 1

→∞

→−

x + 7

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

5.2. Найти пределы

lim √

(√

√

1+ 4+ ... + (3n− 2)

(2n+ 1)!+ (2n+ 2)!

lim

n + 2

(2n+ 2)! ;

;

→∞

(2n+ 3)!

−

2) n

→∞

−

;

3) n

→∞

√

+ n

+ 1

lim

x + sin x

;

lim

− x

− 40

;

lim

+ 3x − 1

;

→

π/6 1

tg2 x

x→2

x→∞

2x3 + x2

−

−2

3−

sin 4x

lim

x − 4

lim

;

3x + 2 ;

x→2 1 −

√x − 1

;

x→∞

3x2 − 4 −

9) x→0 tg x − sin x3x+1

10) lim

cos 2x − cos 3x

;

11)

lim

sin x − cos x

;

12)

lim

2x + 3

;

→

π/3

cos 2x

→∞ 2x + 1

1 + x3

1/ tg2 x

13)

lim

− 1

;

14)

lim

;

15)

lim

arctg x

tg x

1 + x7x

x→0

x→∞ π

;

7 · 13 · · · (6n + 1)

16)

;

17)

sin[π√

lim

+ 1]

n→∞ 1 · 8 · 27 · · · n3

n→∞

5.3. Вычислить предел функции

6 f(x) = x sin x2

в точке x0 = 0 или показать, что он не существует.

Задания для самоконтроля				275
5.4. Записать асимптотическую оценку функций
1) f(x) = 3				2) f(x) = √		− cos x
	1 − √		− 1;
		x			cos x

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

5.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −4x2 − 6 непрерывна в точкеточке.x0 = 1; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

5.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	x2	,	если 0 x < 1;	2) f(x) = 1 +	1/(x 3) ; 3) y = 1 +			.
	−x,		если x < 0;		1		x
	1,		если x 1;
	1,		если x 1;	2		−	\|x\|

5.7. Найти производные следующих функций:

1) y = 3 3

(x − 1)2

;

x + 1

y = arctg

√

− 1

1 + x2

;

1 − 8 ch2 x

y =

;

10)

4 ch4 x

e−x tg x − ey = cos x;

x = √

13)

2t − t2

y = arcsin(t − 1);

2)y = ln arccos √x ;

5) y = (sin x)5−x;

8) y = (arctg x)ln √x; 11) y ln(y − x) = exy;

14) x = cos(1 − t), y = sin 2(1 − t);

5.8. Найти значения производной в точке x = x0:

3)	y =	sin3 x	;
		5 cos 5x

6)	y = eln cos 3x;
9)	y = x arctg3		1		;
			5x −
				x

12) sin y + cos x = y2 − 3;

15)'x = t3 − 1t , y = t2 − 5t.

1				2x +		1
1) y = ln(1 + 3x), x0 = 0; 2) y =	√		arctg	√			, x0	= 0.
		2			2

5.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1) y = x3 arccos x −	x2	+ 2	, x0 = 0; 2) y = 3(2 + sin x) cos x, x0 = 0.
		3

5.10.Найти точки на кривой y = x3/3 − 9x2/2 + 20x − 7, в которых касательные параллельны оси Ox.

5.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

1) y = ex(cos 2x − sin x); 2) y = 25x ctg 2x; 3) y = x ln(1 − x) − x1 .

	3
5.12. Вычислить приближенно y = √x3 + 7x, x = 1,012.
5.13. Показать, что функция y = (x2 + 1)ex2		удовлетворяет уравнению y				−	2xy =
2xex2 .						−
5.14. Найти производные указанных порядков
1) y = x + sin 2x, y =?; 2) y = sin3(1 − 2x2), y =?; 3) y =				4 + 15x	, y(n) =?;

				5x + 1
4) x = 2(t − sin t),	dy2 =?; 5)	y = ln cos t,	dx2 =?.
y = 4(2 + cos t),	d2x	x = tg t,	d2y

276				Индивидуальные задания
5.15. Найти экстремумы функций
			x3
1) y = x3	− 6x2	+ 12x; 2) y =		; 3) y = x3(x + 2)2.
			x2 + 3

5.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x3 − 12x + 7, [0; 3];

ln x

2) y =

, ]0; ∞[;

3) y = x +

, [0,01; 100].

5.17. Исследовать функции и построить их графики

−

n→∞

x2n

1 − x3

3) y =

;

1) y = 3 (x2

8)2; 2) y

;

4) y = lim

1 +

5.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

x + 2

f(x) =

x(x − 1)2

5.19.Найти наибольшей объ¨ем цилиндра, полная поверхность которого равна S.

