Раздел 3 Синтез логической схемы

3.1 Исходные данные

Булевой функцией F=F(X₁,…X_n) называется такая функция, у которой независимые X₁ … X_n переменные могут принимать значения 0 или 1 и сама функция F в зависимости от комбинации X₁ … X_n принимает значения 0 или 1.

Для частичного определенной функции некоторые переменные и сама функция на некоторых комбинациях переменных могут принимать неопределенные значения d, т.е. при синтезе логической схемы d можно доопределить произвольным образом до 0 или (для лучшей минимизации схемы).

Любая функция F=F(X₁ ,X₂ … X_n) имеющая область определения 2 ⁿ двоичных наборов, может быть заданна одним из трех способов, в нашем случае в виде таблицы истинности.

Логическая функция: Базис ИЛИ-НЕ

Стоимость схемы:

где n –число переменных куба;

r –размерность куба;

k –число кубов, при которых функция принимает значение логической единицы.

W=(5-2)+(5-1)+(5-0)+(5-2)+(5-1)+(5-1)+6=29

3.2 Расчет схемы

3.2.1 Представление булевой функции на карте Карно.

Для функции F=F(X₁ ,X₂ …X_n) выбирается карта на n переменных. При этом функция F=F(X₁ ,X₂ …X_n) на некоторых покрытиях может принимать значения 1, на некоторых – неопределенное d, а на остальные 0. В соответствующих клетках Карно в этом случае представляется 1 или d , 0 обычно не ставится.

а) На картах Карно, там, где функция равна 1, нужно строить кубы максимальной размерности, так: чем выше размерность куба, тем меньше он стоит и тем больше число точек он покрывает.

б) Минимально возможное число кубов максимальной размерности должно покрывать все клетки карт Карно, где функция равна 1.

X1 X2 X3 X4 X5	000	010	110	100		101	111	011	001
00	1		1				1	1	1
01	1
11							1	1	1
10			1				1	1	1

3.2.2 Минимизация схемы:

Эвристический алгоритм минимизации:

а) Построить максимальные кубы на клетках, где функция равна 1.

б) найти клетки, которые покрываются только одним кубом (обособленные клетки или вершины куба).

в) Включить в минимальное покрытие все кубы, покрывающие обособленные клетки.

г) удалить из рассмотрения покрытые клетки. Выбросить из рассмотрения кубы, которые покрывали что-то из выброшенных клеток, если клетки, покрываемые отбрасываемыми кубами, имеют покрытие в виде другого куба равной или большей размерности по сравнению с отбрасываемым кубом.

д) продолжить процесс поиска.

После минимизации функция имеет вид:

Её стоимость равна: W=(5-2)+(5-1)+(5-2)+(5-2)+(5-2)+5=21

3.2.3 Факторизация покрытий:

Минимизация по картам Карно дает минимальное покрытие и двухступенчатую схему. При этом в алгоритме не учитывается два фактора:

а) Возможна другая схемная реализация в виде многоступенчатой схемы, имеющая меньшую стоимость.

б) В алгоритме не учитывается коэффициент объединения по входу – максимальное число входов логического элемента, который в реальных схемах не может превышать некоторое конечное значение.

Преодоление этих затруднений производится с помощью алгоритма факторизации.

Порядок выполнения алгоритма:

а) Находятся μ - произведения всех кубов из C(F). Это делается при помощи таблицы.

б) выбирается маскирующий куб C_μ имеющий максимальную стоимость.

стоимость куба определяется по формуле:

W (C_μ) = r_μ

где r_μ –общее число координат куба, не равных μ

в) В таблице отмечаются кубы, отмаскированные выбранным маскирующим кубом.

г) Покрытие C(F) разбивается на три части. Вверху располагаются кубы, которые не покрываются маскирующим кубом. Затем записывается маскирующий куб. под ним записываются отмаскированные кубы с прочерками на тех координатах, которые не равны μ в маскирующем кубе.

д) Отмаскированные кубы исключаются из рассмотрения. В дальнейшем они будут представлены в последующих шагах алгоритма своим маскирующим кубом и перемещаются во всех последующих записях вместе со своим маскирующим кубом. После исключения отмаскированных кубов алгоритм повторяется.

е) Алгоритм заканчивается, когда не останется неотмаскированных кубов, либо маскирующий куб максимальной стоимости будет состоять только из одних μ (нулевая стоимость)

Проведем факторизацию минимизированной функции:

А)

	0 X 1 X 0	0 0 0 0 X	1 1 X X 0	X 1 1 1 X
0 X 1 X 0	-
0 0 0 0 X	0 μ μ μ μ	-
1 1 X X 0	μ μ μ μ 0	μ μ μ μ μ	-
X 1 1 1 X	μ μ 1 μ μ	μ μ μ μ μ	μ 1 μ μ μ	-
0 X 1 1 X	0 μ 1 μ μ	0 μ μ μ μ	μ μ μ μ μ	μ μ 11 μ

Выбираем маскирующий куб: С_1=0 μ 1 μ μ

Б)

	0 0 0 0 Х	1 1 X X 0	X 1 1 1 X
0 0 0 0 X	-
1 1 X X 0	μ μ μ μ μ	-
X 1 1 1 X	μ μ μ μ μ	μ 1 μ μ μ	-
0 μ 1 μ μ	0 μ μ μ μ	μ μ μ μ μ	μ μ 1 μ μ

С_2=0 μ μ μ μ

В)

	1 1 X X 0	X 1 1 1 X
1 1 X X 0	-
X 1 1 1 X	μ 1 μ μ μ	-
0 μ μ μ μ	μ μ μ μ μ	μ μ μ μ μ

С_3= μ 1 μ μ μ

Г)

	0 μ μ μ μ
0 μ μ μ μ	-
μ 1 μ μ μ	μ μ μ μ μ

С_3= μ μ μ μ μ

3.2.4 Схемная реализация факторизованного покрытия:

а) Построение схемы удобно вести по факторизованному покрытию снизу вверх.

б) Любой куб, находящийся под маскирующим, реализуется в виде элемента «И», входы которого, соответствуют координатам куба, равным нулю или единице.

в) Элементы «И»,соответствующие отмаскированным кубам, объединяются элементом «ИЛИ».

г) Маскирующий куб соответствует элементу «И». Его входы образуются координатами маскирующего куба, равными нулю или единице, и выходом элемента «ИЛИ», объединяющего отмаскированные им кубы.

д) Маскирующий куб сам может объединяться с другими кубами элементом «ИЛИ». Если вместе с другими кубами он покрывается маскирующим кубом более высокого уровня.

3.2.5 Переход в универсальный базис.

Как правило, системы элементов реализует не булев базис, а базис, удобный для схемной реализации. Основой для этих базисов являются базисы: И-НЕ и ИЛИ-НЕ(штрих Шеффера, стрелка Пирса).

Правило перехода из булева базиса И. ИЛИ, НЕ в универсальный базис И-НЕ.

а) Заменять все элементы булева базиса на элементы И-НЕ.

б) Все независимые входы, которые поступали на элементы типа ИЛИ, заменить на инверсные значения, а входы элементов типа И оставить без изменения.

в) Если выход снимался со схемы типа И, то на выходе установить инвектор; если со схемы типа ИЛИ то инвектор не ставить.

Заключение.

Повышение производительности труда за счёт максимальной автоматизации производства на основе последних достижений в электронике и микропроцессорной технике. В связи с этим производят большую исследовательскую работу по созданию систем автоматизации на основе микропроцессоров и, так называемой, малой автоматики, с использованием цифровых электронных устройств в автономном режиме.