Теория вероятностей справочные формулы

Сумма событий (хотя бы или А, илиВ)

А + В

А В

Произведение событий (и А, иВодновременно)

А  В

А В

Виды событий

Обозначение или определение

Невозможное

V– заведомо не произойдет

Достоверное (истинное)

U– обязательно произойдет

Случайное

в результате испытания может либо произойти, либо не произойти

Несовместные АиВ

если появление Аисключает появлениеВ, т. е.А  В= V

Совместные АиВ

если появление Анеисключает появлениеВ, т. е.А  В V

Равновозможные АиВ

если ни одно из них не является более возможным, чем другое

Противоположные А и

если

Полная группа А₁,А₂,…А_k

если

Независимые А иВ

если А не зависит отВ и наоборот

РАЗМЕЩЕНИЯ – группы элементов, отличающиеся друг от друга и элементами, и порядком

ПЕРЕСТАНОВКИ – группы элементов, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.

СОЧЕТАНИЯ – группы элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА события А

п– общее число испытаний

m– число появлений событияА

ВЕРОЯТНОСТЬ события А

п– общее число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

m– число исходов, благоприятствующих событиюА

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕРНУЛЛИ при

СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ

СЛОЖЕНИЕ: Если АиВ несовместны, то

ЕслиА иВсовместны, то

ПРОИЗВЕДЕНИЕ: Если АиВ независимы, то

Если АиВзависимы, то

Условной вероятностью Р_Аназывают вероятность событияВ, вычисленную в предположении, что событиеА уже произошло.

Следствия: 1. Если А и- противоположные события, тоили.

2. Вероятность появления хотя бы одного события из А₁,А₂,…А_k :

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ: Апроисходит с одной из гипотезН_i. ЕслиН₁+Н₂+…+Н_п=U; H_iH_j=V; ij, то

ФОРМУЛА БЕЙЕСА позволяет найти изменение вероятности гипотез, если событие Апроизошло.

, гдеР(А)– полная вероятность.

Производится писпытаний (независимых), вероятность каждого, а. Находим вероятность того, что событиеАпоявилось ровнотраз.

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ ( п– мало)

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА (п– велико)

, где

ФОРМУЛА ПУАССОНА (р– мало,п– велико )

,

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

;

Вероятность появления хотя бы одного события в писпытаниях:.

Примечание:

- четная функция, т.е.. Ее значения находят из таблицы,.

- нечетная функция, т.е.. ФункциюФ(х)часто называют функцией Лапласа. Ее значения находят из таблицы, причем прих>5.

у

х

 0 

а=0

=1

у

0,5

у=Ф(х)

0 х

0,5

Отклонение W(A)от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Случайная величины – это величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение . Х– случайная величина,х– ее возможное значение.

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА – это случайная величина, у которой множество возможных значений конечно или счетно (т.е. их можно перенумеровать в каком-то порядке).

НЕПРЕРВЫНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА – это случайная величина, у которой множество возможных значений сплошь занимает какой-то участок числовой оси, границы которого могут быть как зафиксированными, так и неопределенными.

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ –

это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующим им вероятностям (для дискретной случайной величины) или плотностями вероятностей (для непрерывной случайной величины).

р₁+р₂+ …+р_п+…=1р_п- вероятности

илир₂ р

р₁ … х

х₁ х₂ х_п

Многоугольник распределения

, гдеf(x)– плотность распределения

вероятностейХ.

f(x)Ее свойства:

1.

График плотности 2 .распределения 3.

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ –

это вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем заданное х, т.е.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Свойства:

1. F(x)– неубывающая функция

2. F()=0

3. F(+)=1

4. 0 F(x)1

5.

6.

Функция распределения любой непрерывной случайной величины есть непрерывная функция в любой точке и дифференцируема всюду.

Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, т.е. .

Связь между плотностью и функцией распределения непрерывной случайной величины .

F(x)

1

р₁+р₂

р₁

х₁ 0 х₂ х₃ …х_п х

F(x)1

0. х

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Дискретная случайная величина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

ДИСПЕРСИЯ

СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Непрерывная случайная величина



Свойства:

М(С)=С D(С)=0

М(СХ)=СМ(Х) D(CX)=C²D(X)

М(ХY)=М(Х)М(Y) D(ХY)=D(Х)+D(Y)

М(ХY)=М(Х)М(Y)

ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Дискретная случайная величина

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

М(Х)=пр; D(Х)=прq; q=1p

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

М(Х)=; D(Х)=; =пр10; р-мало;п-велико

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

М(Х)=; D(Х)=; q=1p

Непрерывная случайная величина

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

, гдеа=М(Х); =(Х).

График плотности распределения – кривая Гаусса или нормальная кривая.

- точки перегиба.

Вероятность попадания в заданный интервал

, гдеФ(х)– функция Лапласа.

Вероятность заданного отклонения

.

Правило трех сигм .

Непрерывная случайная величина

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

;

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

;

Для нормального распределения

, где- функция Лапласа.

Интеграл Пуассона

или

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ–ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА

Если Х₁, Х₂, …, Х_п– попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены, то,

где >0 сколь угодно малое число.

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА