DIF_calc_2013

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

− 1; 2) f(x) = e√x − 1

− 1; 2) f(x) = e√x − 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

3.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3331 32 33 > Следующая >>>

300	Индивидуальные задания

2)вертикальные асимптоты: x = −1, x = 1;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: y = x/2;

5)стационарные точки x = −2,5, x = 0, x = 2,5;

6)точки, где y = ∞: x = −4;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ] − ∞; −4[, ] − 2,5; −1[, ] − 1; 1[, ]2,5, ∞[; б) убывания: ] − 4; −2,[, ]1; 2,5[;

8) интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − 1; 0[, ]4, ∞[; б) вогнутости: ] − ∞; −4[, ] − 4; −1[, ]0; 1[, ]1; 4[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−4) = 0; y(−2,5) = −2; y(0) = 0; y(2,5) = 0; y(4) = 1.

15.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = xe6x и вы-

числить е¨ значение в точке x0 = 2. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 2. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 16

16.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

3n − 2

;

lim

15x2 − 2x − 1

−

→∞

−

1 2

→−

1/5

x + 1/5

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

16.2. Найти пределы

√

n2 + 1

→∞

1 + ... + (2n

−

2n + 1

→∞

−

√ 2

−

;

1];

n 2

−

lim

√

[√n

√n

lim

;

+ 1

lim

x + 3 − 2

;

lim

+ 3x

− 4

;

lim

+ 3x − 1

;

x→1 sin(πx/6) + 1

x→1

x3 + 2x − 3

x→∞

2x4 + 25

lim

√x2 − 7 − 3

;

lim

;

9) lim

sin 3x

;

x sin− x

− cos−x

→

cos 4−x

→

tg 2x

;

10)

x tg 3x

11)

π/4

tg x

;

12)

−

lim

−

lim

−

lim (1

x sin2 x)1/ ln(1+πx )

13)

→

14)

→

−

;

15)

→

−

;

x→∞ x2

(ln− 2n)n ;

x→∞

2x + 2

x→+∞cos[π√n2+1]

lim

+ 1

lim

2x −

(3x+1)/2

lim

x[ln(x

+ 1)

ln x]

16)

lim

;

17)

lim 5

n+1

n→∞ [ln(n −

1)]

n→∞

16.3. Вычислить предел функции

f(x) = x sin x − 3

вточке x0 = 3 или показать, что он не существует.

16.4.Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = 1 − cos √

; 2) f(x) =

x + √

при

→

и определить порядок первой бесконечно малой

относительно второй.

непрерывна в

16.5. Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = 3x

+ 5

точкеточке.x0 = 8; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

Задания для самоконтроля

301

16.6. Исследовать на непрерывность функции

cos x, если

π ;

1) f(x) =

если

< x < π;

2) y =

;

3) y =

1/(x

−

1 + 2

−

2 ,

если x π;

16.7. Найти производные

следующих функций:

(x − 6) cos 5x

;

(cos ln x

−

sin x)

;

y = tg √

sin 31x

;

y =

− cos2 62x

24x3

4) y =

4 + x4

− 3;

;

6) y = (sin 2)tg 5x;

arctg

y = (tg x)4e

sh x

cos 3x

2 1

7) y =

− ln

5x;

y = (x

+ 1)

;

9) y =

sin

;

1 + ch x

10) y2 − x sin2 x = x3 − 7;

11) x2 − 4xy + ln(x + y) = 0;

12)

cos2

+ y3 = 1 − x2;

√

13) x = t + ln cos t,

14) x =

15)

2t − t

x = sin

y = t − ln sin t;

y = (t − 1)3;

y = t2 − t.

16.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y = 3 sin3 xex, x0 = 0;

2) y = ln(2 − x) − √

3 − 4x, x0 = 0.

16.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1) y = 4 arcsin

, x0 = 1;

2) y = arctg(9x2 − 4), x0 = 0.

2x + 3

16.10.Выяснить, в каких точках кривой y = sin 2x нормаль составляет с осью Ox

угол π/4.

16.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

1) y = x 4 − x2 − 5 sin x; 2) y = log5(1 − x) − x5 + 8; 3) y = 4x sin ln x.

16.12. Вычислить приближенно y = √x3, x = 0,98.

