9. Дифференциальное уравнение волны

Получим дифференциальное уравнение волны; для этого найдём производные (4.46):

;

;

откуда

. (4.50)

Это уравнение волны, распространяющейся вдоль оси OX. Более общее уравнение такое:

, (4.51)

где – оператор Лапласа; . Волновому уравнению (4.51) удовлетворяет не только решение (4.46) – плоская волна, распространяющаяся вдоль положительного направления оси OX, но и (4.52) – волна бежит в отрицательном направлении оси OX; (4.53) – общий случай плоской волны; (4.54) – сферическая волна:

; (4.52)

; (4.53)

. (4.54)

10. Стоячие волны.

Пусть стержень длинойзакреплён у правого конца (). На левом конце () – источник упругих колебаний (рис.4.17), описываемых уравнением:

. (4.55)

Волна, добежав до правого закреплённого конца стержня, отражается и бежит в обратном направлении, отставая по фазе от первичной на (– путь волны по стержню и обратно; – потеря пол-длины волны при отражении):

. (4.55)

Результирующая волна:

. (4.56)

Переменные иразделилисьэто стоячая волна. Она не переносит энергии. Все точки колеблются в одной фазе, только с различной амплитудой, зависящей от координаты:

. (4.57)

Найдём узлы стоячей волны, то есть точки, где амплитуда равна нулю:

(– целое)

Рис.4.17

. (4.58)

Выражение (4.58) означает, что узлы стоячей волны расположены на расстоянии, кратном длине стоячей волны , от закреплённого конца стержня. Если второй конец свободен, там будет пучность (максимум) стоячей волны, и на длине стержня будет укладываться полуцелое число длин стоячих волн (рис.4.18, а):

;

а если второй конец закреплён, то целое (рис.4.18,b):

.

11. Скорость упругих волн.

Скорость продольных волн в упругой среде

; (4.59)

скорость поперечных волн в упругой среде

; (4.60)

скорость распространения волн по натянутой струне

. (4.61)

Здесь – плотность, –модуль Юнга, – модуль сдвига, – сила натяжения струны, – её сечение.

Найдём скорость звука в газе, исходя из (4.59). По закону Гука для упругой среды . Здесь механическое напряжение можно интерпретировать как дополнительное давление, возникающее при распространении волны:

,

аотносительная деформация столба газа(рис.4.19). Тогда

. (4.62)

Процесс можно считать адиабатическим (при достаточно больших частотах звука), тогда состояние газа подчиняется уравнению Пуассона: . Полный дифференциал константы есть ноль, поэтому. Сравнив с (4.62), получим:

. (4.63)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим выражение для плотности газа:. Подставим это выражение и (4.63) в (4.59):

.

. (4.64)