- •Физика методические указания и контрольные работы студентов факультета непрерывного профессионального образования
- •1. Общие методические указания
- •1.1. Самостоятельная работа с учебными пособиями
- •1.2. Требования, предъявляемые к решению задач
- •1.3. Указания по выполнению контрольных работ
- •2. Механика и молекулярная физика.
- •2.1. Основные законы и формулы.
- •2.2 Примеры решения задач
- •3. Контрольная работа № 1.
- •4.Электромагнетизм, оптика и физика вещества.
- •4.1. Основные законы и формулы.
- •4.2. Примеры решения задач
- •5. Контрольная работа № 2
- •6. Перечень примерных вопросов к экзаменам Механика.
- •Молекулярная физика и термодинамика
- •Электричество и магнетизм
- •Оптика и физика вещества
- •7. Приложения Фундаментальные физические константы
- •Массы некоторых изотопов
- •8. Список рекомендуемой литературы
2.2 Примеры решения задач
1. Движение тела массой 1кг задано уравнением: s = 6t3 + 3t + 2. Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды движения.
Дано: m=1 кг; s = 6t3 + 3t + 2; t = 2 с.
Найти: F, v, а.
Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени: ;v = 18t2 + 3 Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени: а ==; a = 36 t
Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F = ma, где а, согласно условию задачи, есть ускорение в конце второй секунды. Тогда: F = m36t; F= 1∙ 362 = 72 кг∙м/с2 =72 Н
Ответ: v = 18t2 + 3; a = 36t; F = 72 H.
2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью
0,8 с. Какой покажется наблюдателю длина стержня?
Дано: l0 = 1 м, v = 0,8 с.
Найти: l.
Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой: l = l0, гдеl0— длина покоящегося стержня; v — скорость его движения; с — скорость света в вакууме. Подставляя в формулу числовые значения, имеем: l =1∙= 1∙ = 0,6 м.
Ответ: l = 0,6 м.
3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями:
1) v = 0,5 с и u = 0,75 с; 2) v = c и u = 0,75 с. Найти их относительные скорости в первом и во втором случаях.
Дано: 1) v = 0,5 с, u = 0,75 с; 2) v = c, и = 0,75 с. Найти: и/1, u/2.
Решение. Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности:
;
где v, u — скорости соответственно первой и второй частиц; u' — их относительная скорость; с — скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим: = 0,91с; = с;
Это означает, во-первых, что ни в какой инерциальной системе отсчета скорость тела не может превзойти скорость света; во-вторых, скорость распространения света в вакууме одна и таже во всех инерциальных системах отсчёта.
Ответ: u1 =0,91 с; u2 = с.
4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол = 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.
Дано: m1 = 0,5 кг, m2 =1 кг, =60°; l = 0,8 м. Найти: h, Eд.
Решение.Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью v. Закон сохранения импульса при таком ударе имеет вид: m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v. (I)
Здесь v1 и v2 — скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю (v2 = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на yгол ему сообщается потенциальная энергия, которая при отпускании шара переходит в кинетическую энергию: m1gh1= m1v21/2. Из рисунка видно, что высота h1 равна: h1= l(1— cos ) = 2l sin2 (α/2);
Отсюда: (2)
Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:
v = m1v1/(m1 + m2) = 2m1(m1 + m2) (3)
Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную при последующем подъеме обоих шаров на высоту h:
(m1 + m2)v2/2 = (m1 + m2)gh, (4)
Из формулы (4) находим: h = v2/2g, или с учетом (3):
h == 2m21lsin2(α/2)/(m1 + m2)2 h = 2∙0,52∙0,8∙0,25/(0,5 +1)2 = 0,044 м.
При неупругом ударе часть энергии шаров расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется как разность кинетических энергий шаров до и после удара: ΔЕД =( m1v21/2) – (m1 + m2)v2/2.
Используя уравнения (2) и (3), получаем: ΔЕД = 2glm1sin2(α/2);
ΔЕД =2·9,81м/с2·0,8м·0,5кг(1-0,5кг/1,5кг)·0,25=1,3 Дж.
Ответ: h = 0,044 м, ΔЕД = 1,3 Дж.
5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе c изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот—изделие—наковальня считать замкнутой.
Дано: m = 70 кг, m2 = 1330 кг, h = 5 м.
Найти: ЕД.
Решение. По условию задачи система молот—изделие—наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.
Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т.е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем:
ЕД = m1v2/2 – (m1 + m2)v/ 2/2, (1)
где v —скорость молота в конце падения с высоты h; v/ —общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха по формуле
v = ; (2) Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения:=const. (3)
Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид: m1v = (m1 + m2)v/, откуда: v/ = m1v/(m1 + m2) (4)
Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим:
ЕД = m1m2gh/(m1 + m2); ЕД = 70∙9,8∙5∙1330/(1330 + 70) = 325,85 Дж
Ответ: ЕД = 325,85 Дж.
6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением: s = 2t2 + 4t + 1. Определить работу силы за 10 с, с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.
Дано: m = 1 кг, s = 2t2 + 4t + 1.
Найти: A, T = f(t).
Решение. Работа, совершаемая переменной силой, выражается через интеграл (1). Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна: F = ma или F = m (2). Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим:
v = = 4t + 4 (3); a = = 4 м/с2. (4)
Тогда F = m = 4m (5). Из выражения (3) определим ds: ds = (4t+4)dt. (6). Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим: A = .
По этой формуле определим работу, совершаемую силой за время 10 с. с начала ее действия:
A = =m= 1(8∙100 + 16∙10) = 960 Дж.
Кинетическая энергия определяется по формуле: T = mv2/2; (7)
Подставляя (3) в (7), имеем:
T = m(4t + 4)2/2 = m(16t2 + 32t + 16)/2 = m(8t2 + 16t +8)
Ответ:A = 960 Дж, T = m(8t2 + 16t +8).
7. Протон движется со скоростью 0,7 с (с - скорость света). Найти
импульс и кинетическую энергию протона.
Дано: v = 0,7 с; с = 3∙10м/с,m = 1,67∙10-27 кг. Найти: р, Т.
Решение. Количество движения или импульс протона определяется по формуле: p = m0v/ = m0v/; где m0 —масса покоя протона; v — скорость движения протона; c — скорость света в вакууме; v/c = β— скорость протона, выраженная в долях скорости света.
p = 1,67∙10-27∙3∙108∙0,7/ = 4,91∙10-19 кг·м/с.
В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя этой частицы:
Т = Е – Е0, где Е = m0c2/; Е0 = m0c2.
Подставив, имеем: Т = m0c2(1/ - 1);
Вычисляем: T = 1,67∙10-27∙(3∙108)2 (1/- 1) = 0,6∙10-10 Дж.
Ответ: р = 4,91∙10-19 кг•м/с; Т = 0,6∙10-10 Дж.
8. Какую наименьшую скорость нужно сообщить ракете, чтобы она, стартовав с Земли, не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.
Дано: R3 = 6,37∙106 м; g = 9,8 м/с2; R→∞.
Найти v.
Решение. С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться ее потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения энергии:
mv02/2 – mv2/2 = m(GM/RЗ – GM/R), (1)
где m- масса ракеты; М-масса Земли; G - гравитационная постоянная; v0 и v- скорость ракеты относительно Земли в начальный и рассматриваемый моменты; R3 и R - расстояния от центра Земли до ракеты в начальный и рассматриваемый моменты; GM/R - потенциал гравитационного поля Земли на расстоянии R от ее центра. После преобразования уравнения (1) имеем:
v02 - v2 = 2GM(1/RЗ - 1/R) ;
Ракета не вернется на Землю, если ее скорость v будет больше или равна нулю на бесконечно большом расстоянии от Земли: v = 0 при R → ∞. Отсюда:
v02 = 2GM/RЗ; (2) Из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли GmM/RЗ2 = mg, откуда GM = gRЗ2 (3), где g - ускорение свободного падения на поверхности Земли. Подставляя формулу (2) в (3), находим:
v0 = . Считая, что ракета приобретает нужную скоростьvo уже вблизи поверхности Земли, находим: v0 = = 11,2 км/с.