5.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) lim	ex − 1 − x3	;	2) lim (tg x)2x−π;	3) lim (arcsin x ctg x).
	sin6 2x
x→0			x→π/2	x→0

5.21.Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследо-

вания:

1)область определения X =] − ∞; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: нет;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: y = x (x → ±∞);

5)стационарные точки x = −1, x = 1;

6)точки, где y = ∞: x = −2, x = 2, x = 3;

7)интервалы монотонности: a) возрастания: ] −2; 0[, ]2;3[; б) убывания: ] −∞; −2[, ]0;2[,

]3; ∞[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ]2,5; 3,5[; б) вогнутости: ]−∞; 0[, ]0;2,5[, ]3,5; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−2) = 3; y(0) = 5; y(2) = −3; y(3) = −1; y(5) = −4,5.

5.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = 102x−1 и вы-

числить е¨ значение в точке x0 = 3. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 3. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 6

6.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim

2n − 1

−

;

2) lim

2x2 − 21x − 11

= 23.

→∞

−

→

−

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

Задания для самоконтроля

277

6.2. Найти пределы

lim

n! + (n + 1)!

; 2)

lim

(n + 1)3

− n(n2 − 3)

; 3)

lim

1 + 2 + 3 + ... + n

;

n→∞ 2n! − 3(n + 1)!

n→∞

√n

n→∞

√9n4 + 1

− 4

;

√

+ 1 + sin(πx)

;

− 4x + 2

;

lim

3 tg(πx/3)

6x2 + 2x − 4

x→2 x2 − 3x + 2

x→1

x→∞

2x − 2

;

(√

5x);

lim

1 − x sin x − cos 2x

;

lim

2x2

−

x→1

√26 + x

−

x→±∞

x→0

sin4 x

→∞log4

→

→∞

−

5x2

(2x + 1)

arcsin 2x

10)

lim

sin 2x

;

11)

lim

;

12)

lim

− x

;

tg(πx/2)

13)

;

14)

−

;

15)

;

x 0

lim

lim (1

ln cos x)1/ tg x

lim (ex + x)1/x

→

16)

→∞

· 9

· · ·

(2n + 5) ;

17)

→∞

· · ·

− 2)

(3n

cos[π√

]

lim

n2 + n

6.3. Вычислить предел функции

f(x) = x sin πx − 1 x + 1

вточке x0 = −1 или показать, что он не существует.

6.4.Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = 4 x2 + 1 − 1; 2) f(x) = 1 − cos 2x + tg3 x

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

6.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −5x2 − 7 непрерывна в точкеточке.x0 = 1; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

6.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y = sin x,

если 0 x < π ;

2) y = 3−1/(1−2x)

если x <

если

;

6.7. Найти производные

следующих функций:

√

y =

(x − 3) 2x − 1

;

y = ln ln2 ln 5x

−

;

2x + 7

√

4) y = arcsin

x 2

;

5) y = xtg x+3;

1 + x

tg x;

8) y = (ln x)3x;

y =

−

sh x

3 ch x

10) x2 + y3

;

11) y ln x − x ln y = x + y;

= cos

13) y = t − t2;

14)

y = arccos t;

1 − t

x = t2

+ 5,

x = arcsin √

6.8. Найти значения производной в точке x = x0:

; 3) y =	1 + x
		.
	\|x\|

3) y = 3 ctg 5x; sin3 5x

6) y = 4x ctg x;

9) y = (x + 1) tg ex;

12)	e−xy +	x	= y2 − 4y;

		y
15)	y = et.
	x = ln2 t,

1) y =

3 sin 2x − 2 cos 2x

, x

;

2) y =

ln(1

−

x2) + sin 2, x

= 0.

ln3 3 + 4

278	Индивидуальные задания

6.9.Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1)y = x arcsin e−3x, x0 = 0; 2) y = e2x(2 − sin 2x − cos 2x), x0 = 0.

6.10.Найти точку на кривой y = x2/4−7, касательная в которой параллельна прямой

y= 8x − 4.

6.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

√

1) y = x(sin ln x − cos ln x); 2) y = tg x − 1 − cos 6x; 3) y = ex cos 6x.

6.12.Вычислить приближенно y = x7, x = 2,002.

6.13.Показать, что функция y = (2 sin x)/x+cos x удовлетворяет уравнению x sin xy +

(sin x − x cos x)y = sin x cos x − x.

