2. Корреляционная функция

В процессе проектирования измерительных систем для решения некоторых задач измерений возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами. При этом выбор сигналов диктуется не технической простотой их генерирования и преобразования, а возможностью оптимального решения измерительной задачи.

В качестве примера рассмотрим упрощенную идею измерения толщины материала ультразвуковым толщиномером (рис.2.11).

На рис.2.11 ИЭ и ПЭ излучающий и приемный элементы. Информация о толщинеhматериала заложена в величине задержкипо времени между зондирующимx(t)и принятымx(t-)сигналами. Формы зондирующего и принимаемого сигналов одинаковы при любых задержках.

Структура системы обработки этих сигналов в толщиномере дана на рис.2.12. Система обработки состоит из устройства задержки (УЗ) зондирующего (эталонного) сигнала на отрезки времени ₁, ₂, ..., _N.Задержанные сигналы и принятый сигнал подаются на устройства сравнения (УС). На выходе УС сигнал появляется, если оба входных сигнала являются “копиями” друг друга. Зная номер УС, где происходит это событие, можно измерять задержку=_iи, значит, толщину материала, гдеi номер УС.

Точность такой системы обработки растет с увеличением степени отличия друг от друга сигнала x(t)и его “копии”x(t-),смещенной во времени.

Аналогичная идея работы лежит в основе измерения дальности до цели с помощью импульсного радиолокатора. Здесь также информация о дальности заложена в задержке между зондирующимx(t)и принимаемымx(t-)сигналами.

Для количественной оценки степени различия сигналов x(t)иx(t-)применяютавтокорреляционную функцию(АКФ)B()сигналаx(t). Ее определяют как скалярное произведение сигнала и его задержанной копии:

.

Если x(t)носит импульсный характер, то этот интеграл заведомо существует.

Основные свойства автокорреляционной функции:

1)  при=0АКФ равна энергии сигнала;

2) функция четная;

3) при любоммодуль АКФ не превосходит энергии сигнала.

В качестве примера рассмотрим вид АКФ прямоугольного видеоимпульса с амплитудой Uи длительностью_и(рис.2.13).

На рис.2.13 затененные области показывают наложение сигналов, при котором произведение x(t)x(t-)отлично от нуля. Это будет при.

Таким образом, АКФ является симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. В зависимости от вида сигнала x(t)АКФ убывает монотонно или колебательно.

Установим связьмеждуАКФB()сигналаx(t)и егоэнергетическим спектромE(). Пусть сигнал имеет преобразование Фурье, т.е.. Тогда согласно теореме о временном сдвиге спектральная функция смещенного во времени сигналаx(t+) имеет вид

.

Выражая функцию x(t+)через обратное преобразование Фурье, можно записать АКФ в виде

.

Так как интеграл

есть комплексно-сопряженная спектральная функция и произведение , то получим

.

Отсюда следует, что АКФ является обратным преобразованием Фурье энергетического спектра E(). Очевидно, будет справедливо и прямое преобразование Фурье:

Итак, энергетический спектр E() и автокорреляционная функция B() связаны преобразованием Фурье, т.е..

Таким образом, можно оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже по времени АКФ. Сигнал с узкой АКФ лучше с точки зрения возможности точного измерения момента совпадения двух одинаковых по форме сигналов x(t-_i)иx(t-)при изменении задержки_i (см. систему обработки на рис.2.12). Поэтому при проектировании таких систем зондирующий сигнал целесообразно выбирать широкополосным.

В принципе можно решать задачу синтеза сигнала с заданными корреляционными свойствами. Примером сигналов с наилучшей структурой АКФ могут служить дискретные сигналы (коды) Баркера. Корреляционные свойства этих сигналов оптимальны применительно к решению задачи обнаружения сигнала и измерения его параметров в радиолокации.

Два сигнала x(t)иy(t)могут отличаться как по своей форме, так и взаимным расположением на оси времени. Для оценки этих различий применяютвзаимно корреляционную функцию (ВКФ) B_xy(). ВКФ двух вещественных сигналовx(t)иy(t)определяется как скалярное произведение вида

.

Основные свойства взаимно корреляционной функции:

1) ; 2)нечетная функция;

3) ограниченная функция (следует из неравенства КошиБуняковского);

4) в отличие от АКФ приВКФ необязательно имеет максимум.