1 + ex 2

16.13. Показать, что функция y = ln + 1 удовлетворяет уравнению (1 + 2

ex)yy = 2ex.

16.14. Найти производные указанных порядков

1) y = ln(1 − x), y =?;		2) y = 5tg(2+x), y =?; 3) y =				x	, y(n) =?;

						x + 1
4)	y = 5 sin t,	dy2 =?;	5)	y = t2 − 8,	dx2 =?.
	x = cos2 t,	d2x		x = ln(2t + 5),	d2y

16.15. Найти экстремумы функций

1) y = 14x − x4; 2) y = x − arctg x; 3) y = xe−x2/2.

16.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x3 − 3x + 1,	−1; 2	;	2) y = 2		+ cos x,	−2	π; −π ;	3) y = x2 + 13 , [−5; 5].
	1			x		3			x + 6

302

Индивидуальные задания

16.17. Исследовать функции и построить их графики

ln x

n 1/n

1) y = x

− 3x; 2) y =

√x

; 4) y = n→∞(1 + x

)

, x > 0.

x2 − 4

;

3) y =

lim

16.18. Найти асимптоты и построить график функции

f(x) = √ x2 . x2 − 3x

16.19.Из всех прямоугольников, имеющих периметр, равный 2a, найти тот, площадь которого наибольшая.

16.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

x→0 x		− e2x − 1	x→0		x3			3	x→0
				e	tg−6(x/2)
1) lim	1	1	; 2) lim			1	− x		; 3) lim (cos x)1/x2 .

16.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследо-

вания:

1) область определения X =] − ∞; −2[ ] − 2; ∞[; 2) вертикальные асимптоты: x = 2;

3)	горизонтальные асимптоты: нет;
4)	наклонные асимптоты: y = 21 x − 1;
5)	стационарные точки: x = −4, x = 0, x = 4;
6)	точки, где y = ∞: x = −2;
7)	интервалы монотонности: а) возрастания: ] − 4; −2[, ]2; 4[; б) убывания: ] − ∞; −4[,
	] − 2; 2[, ]4, ∞[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −5[, ]0; 2[, ]2; 5[; б) вогнутости: ] − 5; −2[, ] − 2; 0[, ]5; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−5) = 0; y(−4) = −2; y(−2) = 4; y(0) = 0;

y(4) = −1; y(5) = −2.

16.22. Записать формулу для производной n-го порядка функции y = ln[1/(4 − x)] и вычислить е¨ значение в точке x0 = 2. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 2. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 17

17.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim

7n + 4

;

2) lim

3x2 + 17x − 6

−

19.

2n + 1

x + 6

→∞

→−

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции. 17.2. Найти пределы

lim

4n3 + 2n2 − n + 1

;

− 2n + 4

n→∞ 3n2

lim

4 sin

x + 1

;

x→π/2 cos x − 1

√

− √

;

lim

x→3

x − 3

10) lim

x − sin 2x

;

→

+ sin 3x

13) lim

− cos x

;

x→0

16) lim

n→∞ n(n−1)!

2) n→∞ n(3

− n

− 2); 3) n→∞ √

4n + 3

−

;

√

2 +

... + 2n

lim

+ 3

lim

5) lim

2x − 2x + x − 1

;

lim

x + 1 + x

;

(1 + x)2

x→1

x3 − x2 + 3x − 3

x→∞

8) x

√

lim

arcsin 2x

;

lim

− 5x + 6 − x);

→

( x

9) x

→

∞

lim

1 − x2

lim

2x + 3

x+1

11)

sin πx ;

12)

2x + 1

;

x→1

x→∞

14)

lim (1 + sin2 3x)1/ ln cos x

;

15)

lim(x

−

1)e1/(x−1)

;

→

sin[π√

→

17)

lim

n2 + 1].

n→∞

Задания для самоконтроля		303
17.3. Вычислить предел функции
f(x) = 2x2 cos	x2 − 4
f(x) = 2x2 cos	(x − 2)2
	(x − 2)2
в точке x0 = 2 или показать, что он не существует.
17.4. Записать асимптотическую оценку функций
1) f(x) = ex − cos x; 2) f(x) = ln(1 +		√		)
1) f(x) = ex − cos x; 2) f(x) = ln(1 +		√	x	)
		3