6.14. Найти производные указанных порядков
x
x		1 − x2), y =?;		2) y = x − sin2 x, y =?;
1) y = ln(x +		1 − x2), y =?;		2) y = x − sin2 x, y =?;
4) y = 3 cos t,			dy2	=?; 5) y = arctg √t2		− 1,
	= 2t sin t,		d2x	x = ln √	t,

6.15. Найти экстремумы функций

3) y = 75x, y(n) =?;

d2y dx2 =?.

1) y = 3 (x2 − 1)2; 2) y = ln2 x; 3) y = 2x2 − x4. x

6.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x3 − 18x2 + 96x, [0; 9]; 2) y =

x − 1

, [−4; 0];

3) y = cos 2x + 2x,

− 2

;

x + 2

6.17. Исследовать функции и построить их графики

4) y = n→∞ 1 + n .

1) y = ln(x

− 4); 2) y = x2 − 4 ; 3) y = xe−

lim

6.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

x + 3

f(x) =

x(x − 1)(x − 2)

6.19.Через данную точку (1;4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ей на координатных осях, была наименьшей.

6.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1)		x3	−	6x + 6 sin x	x→+0	1	1
	x→0			x5		x→0 sin x	− x
	lim				; 2) lim x6/(1+2 ln x);	3) lim		.

6.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞; −1[ ] − 1; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = −1;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: y = (x/2) − 1;

5)стационарные точки x = 0, x = −3;

6)точки, где y = ∞: нет;

7)интервалы монотонности: a) возрастания: ]−∞; −3[, ]−1, ∞[; б) убывания: ]−3; −1[;

Задания для самоконтроля

279

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ]−∞; −1[, ]−1; 0[; б) вогнутости:

]0; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−3) = −338 ; y(−2) = −4; y(0) = 0; y(2) = 43 .

6.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = ln(4 + x) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3

вформе Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 7

7.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

5n + 15

−

lim

6x2 + x − 1

= 5.

→∞

−

→

1/3

−

1/3

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

7.2. Найти пределы

√n4 + 1 + n

(2n + 1)! + (2n + 2)!

;

x + 3x

+ 2x

3)2];

;

sin x−

lim

lim [ 3

(n + 2)2

−

lim

n→∞

(2n + 3)!

n→∞ √n5 + 1

x→π/2

cos2 x ;

x→1

;

5x2 + 2x − 7

x→∞ 5x2 + 1 − 15x + 1

lim

−

lim

−

lim

2 − √

(√

x − 1

;

x − sin 4x

; x+3

lim

9x2 + 1

−

3x)

lim

x2 − 25

2x − sin 2x

x→5

x→±∞

x→0

10) lim

cos 3x − 1

;

11) lim

cos 2x + 1

;

12)

lim

1 + x

;

) + 1

1 + 2x

→

x tg 2x

→

→±∞

13)

− n

−

;

14)

ctg(π/6 + x 1/ ln(1+tg2 3x)

;

15)

1/ sin x

;

x→1

x→0

−

x→0

2 + √9 + x

2x/(1 x)

lim (2

lim

sin

lim

ln (n + 1)

lim esin[π√

16)

lim

;

17)

n2+1]

n→∞ lnn+1(n + 2)

n→∞

	7.3. Вычислить предел функции
	f(x) = x2 exp	4

		(x − 1)3
		(x − 1)3

вточке x0 = 1 или показать, что он не существует.

7.4.Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = ex − e−x; 2) f(x) = 1 + x sin x − cos 2x

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

7.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −2x2 − 4 непрерывна в точкеточке.x0 = 3; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

7.6.Исследовать на непрерывность функции

1) f(x) =	cos x,	если 0 x < π/2;	2) y = 1 + 21/(3x−2); 3) y = 1 − x .
	1,	если x < 0;
	1 + x,	если x π/2;
	1 + x,	если x π/2;		1 − \|x\|

7.7. Найти производные следующих функций:

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.09.201919 Мб9dachet element.doc
#
29.05.20153 Мб131dejatelnos (1).pdf
#
21.09.201965 Кб2Delphi отчёт.doc
#
01.07.202527 Кб2DEMO.docx
#
15.11.2019159 Кб5Diagramma_otchet.doc
#
29.05.20153 Мб71DIF_calc_2013.pdf
#
01.07.20257 Мб1diplom_mag смотрел 1.05.2017.docx
#
29.05.20156 Мб21Diplom_na_pechat.doc
#
01.05.2025278 Кб1diplom.doc
#
29.05.20153 Мб57Diplom.docx
#
29.05.2015754 Кб69DisMathTPU_new.pdf