Такая скорость необходима для преодоления гравитационного поля Земли. Она называется второй космической или параболической скоростью.
Ответ: vо = 11,2 км/с.
9. Тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. Определить продолжительность полета тела до точек А и В (cм. рисунок), максимальную высоту, на которую поднимается тело, и дальность полета тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано: H = 12 м, φ = 30°, v0 = l2 м/с, g =9,8 м/с.
Найти: tA, tB, ym, xm.
Решение. В обозначенной на рис. системе координат проекции начальной скорости будут равны: vox = v0cosφ (I), и v0y = v0sinφ (2).
К
y = H + v0tsinφ – gt2/2 (3). x = v0tcosφ (4).
Время подъема тела найдем из условия, что в наивысшей точке подъема скорость тела:
vy = v0sinφ – gt = 0 (2/)
Тогда время подъема:
tпод = v0sinφ/g (5).
Время спуска тела от точки С до точки А равно времени подъема, поэтому продолжительность полета тела от точки О, до точки А равна:
tA = 2tпод =2v0sinφ/g. (6)
Максимальную высоту подъема найдем из уравнения (3), подставив в него время подъема из уравнения (5):
ym = H + v02sinφ2/2g (7)
Время полета тела до точки В найдем из уравнения (3), приравняв координату Y нулю (у = 0): tB = v0sinφ/g + (8)
Дальность полета найдем из уравнения (4), подставив в него время движения из уравнения (8): xm = v0tBcosφ (9) Тогда, решая совместно (6)-(9), получим:
tA = 2∙12∙0,5/9,8 = 1,22 c. tB = + = 2,29 c.
уm = 12 + = 13,8 м. xm = 12∙2,29∙0,867 = 23,8 м.∙
Ответ: tA = 1,22 c, tB = 2,29 c, уm= 13,8 м, xm = 23,8 м.∙
10. По условию задачи 9 найти в момент приземления тела следующие величины: скорость и угол падения тела, тангенциальное и нормальное ускорения тела, радиус кривизны траектории в точке В.
Дано: H = 12 м, φ = 30°, v0 = 12 м/с.
Найти: vB, β, an, R.
Решение. Мгновенная, скорость в точке B (см. рис.):
vB = Проекцию скоростиvу в точке B найдем из уравнения (2') задачи (9), подставив в него время
движения tB. из (8):
vy = v0sinφ – gtB = .
Результирующую скорость v в точке В найдем как:
v = =
= =
= ; v = = 19,5 м/с.
Из рис. определим угол β, образуемый вектором скорости v c осью Оx:
sinβ = vy/v = /;
sinβ = 0,85; β = arc sin 0,85 = 57040/.
Построим в точке В «треугольник ускорений». Вектор тангенциального ускорения aτ направлен вдоль вектора мгновенной скорости в данной точке, т. е. по касательной к траектории; вектор нормального ускорения аn перпендикулярен вектору мгновенной скорости v. Из рис. видно, что
aτ = g sinβ = gvy/v; an = g cosβ = gvx cosφ/;
aτ = 9,8∙0,85 = 8,3 м/с2. an = 9,8∙12∙0,867/ = 5,25 м/с2.
Радиус кривизны траектории в точке приземления (расстояние R = ОВ на рис.) определяем из уравнения: an = v2/R.
Отсюда имеем: R = v2/an; R = 19,52/5,25 = 72,5 м.
Ответ: v = 19,5 м/с, β = 57°40', аτ = 8,3 м/с2, an = 5,25 м/с2, R = 72,5 м.
11. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 c в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти его угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.
Дано: m = 300 г = 0,3 кг, l = 50 см = 0,5 м, ω1 = 10 c.
Найти: ω.