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

17.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −3x2 + 8 непрерывна в точкеточке.x0 = 5; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

17.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	x,	если 0 x 2;	2) y =		1/(x 2) ;		3) f(x) =		2 .
	sin x,	если x < 0;		1 − 2		−		x	− 4
	0,	если x > 2;		1 − 2	3	−		x	− 4
					3				x

17.7. Найти производные следующих функций:

y =

+ x3 − 2

;

√

1 − x

y = arcsin

+ ctg x;

x + 1

y = 4

− ch x;

+ ch x

10)

x = y + x arctg y;

13)

y = tg2 t;

x = sin t,

2) y = log16 log5 tg x;

5) y = (sin x)x cos x;

8) y = (x4 + 5)ctg √x; 11) y = cos(x + y) +

	x = t2 + 1,
14)	y = sin(t3 − 1);

3)	y = sin tg 2 −	cos2 8x			;
		8 sin 16x
6)	y = (π)cos(6x−5);
9)	y = ex tg ln 3x;
ln x; 12) x2 + y2 = sin			x	;
			y

15)x = ln cos t, y = cos 2t.

17.8. Найти значения производной в точке x = x0:

	sin 4x ln 6 − 4 cos 4x										√
1) y =				, x		= π;	2) y =	1		arctg				3	, x		= 0.
					0			√								0
	16 + ln	2	6				2		3		2x	2	− 1

17.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1) y = x2 − 4x arcsin(x − 4), x0 = 4; 2) y = ln(ex + e2x − 1), x0 = 0.

17.10.Выяснить, в какой точке кривой y = 2x3 − 1 нормаль составляет с осью Ox угол 5π/6.

17.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

	x	−	2	−	√	cos(1	2x)

1) y = arcsin e			ln x; 2) y = ctg x		sin x;	3) y = 3	− .

√

17.12. Вычислить приближенно y = 5 x2, x = 1,03.

17.13. Показать, что функция y = tg ln 3x удовлетворяет уравнению (1+y2)dx = x dy. 17.14. Найти производные указанных порядков

1) y = sin

x, y =?;

2) y = 1 − x

+ ln x, y =?;

3) y =

, y

=?;

√

3x+1

(n)

304

Индивидуальные задания

y = arcsin t,

dy2

y = t2

+ 1,

dx2

4) x = √

d2x

=?;

5) x = t3

d2y

=?.

− t2,

− 6t + 5,

17.15. Найти экстремумы функций

1) y = x3

6x2 + 9x; 2) y =

x2 − 3x + 2

; 3) y = x√

−

x2 + 2x + 1

17.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

− 3

−

x2 + 16

−

1) y = x5

x3 + 2, [0; 2]; 2)

y =

sin x,

; 0 ; 3) y =

x −

[ 5; 5].

17.17. Исследовать функции и построить их графики

; 3) y

= x

e−

n→∞ 1 + x

x2n 1/n

1) y = x + x

; 2) y = ln x − 1

2n .

4) y = lim

17.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) =

√x3

− 3x

17.19. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 м. Какова должна быть высота воронки, чтобы е¨ объ¨ем был наибольшим?

17.20. Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

x→1	−		x→a	ln(ex − ea)		x→0 sin2 x		− ln(1 + x)
1) lim xm/(x2		1);	2) lim	cos x ln(x − a)	;	3) lim	2	1	.

17.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞; 2[ ]2; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = −2;

3)горизонтальные асимптоты: y = 1 (x → +∞), y = 0 (x → −∞);

4)наклонные асимптоты: нет;

5)стационарные точки x = −1, x = 1, x = 4;

6)точки, где y = ∞: 0;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ]−1; 0[, ]1; 2[, ]2; 4[; б) убывания: ]−∞; −1[, ]0; 1[, ]4; ∞[;

8) интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −2[, ]2; 5[; б) вогнутости:

] − 2; 0[, ]0; 2[, ]5; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−2) = −1/2; y(−1) = −1; y(0) = 3; y(1) = 0; y(3) = 1,5; y(4) = 2; y(5) = 1,5.

