4. Свойство временного сдвига (теорема запаздывания).

Если , то, гдеt₀ время запаздывания. Доказательство подобно свойству 3 при.

Выразим спектральную функцию через спектры амплитуд и фаз. Тогда получим:

, где.

Итак, при сдвиге на t₀амплитудный спектр не изменяется. Изменится только спектр фаз на величину.

5. Спектры производной и интеграла.

Если , то

Доказательство:

,

где спектральная функция производной.

Учитывая равенство , можно подобным образом доказать второе соотношение.

6. Свойство частотного сдвига (теорема о переносе спектра).

Если , то.

Действительно, выполняя преобразование Фурье сигнала , получим:

.

Таким образом, умножение на функцию во временной области эквивалентно сдвигу на в частотной области. В результате такого умножения весь спектрпереносится на частоту.

Обычно перенос спектра осуществляется умножением сигнала x(t)на косинусоидальный сигнал. Этот сигнал согласно формуле Эйлера можно выразить суммой экспонент. Поэтому умножениеx(t)смещает весь частотный спектр сигналаx(t):

.

Отсюда следует

.

Пример переноса спектра (рис.2.10).

Рис.2.10

7. Теорема о свертке.

Свёрткой двух функций называется интеграл вида

,

где знак операции свёртки функций.

Если и, то

а) ,

т.е. свертка двух функций во временной области эквивалентна перемножению их спектров в частотной области;

б) ,

т.е. перемножение двух функций во временной области эквивалентно свертке их спектров в частотной области.

5. Энергетические характеристики сигналов

   1. Энергетический и мощностный спектры

Как известно, в электротехнике мощность Pи энергия Eопределяются выражениями

,

где U напряжение;I ток;R сопротивление;t_m время наблюдения. Эти энергетические характеристики пропорциональны квадрату напряжения или тока.

Пусть есть напряжение (или ток) на сопротивленииR = 1 Ом. Тогда при описании сигнала во временной области мгновенная мощность, средняя мощность и энергиябудут равны:

,

где обозначение означает усреднение по времени квадрата сигнала.

Если допустить периодическое продолжение сигнала x(t)с периодомT=t_m, то среднюю мощность можно находить, исходя из спектрального представления периодического сигнала в частотной области:

 для ряда (2.4.1);

 для ряда (2.4.2);

 для ряда (2.4.4).

Часто сигнал задается на бесконечном интервале . Тогда

.

Здесь различают два вида сигналов:

Пусть и энергетический сигнал. Выразим энергию сигнала через его частотную характеристику. Для этого в выраженииx²(t)одну из функций представим в виде обратного преобразования Фурье. Тогда энергия сигнала

.

Изменим порядок интегрирования. Тогда

.

Внутренний интеграл в квадратных скобках имеет вид

 комплексно-сопряженная функция.

Так как , гдеA() амплитудный спектр, то окончательно получим

.

Это соотношение называется равенством Парсеваля(или теоремой Рейли).

Величина это доля энергии сигнала, приходящаяся на полосу частот.

Функция называется спектральной плотностью энергии или энергетическим спектром. Она является четной функцией и определяет величину энергии, приходящейся на полосу в 1 рад/с.

Для мощностных сигналов рассматривают среднюю мощность, так как понятие энергии теряет смысл. Пусть функция x(t)задана на конечном интервалеt_m и имеет спектральную функцию

.

Тогда энергия сигнала конечна и равна

.

Средняя мощность при будет

,

где  спектральная плотность мощности.

Спектр плотности мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз будут иметь одинаковые спектры плотности мощности.

Данному сигналу соответствует единственный спектр плотности мощности. Обратное утверждение неверно: один и тот же спектр плотности мощности соответствует большому числу сигналов.