Решение. Воспользуемся законом сохранения момента импульса:
= сonst, (1) где J - момент инерции стержня относительно оси вращения. Для изолированной системы тел векторная сумма момента импульсов остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем:
J1ω1 = J2ω2 (2)
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен:
J1 = J0 = ml2/12. (3)
По теореме Штейнера: J = J0 + md2, где J - момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J0 - момент инерции стержня относительно оси вращения, проходящей через центр масс; d - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения. Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярно стержню:
J2 = J1 + md2; J2 = ml2/12 + m(l/2)2 = ml2/3 (4)
Подставим формулы (3) и (4) в (2): ml2ω1/12 = ml2ω2/3,
откуда: ω2 = ω1/4; ω2 = 10/4 = 2,5 c-1.
Ответ:. ω2 = 2,5 c-1
12. Маховик массой 4 кг свободно вращается с частотой 720 мин-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу с радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
Дано: ωt = 0, m = 4 кг, ν = 720 мин- 1= 12с-1; Δt = 30 с, R = 0,4 м.
Найти: М, N.
Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения: JΔω = МΔt, (I), где J - момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; Δω— изменение угловой скорости за промежуток времени Δt.
По условию задачи, Δω=-ω0, где ω0 — начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость ωt = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда ω0 = 2πν и Δω = - 2πν. Момент инерции маховика J =mR2, где m - масса маховика; R - его радиус. Тогда формула (1) примет вид: mR22πν = - МΔt, откуда: М = - 2πνmR2/Δt.
Знак «-» свидетельствует о том, что момент силы является тормозящим.
M = 2∙3,14∙12∙4∙0,42/30 = 1,61 Н∙м
Угол поворота, т. е. угловой путь φ, за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:
φ = ω0t – εΔt2/2, (2) где ε - угловое ускорeние. По условию задачи: ω = ω0 – εΔt; ωt = 0; εΔ t= ω0. Тогда выражение (2) может быть записано в виде:
φ = ω0Δ t- ω0Δt/2 = ω0Δt/2. Так как φ = 2πN; а ω0 = 2πν, то число полных оборотов: N = νΔt/2; N = 12с-1·30с/2 = 180.
Ответ: М = 1.61 Нм, N = 180 оборотов.
13. Определить, сколько киломолей и молекул водорода содержится в объеме 50 м3 под давлением 767 мм рт.ст. при температуре 18 0С. Какова плотность и удельный объем газа?
Дано: V = 50 м3; р = 767 мм рт.ст.≈ 767·133 Па; Т = 18 + 273 = 291 К;
μ = 2·10-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/моль∙К, NA = 6,025∙1023 моль-1.
Найти: ν, N, ρ, d.
Решение. На основании уравнения Менделеева – Клапейрона:
устанавливаем число молей ν, содержащихся в заданном объеме V. Зная р – давление, V – объем, Т – температуру газа, R –универсальную газовую постоянную определим ν: ν = ; ν = (кмоль).
Число молекул N, содержащееся в данном объеме газа, найдем, используя число Авогадро (которое определяет количество молекул содержащееся в одном киломоле вещества). Общее количество молекул, находящихся в массе m данного газа, может быть установлено по известному числу киломолей ν:
.
Подставив формулу числа киломолей, определяем число молекул, содержащихся в объеме V: N = 2,11·6,02·1026 = 12,7·1026.
Плотность газа ρ = m/V определяем из уравнения Менделеева – Клапейрона: pV = ; откуда находим: ρ ==.
Подставляя числовые значения в формулу, определим плотность газа:
ρ = (кг/м3).
Удельный объем газа d определяем из уравнения Менделеева – Клапейрона:
d =; d = ≈ 11,9 (м3/кг).
Ответ: ν = 2,11 кмоль, N = 12,7·1026, ρ = 8,44∙10-2 кг/м3, d = 11,9 м3/кг.
14. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением 1 МПа при температуре 300 К. После того как из баллона было выпущено 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до 290 К. Определить давление гелия, оставшегося в баллоне.