17.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = ln(3x − 5) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Задания для самоконтроля

305

Вариант № 18

18.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

7n − 1

= 7;

lim

5x2 − 51x + 10

= 49.

n→∞ n + 1

x→10

x − 10

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

18.2. Найти пределы

n→∞

− 3−

− 2]; 3)

n→∞

n +23

−

;

n→∞ (n +1)!− n!;

n!n

√

2 + ... + 2n

lim

+ 3n

[

lim

x sin(πx/2)

;

lim

+ 5x

+ 3x − 9

;

lim

− 3x + 2

;

+ 21x + 18

x→1

1 + tg(πx/4)

x→−3 x3 + 8x2

x→∞

x3 − x + 1

arctg 2x

;

√

1 + x

− √

1 − x

;

x(√

lim

x2 + 1

−

sin x

→

∞

;

tg x − sin x

1 − 2 cos x

10) lim

;

11)

lim

;

12) lim (1 + sin x)1/x;

x→0

x3 cos x

→

π/3

−

x→0

→

1)!!

−

→∞

(2n

→

earcsin2 √

13)

lim

− 1

;

14)

lim (2

)3/x;

15)

lim

cos

+ sin

16)

17)

n→∞

nn2 ;

n→∞

−

lim cos2[π√

]

lim

n2 + n

18.3. Вычислить предел функции

f(x) = (x + 1) exp x2

вточке x0 = 0 или показать, что он не существует.

18.4.Записать асимптотическую оценку функций

√

1) f(x) = 5 x3 + 1 − 1; 2) f(x) = ln(1 + sin x3)

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

18.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x)f(x) = −2x2 + 7 непре-

рывна в точке x0 = 6; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной точке.

18.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	x + 1,	если 0 x 4; 2) y = 31/(x−2)
	x − 3,	если x < 0;
		если x > 4;
	3 + √x,

18.7. Найти производные следующих функций:

1) y = x3√1 + x4 ;

2) y = ln

1 2x;

4 + 3x2

1 + 2x

√

−

+ 8;

5) y = (x

;

4) y = 6 arcsin√2 − x

+ 4)

√

sin

7) y = arctg

sh 2x

;

8) y = (cos 5x)x tg x;

ch x − sh x

11)

= xy;

10) 1 + y = cos(x + y) + sin α;

+ ye

y = 2 + cos t;

y = tg t − ln cos t;

13) x = t2

− sin t,

14)

= sec2 t,

x2 − 4 ; 3) f(x) = x2 − 9 .

3)	1		−	tg 10x	;
	y = cos
		x		sin3 10x
6)	y = 2x cos 5x;
9)	y = x41/cos2x;

12)	y2 − 5x3 = ln		y	− 7;

			x
	y = 5 + t2	− t3.
15)	x = t − 4,

306						Индивидуальные задания
18.8. Найти значения производной в точке x = x0:
	1	− ln(1 + ex), x0 = 0;	1				x + 2
1) y = x +			2) y =	√		arctg	√		, x0 = 0.
	1 + ex
					2			2

18.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

√			√			√
1) y = 3 ln( 4 + x −				1 − x), x0 = 0;		2) y = 1 − x ctg x +	x, x0 = π.

18.10.Выяснить, в какой точке кривой y = x3/3 − x2/2 − 7x + 9 нормаль составляет

сосью Ox угол π/4.

18.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

			1
1) y = ln(cos2 x + 1 + cos4 x); 2) y = πarcsin √1−x; 3) y = tg2
			(a + bx) −		.
				x
18.12. Вычислить приближенно y = √		, x = 0,01.
	1 + x + sin x

18.13.Показать, что функция y = etg(x/2) удовлетворяет уравнению y sin x = y ln y.

18.14.Найти производные указанных порядков

1) y = sin(2 + x3) − e3, y =?;

2) y = 5arctg x, y

=?;

3) y =

, y(n) =?;

−

4) y = ln 2t,

dy2

=?; 5) y = t + 3,

dx2

=?.

x = e2t,

d2x

x = arctg t,

d2y

18.15. Найти экстремумы функций

1) y = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x;

2) y = (x − 5)ex;

3) y =

−

2)(x + 3)

18.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

+ x2

1) y = x5 −

x3 + 2, [−2; 0];

2) y =

− sin x,

;

3) y =

, [−0,1; 4].

