1.1. Построение таблицы состояний.

Таблица состояний (истинности) представляет собой формализованную запись условий работы системы. Таблица составляется так: сначала в нее вносят все возможные комбинации (наборы) входных сигналов, количество наборов, определяется по выражению 2ⁿ, где n - число входных сигналов), а затем в соответствии с требованиями (содержательными) и конкретной системе управления для каждой комбинации записывают значение выходного сигнала. Если какая-то конкретная комбинация входных сигналов не встречается в системе управления, то для этой комбинации можно не проставлять значения выходного сигнала. Для того, чтобы не пропустить ни одной комбинации входных сигналов, наборы сигналов (двоичных аргументов) следует записывать по определенному правилу. Наиболее подходящим правилом, в этом случае, является правило расположения двоичных п-разрядных наборов (строк таблицы соответствия) по сумме "весов" тех сигналов, которые имеют единичные значение. "Вес" единиц каждого разряда установлен по следующему правилу: младший разряд, соответствующий крайней правой колонке входного сигнала имеет вес 2⁰, следующий за ним – 2¹ , далее -2² , и т.д.

В качестве примера укажем, что двоичный трехразрядный набор 101₂ =2²1+2¹0+2⁰1=5₁₀

будет записан в строке под номером 5.

Таблица 1 представляет таблицу состояний (истинности) для браковочного устройства. Выходной сигнал У в ней принимает значение I только в тех случаях, когда в строчке, обозначающей комбинацию входных сигналов, есть по крайней мере две единицы, т.е. заполнение последней колонки таблицы соответствия осуществляется в соответствии со смысловым содержанием задачи.

Таблица 1 Таблица состояний для браковочного устройства

Номер cостояния	Входные сигналы			Выходной сигнал Y
	X3 "вес"22	X2 "вес" 21	Х1 "вес" 20
0	0	0	0	0
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	1
7	1	1	1	1

1.2. Запись логической функции

Логическую функцию, описывающую условия, при которых выходной сигнал равен единице удобнее всего записать в виде совершенной дизъюнктивной нормальной форма (СДНФ). СДНФ логической функции формируется так: I) для каждой единицы выходного сигнала составляется конъюнкция (логическое произведение) входных сигналов, причем, если входной сигнал равен нулю, то он входит в произведение со знаком инверсии (например, для строки - номера состояния 5, выходной сигнал равен 1, а его описание в единице удобнее всего записать в виде совершенной дизъюнктивной нормальной форма (СДНФ). СДНФ логической функции формируется так: I) для каждой единицы выходного сигнала составляется конъюнкция (логическое произведение) входных сигналов, причем, если входной сигнал равен нулю, то он входит в произведение со знаком инверсии (например, для строки - номера состояния 5, выходной сигнал равен I, а его описание в виде комгаонкции будетx₃· x₂ ·x₁); 2) все наборы конъюнкций объединяются знаками дизъюнкций (логическая сумма); 3) полученное выражение приравнивается обозначению логической функции, в данном случае -y.

Для таблицы состояний 1 логическая функция в форме СДНФ имеет вид

Логическая функция определяет условия, при которых у = 1. Эти условия могут возникнуть в четырех случаях, каждый из которых характеризуется определенной комбинацией значений трех входных сигналов.

1.3. Упрощение (минимизация) логической функции и приведение ее к виду, содержащему заданные логические функции

Для преобразования и минимизации логической функции используют законы алгебры логики. Приведем записи логических законов.

1. x₁ x₂=x₂x₁ переместительный или

x₁+x₂=x₂+x₁ коммутационный закон

2. (x₁ x₂) x₃=x₁ (x₂ x ₃ ) сочетательный или ассоциативный

(x₁+x₂)+x₃=x₁+(x₂+x₃) закон

3. (Х₁ + X₂)X₃ = Х₁ X₃+X₂ X₃ распределительный или

x₁x₂ +x₃=(x₁+x₃)(x₂+x₃) дистрибутивный закон

последняя строка является специфичной и имеет место только в алгебре логики, формы других выше приведенных строчек применимы как и обычной алгебре, так и к алгебре логики.

4. х₁ + х₁ = 1 закон исключенного третьего

5. x₁ x₁=0 закон противоречия

6. x x x x …x=x закон идемпотентности

x+x+x+…+x=x

7. x₁·x₂=x₁+x₂ закон инверсии или

x₁+x₂= x₁· x₂ законы де Моргана

8. x₁+x₁· x₂=x₁+x₂ закон поглощения

x₁+x₁· x₂=x₁+x₂

9. x₁·x₂ + x₁·x₂ =x₁ закон склеивания

10. x = x закон двойного отрицания

11 х + 1 = 1 х · 1 = х

х + 1 = 1 х · 1 = х

х + 0 = х х · 0 = 0 тожества алгебры логики

х + 0 = х х · 0 = 0

В преобразованном и минимизированном виде логическая функция должна содержать только те логические операции, которые можно реализовать в заданном базисе логических элементов. В рассматриваемом случае логическую функцию необходимо реализовать на элементах И-НЕ. Минимизация и преобразование логи­ческой функции дают следующее логическое выражение

у= х₃ ·х₂· х₁ + х₃ · х₂· х₁ + х₃ ·х₂ · х₁ + х₃ ·х₂ ·х₁ = х₃ ·х₂ ·х₁ + х₃ ·х₂ ·х₁ + х₃ ·х₂ · ( х₁ + х₁ ) =

=х₃ ·х₂ ·х₁ + х₃ ·х₂ ·х₁ + х₃ ·х₂ = х₃ ·х₂ ·х₁ + х₃ · ( х₂ ·х₁ + х₂ ) = х₃ ·х₂ ·х₁ + х₃ ·х₁ + х₃ ·х₂ =

=х₁ ·( х₃ ·х₂ + х₃ ) + х₃ ·х₂ = х₁ ·х₂ + х₁ ·х₃ + х₃ ·х₂ = х₁ ·х₂ · х₁ ·х₃ · х₃ ·х₂

Для минимизации и преобразования использовались : закон исключенного третьего, распределительный закон поглощения, закон двойного отрицания и закон де Моргана.

1.4. Реализация логического выражения заданным базисом элементов

На рис. I приводится схема реализации полученного логического выражения на элементах И-НЕ .

&

Х1Х3

&

Х1

&

У

&

Х2

Х2Х3

Х3

Рис. 1