Дано: V = 10-2 м3; μ = 4·10-3 кг/моль; р1 = 106 Па; ∆m = 10-2 кг; Т1 = 300 К;
Т2 = 290 К; R = 8,31 Дж/моль∙К; NA = 6,025∙1023 моль-1.
Найти: р2.
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа, учитывая, что объем газа не меняется: р2V = , (1) где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; μ– масса одного киломоля гелия; R –универсальная газовая постоянная. Из уравнения (1) выразим искомое давление р2: р2 = . (2)
Массу гелия m2 выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу ∆m гелия, взятого из баллона: m2 = m1 - ∆m . (3)
Массу гелия m1 найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию: m1 = (4)
Подставляя в выражение (3) массу m1 по формуле (4), а полученное выражение m2 в формулу (2), найдем: р2 = , или после преобразования и сокращения: р2 = . (5)
р2 = ≈ 3,64·105 (Па).
Ответ: р2 = 3,64·105 (Па).
15 В резервуаре объемом 1,2 м3 находится смесь 10 кг азота и 4 кг водорода при температуре 300 К. Определить давление и молярную массу смеси газов.
Дано: V = 1,2 м3; m1= 10 кг; μ1 = 28·10-3 кг/моль; m2=4 кг;
μ2 = 2·10-3 кг/моль; Т=300 К, R = 8,31 Дж/(моль·К).
Найти: р, μ.
Решение. Определим парциальные давления р1азота и р2 водорода, воспользовавшись уравнением Менделеева – Клапейрона:
; (1) , (2)
где m1 – масса азота; μ1 – молярная масса азота; V – объем резервуара;
Т – температура газа; m2 – масса водорода; μ2 – молярная масса водорода.
По закону Дальтона: р = р1 + р2. (3)
Из уравнений (1) и (2) выразим р1 и р2 и подставим в уравнение (3):
Р = . (4)
Найдем молярную массу смеси газов по формуле: μ = , (5)
где m1 – масса азота; m2 – масса водорода; ν1 – количество молей азота; ν2 – количество молей водорода.
Количество молей азота и водорода v1 и v2 найдем по формулам:
; (6) . (7) Подставляя формулы (6) и (7) в выражение (5), найдем: μ =. (8)
Вычислим: (Па);
μ = (кг/моль).
Ответ: р = 4,9∙106 Па, μ = 6∙10-3 кг/моль.
16. Сосуд емкостью 2 л содержит азот при температуре 27 0С и давлении 0,5 атм. Найти число молекул в сосуде, число столкновений между всеми молекулами за 1 с, среднюю длину свободного пробега молекул.
Дано: V = 2 л = 2·10-3 м3; Т = 27 0С = 300 К; р = 0,5 атм = 5,065·104 Па; d = 3,1·10-10 м; μ = 28·10-3 кг/моль, NА = 6,02·1023 моль-1; k = 1,38∙10-23 Дж/К.
Найти: N, z, < λ >.
Решение. Число молекул в сосуде найдем исходя из уравнения Менделеева – Клапейрона: . В газе массой m содержится N молекул газа, так что m = Nm0, где m0 – масса отдельной молекулы. B одном киломоле вещества содержится число молекул, равное числу Авогадро NА. Поэтому μ = m0NА и, следовательно: ; . (1)
Среднее число столкновений каждой молекулы с остальными за 1 с:
< z > = , где < v >= - средняя арифметическая скорость молекул газа. Средняя длина свободного пробега молекул газа < λ > равна:
< λ > = , где d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул. Исходя из уравнения (1),. (2)
Общее число столкновений за 1 с равно: n·<z>.
Согласно уравнениям (1) и (2) имеем: . (3)
Средняя длина свободного пробега молекул: < λ > =. (4)
Вычисляем, подставив численные значения величин в системе СИ: ; (с-1);
<λ>=(м)
Ответ: n = 2,45∙1023 молекул, z = 2,5∙109 с-1, <λ> = 1,92∙10-7 м
17. Определить коэффициент внутреннего трения для водорода, имеющего температуру 27 0С.