+ x4

18.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = e−

; 2) y = 1 + x2 ; 3) y = x ln |x|; 4) y = n→∞ 1 + n

lim

18.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = x2 − 4x + 3 21/(4−x). x − 4

18.19.Найти наибольшую боковую поверхность цилиндра, вписанного в шар радиуса

18.20. Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) x→∞

−

x→2a

− a

x→∞

−

x2 ln 1 +

;

2) lim 3

tg(πx/4a)

lim

;

3) lim [(π

arctg x) ln x].

18.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞; −1[ ] − 1; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = −1;

Задания для самоконтроля

307

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: y = x;

5)стационарные точки x = −2, x = 0;

6)точки, где y = ∞: x = −3;

7) интервалы монотонности: а) возрастания: ] − ∞; −3[, ] − 2; −1[; ]1; ∞[; б) убывания:

] − 3; −2[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ]−1; 0[; б) вогнутости: ]−∞; −3[,

] − 3; −1[; ]0; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−3) = −1; y(−2) = −3,5; y(0) = 1.

18.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = 73x−5 и вы-

числить е¨ значение в точке x0 = 3. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 3. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 19

19.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

9 − n3

−

;

2) lim

x2 + 2x − 15

−

1 + 2n3

→∞

→−

x + 5

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

19.2. Найти пределы

√

− √

lim

n3 − (n + 1)3

lim

n6 − n4

n6 − 1

; 3)

lim

3 + . . . + (2n + 1)

;

1) n→∞

2n2

−

n + 1 ; 2)

n→∞

√16n4 + n2 + 1

√

+ 1

+ 2x

− 3x + 10

+ 1 − sin 2x

lim

;

lim

;

lim

;

x + 1

−

x→∞

x→2

5x + 6

x→0

cos 3x + 1

√

5 + x

cos x

cos

7) x 4

−

√

;

8) x

(x + √4

−

;

x 0

lim

x3)

lim

→

1 −

5 − x

→±∞

1/ sin2 3x

→

(x+3)/2

→

cos x

1/x2

→

sin πx

→∞ x + 3

10)

lim

sin 4x

;

11)

lim

− x

;

12)

lim

;

13)

tg 5x

;

14)

x 1

− cos x

;

15)

;

x→0 cos 2x

x→0

lim

lim (1 + 3 tg2 x)ctg x

(2n + 1)!!

√

16)

lim

;

17)

lim

+ 1].

(2n)!

n→∞

n→∞ sin

[π

19.3. Вычислить предел функции

f(x) = (x + 1) sin

π(x + 1)

вточке x0 = 0 или показать, что он не существует.

19.4.Записать асимптотическую оценку функций

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

19.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −5x2 − 9 непрерывна в точкеточке.x0 = 3; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

19.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	x,	если 0 x 2;	2) f(x) = 1	91/(x−7); 3) y = x2 .
	sin x,	если x < 0;
	0,	если x > 2;	−
	0,	если x > 2;	−		x − 9

19.7. Найти производные следующих функций:

308

Индивидуальные задания

y = 3

y = ln sin x + 1 ;

y = ln 2 −

25 cos x;

x5/2

;

(1 + x2)5

2x + 4

sin 25x

y = 2

−

2x3 ;

y = (x + 5)cos 2x;

y = 5ln tg 2x;

x − 1

cos x

1 − sh 2x

;

y = xsin x3 ;

y = xearcsin √

;

y =

2 + sh 2x

10) y = 3axy − x3y2;

11) xy − ln y − 2 ln x = 0;

12)

arcsin

+ y2 = x3;

13) y = cos3 2t;

14) y = t√1 − t2;

13)

y = sin 2t.

x = t

+ 3 sin 2t,

x = arcsin2 t,

x = tg t,

19.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y = arctg √2x, x0 =

; 2) y = ln

x2 − x + 1, x0 = 1.

19.9.Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1)y = 5x − arcsin e5x, x0 = 0; 2) y = ex(1 + x3 sin x), x0 = 0.

19.10.Выяснить, в каких точках кривой y = x3/3−5x2/2+7x+4 нормаль составляет

сосью Ox угол −π/4.

19.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

	2			1
1) y = ln(x + 1 + x2) − x5
	; 2) y = 2− cos	x;	3) y = sin2		− tg x.
				x

19.12.Вычислить приближенно y = x4, x = 3,998.

19.13.Показать, что функция y = (1+x)/(1−x) удовлетворяет уравнению y (1+x2) =

1+ y2.

