Задача 10

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

10.1	10.16
10.2	10.17
10.3	10.18
10.4	10.19
10.5	10.20
10.6	10.21
10.7	10.22
10.8	10.23
10.9	10.24
10.10	10.25
10.11	10.26
10.12	10.27
10.13	10.28
10.14	10.29
10.15	10.30
10.31	10.32

Раздел 5 Ряды числовые и степенные Задача 11

Исследовать сходимость числового ряда.

11.1	11.11	11.21
11.2	11.12	11.22
11.3	11.13	11.23
11.4	11.14	11.24
11.5	11.15	11.25
11.6	11.16	11.26
11.7	11.17	11.27
11.8	11.18	11.28
11.9	11.19	11.29
11.10	11.20	11.30
11.31	11.32	11.33

Задача 12

Найти область сходимости степенного ряда.

12.1	12.11	12.21
12.2	12.12	12.22
12.3	12.13	12.23
12.4	12.14	12.24
12.5	12.15	12.25
12.6	12.16	12.26
12.7	12.17	12.27
12.8	12.18	12.28
12.9	12.19	12.29
12.10	12.20	12.30
12.31	12.32	12.33

Образец решения типового варианта

Задача 1. Предприятие производит продукцию трех видов и продает ее в трех регионах. Матрица задает цену реализации единицы продукции вi-том регионе по j-тому виду продукции. Матрица B – выручка предприятия в i-ом регионе по всем видам продукции (i = 1, 2, 3). Найти объем продаж по каждому виду продукции, если в каждый регион направляется одинаковое количество продукции каждого вида.

Указание: полученную систему линейных уравнений решить тремя способами:

1) по формулам Крамера;

2) матричным способом;

3) методом Гаусса.

Решение. Введем матрицу-столбец

,

где – объем продаж поi-тому виду продукции в каждом регионе (i = 1, 2, 3). Тогда для матриц А, В, Х справедливо соотношение

или

Это матричное уравнение равносильно системе линейных уравнений (СЛУ)

1 способ.

Решим эту СЛУ по формулам Крамера

.

Найдем

,

,

,

.

Тогда

,

,

.

Ответ: .

2 способ.

Решим эту СЛУ матричным способом: .

Тогда

.

Найдем матрицу :

.

; ;

; ;

; ;

;

.

Матрица имеет вид:

.

Тогда решение СЛУ найдем по формуле

.

Ответ: .

3 способ.

Решим СЛУ методом Гаусса.

Ответ:

Как видим, ответы при решении СЛУ тремя способами совпали!

Задача 2. Некоторая кривая задана уравнением

.

Привести уравнение к каноническому виду, определить вид кривой и построить ее график.

Решение.

В левой части уравнения выделим полные квадраты по переменным х и у:

Разделим обе части уравнения на 4:

Полученное уравнение соответствует каноническому уравнению гиперболы с центром в точке :

.

У нас .

Ох – действительная ось, Оу – мнимая ось.

График гиперболы изображен на рисунке 1.

у

1

0. х

–2

Рисунок 1

Задача 3. Построить на плоскости ХОУ область решений системы линейных неравенств

Решение.

Построим прямые в системе ХОУ:

где числа в знаменателях дробей показывают отрезки, отсекаемые этими прямыми на соответствующих осях координат (рисунок 2).

у

10

х + у =10

3,75

х + 4у = 10

0 1,4 10 15 х

5х – 2у = 7

Рисунок 2

Задача 4. Провести полное исследование и построить график функции .

Решение.

1. ОДЗ: х ≠ 3, х(– ∞; 3)(3; +∞).

х = 3 – точка разрыва, значит х = 3 – вертикальная асимптота графика функции.

Исследуем поведение функции вблизи найденной асимптоты:

.

2. Четность, нечетность.

,

функция не является четной, функция

функция не является нечетной, общего вида.

3. Интервалы монотонности и точки экстремума.

Покажем на схеме (рисунок 3).

max min

+ – – +

0 3 6 x

Рисунок 3

4.Выпуклость, вогнутость, точки разрыва.

–+

3 x

Рисунок 4

5. Асимптоты.

y = kx + b – уравнение наклонной асимптоты.

k = = 1.

b = = = .

–наклонная асимптота.

6. Пересечение с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0.

Значит, график функции проходит через начало координат.