Дано: Т = 270С = 300 К; d = 2,3·10-10 м; NА= 6,02·1023 моль-1;
μ = 2·10 -3 кг/моль; R = 8,31 Дж/(моль·К).
Найти: η.
Решение. Из молекулярно-кинетической теории газов коэффициент внутреннего трения равен: , (1) где ρ – плотность газа, <v> - среднеарифметическая скорость; < λ > - средняя длина свободного пробега молекул. Плотность газа найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона:
, (2) где m, V, р и Т – масса, объем, давление и температура газа, μ – молярная масса водорода. Среднеарифметическая скорость молекул равна: ; (3)
Средняя длина свободного пробега молекул равна: , (4)
где d – эффективный диаметр, n – концентрация молекул водорода. Давление и температура газа связаны следующим соотношением: , (5)
откуда: , (6) Постоянная Больцмана k связана с числом Авогадро NA соотношением:. (7) Подставляя (2), (3) и (7) в уравнение (1), получим: .
(кг/м·с).
Ответ: η = 8,4∙10-6 кг/м∙с.
18. Вычислить коэффициент внутреннего трения и коэффициент диффузии кислорода, находящегося при давлении 0,2 МПа и температуре 280 К.
Дано: р = 2·105 Па; d = 2,9·10-10 м; μ = 32·10-3 кг/моль; Т = 280 К;
NА= 6,02·1023 моль-1; k = 1,38·10-23 Дж/К; R = 8,31 Дж/моль·К.
Найти: η, D.
Решение. На основании представлений молекулярно-кинетической теории газов коэффициент внутреннего трения идеального газа (динамическая вязкость) и коэффициент диффузии определяются по формулам:
< λ > < v >, (1) D = < λ > < v >, (2)
где ρ – плотность газа; <λ> - средняя длина свободного пробега и < v >- среднeарифметическая скорость молекул. Из (1) и (2) следует:
η = ρD. (3)
Среднeарифметическую скорость и среднюю длину свободного пробега молекул находим по формулам:
, (4) , (5)
где R –универсальная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура; d – эффективный диаметр молекулы кислорода; n – концентрация молекул. Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов определяем n: , (6) , где р – давление; k – постоянная Больцмана. Из (6) и (5), получаем: . (7)
Окончательный вид расчетной формулы для коэффициента диффузии найдем, подставляя выражения (4) и (7) в (2):
. (8)
Плотность кислорода определяется по формуле . С учетом (6) имеем:
. (9)
Подставляя (9) и (8) в (3), получаем расчетную формулу для коэффициента внутреннего трения: .
Делаем вычисления:
(м2/с);
(кг/(м·с)).
Ответ: D = 7,4∙10-6 м2/с, η = 2∙10-5 кг/(м∙с).
19. Вычислить количество льда, которое образуется в течение часа в бассейне, площадь которого 10 м2. Толщина льда 15 см, температура воздуха –10 0С, коэффициент теплопроводности льда χ = 2,1 Вт/(м·К).
Дано: S = 10 м2; Δх = 15 см = 0,15 м; t1=-10 0С; χ = 2,1 Вт/(м·К); t2=0 0С;
τ =1 ч = 3600 с; r= 3,35·105 Дж/кг.
Найти: m.
Решение. Считаем процесс установившимся, температуру нижней поверхности льда равной 0 0С, а верхней – температуре воздуха. Через слой льда от воды отводится тепло. Количество тепла Q, передаваемое через лед толщиной Δх, пропорционально градиенту температуры , площади передающей поверхности S и времени τ и определяется уравнением теплопроводности Фурье: .
Массу m образующегося льда определяем из уравнения для теплоты плавления Q льда, численно равной теплоте, отводимой от воды в процессе замораживания: Q = mr, где r – удельная теплота плавления льда.
Тогда: . (кг).
Ответ: m = 15 кг.