19.14.Найти производные указанных порядков

1) y = (1 + x2) + arctg x, y =?;	2) y = sin x + xe−x, y =?;				3) y = a2x+3, y(n) =?;
y = t − 3,	dx2		y = √1 − t2,			dy2
4) x = ln(1 − t),	d2y	=?;	5) x = arccos t,			d2x	=?.

19.15. Найти экстремумы функций
			4x

1) y = 2x3 − 3x2 + 1; 2) y =				; 3) y = x 1 − x2.
			x2 + 4

19.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:


1) 3x4 − 16x3 + 2, [0; 4]; 2) y = 2 x + cos x,			−2π; −2			π ;	3)
1			3
19.17. Исследовать функции и построить их графики
1) y = e1/(x+2); 2) y =	x − 3	; 3) y =		2x	; 4) y =		lim

	x2 + 16			x			n→∞

19.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

3x − 3 f(x) = x ln 3x − 1 .

x − 3

y = x2 + 16 , [3; 10].

√

n 1 + xn, x > 0.

Задания для самоконтроля

309

19.19.Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три других огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м2, а длина забора была наименьшая?

19.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) xlim

ln ex

;

lim (ctg x)1/ ln x;

lim (tg x

−

sec x).

−

xex

→

π/2

→∞

19.21.Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследо-

вания:

1)область определения X =] − ∞; 0[ ]0; ∞[;

2)вертикальные асимптоты x = 0;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: y = −x/2;

5)стационарные точки x = −2, x = −1, x = 1;

6)точки, где y = ∞: x = −3, x = 2;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ] − 3; −2[, ] − 1; 0[, ]1; 2[; б) убывания: ] −

∞; −3[, ] − 2; −1[, ]0; 1[, ]2; ∞[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −3[, ] − 3; −3/2[; б) вогнутости: ] − 3/2; 0[, ]0; 2[, ]2; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−3) = 0; y(−2) = 3; y(−3/2) = 2; y(1) = 1,5; y(1) = −2; y(2) = 0.

19.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = 1/(x − 6) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 3. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 3. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3

вформе Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 20

20.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim

1 − 2n2

−

;

2) lim

2x2 + 6x − 8

−

10.

2 + 4n2

x + 4

→∞

→−

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции. 20.2. Найти пределы

√n4 + 1 + √n2 + 1

3 + 6 + ... + 3n

nlim

; 2)

nlim

(√5 + n3

− √3 + n3);

nlim

;

(n + 4)2

n2 + 4

→∞

lim

1 + cos2(πx/4)

;

lim

2x2 − 4x + 1

;

lim

3x3 + 2x2 − 5

;

lim

x + 4 − 2

lim

arctg 3x

+ 2

x→1

√

1 + tg2

(πx/3)

x→∞

(x + 1)2 − (x − 2)2

x→1

− 3x

→

cos mx−

cos nx

→

cos(−πx/2)

−

→

1 + x

(x 1)/2

;

−

;

0 arcsin 2x

10)

→

;

11)

→

1 −

;

12)

→∞

3 + x

;

√

lim

1 − e−

−

lim

−

3arctg2 √

13) lim

;

14) lim (2

−

)2/ sin x;

15)

lim (tg x)2x−π;

→

sin x

→

π/2

16)

nlim

· · ·

(4n

2) ;

17)

nlim cos[π√n2 + n].

(3n

+ 1)

→∞

· · ·

−

→∞

20.3. Вычислить предел функции

f(x) = x cos x − 1

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3331 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251.12 Mб0cvicebnice_statistika_ii.doc
#
21.09.201918.53 Mб8dachet element.doc
#
29.05.20153.5 Mб128dejatelnos (1).pdf
#
21.09.201964.51 Кб1Delphi отчёт.doc
#
15.11.2019158.72 Кб4Diagramma_otchet.doc
#
29.05.20153.1 Mб62DIF_calc_2013.pdf
#
01.05.2025277.5 Кб0diplom.doc
#
29.05.20152.58 Mб52Diplom.docx
#
29.05.20155.95 Mб20Diplom_na_pechat.doc
#
29.05.2015753.61 Кб69DisMathTPU.pdf
#
29.05.2015753.84 Кб69DisMathTPU_new.pdf