Построим график заданной функции (рисунок 5).

у

–3 0 3 х

Рисунок 5

Задача 5. Дана функция: . Показать, что функция удовлетворяет уравнению:

. (*)

Решение.

1) Найдём частные производные первого порядка.

===

.

2) Найдём частные производные второго порядка.

3) Подставим частные производные второго порядка в уравнение (*).

.

Получили тождество, поэтому функция удовлетворяет заданному уравнению.

Задача 6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой , прямой и осьюОх.

Решение.

Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой:

2 x² = –3x + 4,

2 x² + 3 x – 4 = 0,

x₁ = 1/2,

x₂ = –2.

Рисунок 6

Объем V_ox находим по формуле:

Ответ:

Задача 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

.

Решение.

По определению, получаем:

интеграл сходится.

Ответ: интеграл сходящийся.

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Решение.

Покажем, что уравнение является линейным:

xy′ + 2y = 6x⁴ (: x)

y′ + 2 = 6x³,

т.е. соответствует y′ + P(x)y = Q(x) – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Пусть y = u∙v,

y′ = u′∙v + u∙v′,

u′∙v + u∙v′ + 2 = 6x³,

v∙(u′ + ) + u∙v′ = 6x³.

Разобьем полученное уравнение на два:

1) u′ + = 0, 2)u∙v′ = 6x³,

u′ = – ,∙v′ = 6x³,

= –,v′ = 6x⁵,

= –,= 6x⁵,

ln = –2ln, = ,

u = . v = x⁶ + c.

y = u∙v = = x⁴ + – общее решение.

Начальные условия x = 1, y = 1. Подставим в общее решение.

1 = 1 + c c = 0. Это значение записываем в общее решение.

y = x⁴ – решение задачи Коши (частное решение).

Задание 9. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

y′′ – y′ = 9xe^2x.

Решение.

Составим однородное дифференциальное уравнение, отбросив правую часть:

y′′ – y′ = 0.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

k² – k = 0,

k (k – 1) = 0,

k₁ = 0 или k₂ = 1.

Тогда имеем решение:

y_одн.= С₁e^0x + С₂e^x = С₁ + С₂e^x.

Для нахождения y* выпишем правую часть заданного уравнения:

f(x) = 9xe^2x = P₁(x)∙, = 2 ≠ k_1,2.

y* = e^2x(A₀ + A₁x), где A₀, A₁ – необходимо найти.

Т.к. y* – решение, предполагаемое для заданного дифференциального уравнения, то эта функция должна удовлетворять заданному дифференциальному уравнению:

(y*)′ = 2e^2x(A₀ + A₁x) + A₁e^2x,

(y*)′′ = 4e^2x(A₀ + A₁x) + 2A₁e^2x + 2A₁e^2x = 4e^2x(A₀ + A₁x) + 4A₁e^2x.

Подставим найденные производные в заданное уравнение:

4e^2x(A₀ + A₁x) + 4A₁e^2x – (2e^2x(A₀ + A₁x) + A₁e^2x) = 9xe^2x, (:e^2x)

4(A₀ + A₁x) + 4A₁ – (2(A₀ + A₁x) + A₁) = 9x,

2A₁x + 3A₁ + 2A₀ = 9x.

Многочлены в разных частях уравнения будут равны, если коэффициенты при одинаковых степенях x совпадут:

x: 2A₁ = 9, A₁ = ,

x⁰: 3A₁ + 2A₀ = 0, A₀ = .

Решение y* имеет вид:

y* = e^2x.

Общее решение заданного уравнения:

y = y_одн. + y* = С₁ + С₂e^x + e^2x.

Задание 10.ариант №30.ание 1: ____________________ Исследовать сходимость числового ряда . Решение.

–знакоположительный ряд.

Применяем интегральный признак сходимости (признак Коши). Пусть .

–несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом (первого рода)

Несобственный интеграл является сходящимся.

–сходится.

Ответ: – сходится.

Задание 11. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.

Здесь общий член ; тогда;.

Вычислим радиус сходимости:

Искомый степенной ряд сходится для .;

;

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть , тогда:

Ряд расходится, так как не имеет суммы. Следовательно, – точка расходимости.

Пусть , тогда:

Ряд расходится, так как не имеет суммы. Следовательно, – точка расходимости.

Ответ: заданный ряд сходится для .