Дискретное преобразование Фурье

В предыдущем разделе было сказано, что при выполнении условия теоремы Котельникова отсчёты дискретного сигнала хранят всю информацию об исходном непрерывном сигнале, а значит и о его спектре. Поэтому спектр сигнала может быть найден и по его дискретным отсчётам, что даёт широкие возможности для анализа сигналов в цифровой обработке. Ранее было показано, что спектр периодического сигнала дискретный, то есть сигнал может быть разложен по определённым гармоникам. Дискретный сигнал имеет периодический спектр. Дискретный периодический сигнал будет иметь дискретный периодический спектр. Дискретный сигнал представляется в виде последовательности значений сигнала в фиксированные моменты времени. У периодического дискретного сигнала значенияпериодически повторяются через определённое количество отсчётов, то есть для любоговыполняется. Обычно дискретное преобразование Фурье сигнала, заданного отсчётами в виде вектораизэлементов, вычисляется по формуле:

(33)

Обратное преобразование Фурье по формуле:

(34)

Сравнивая (33) с (4) получаем, что комплексная амплитуда гармоники с номером естьи соответствует частотеили, что тоже самое, где частота квантования в герцах:,– период квантования, периодсчитается равным длительности записанного фрагмента сигнала.

В MATLAB дискретное преобразование Фурье выполняется с помощью команды fft (Fast Fourier Transform), которая производит вычисления по специальному алгоритму быстрого преобразования. Синтаксис команды:

y = fft(x)

y = fft(x, n)

y = fft(x, n, dim)

x – вектор с отсчётами сигнала;

y – вектор с результатом преобразования ;

n – необязательный параметр, определяющий количество отсчётов сигнала, используемое для выполнения преобразования. В этом случае вектор y будет состоять из n элементов;

dim – необязательный параметр, определяющий номер размерности, по которой выполняется преобразование. Используется, когда в переменной x содержится несколько сигналов, каждый в столбце или строке, на что указывает переменная dim.

Аналогичный интерфейс имеет команда, с помощью которой выполняется обратное преобразование:

x = ifft(y)

x = ifft(y, n)

x = ifft(н, n, dim)

Команда fft возвращает массив, в котором амплитуды гармоник соответствуют частотам гармоник в диапазоне , а не в, более привычным для восприятия. Вообще, если все значения вектораx вещественны, что характерно для любой измеряемой физической величины, то, как было показано выше (9), значение имеют только гармоники в диапазоне частот , а комплексные амплитуды из второй половины диапазона частот являются комплексно сопряжёнными с этими. Для того чтобы переставить местами вторую и первую половину элементов вектора используется командаfftshift.

Один из вариантов определить, каким частотам будут соответствовать гармоники после применения команды fftshift, воспользоваться формулой:

f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;

Растекание спектра

Предположим, что с помощью АЦП регистрируется периодический сигнал. Обычно длительность записанного сигнала не равна периоду сигнала или целому количеству периодов сигнала. Какие изменения произойдут в спектре сигнала, если выполнить дискретное преобразование Фурье записанного сигнала, длительность которого не равна целому числу периодов исходного сигнала?

Периодический сигнал имеет дискретный спектр, то есть он может быть представлен как линейная комбинация гармонических функций. Поэтому достаточно рассмотреть, какие изменения в спектре произойдут в спектре одной гармонической функции. В разделе про дискретное преобразование Фурье говорилось, что сигнал – это ровно один период сигнала. То есть в данном случае зарегистрированный отрезок периодического сигнала должен быть периодически продолжен, при этом периодом повторения должна быть длительность всей записи сигнала. Если длительность записи отлична от периода сигнала, который записывали, то при периодическом повторении записи сигнала произойдёт искажение формы сигнала, соответственно и его спектра.

Например, регистрировался синусоидальный сигнал с периодом, а длительность записи равна, причём, где– целое число. Тогда при периодическом повторении записи сигнала (рис. 3) появятся разрывы первого рода, так как значения сигнала в начале и конце записи разные.

Рис. 3. Периодически повторяющийся отрезок сигнала.

На рис. 3 сплошной линией показан отрезок записанного сигнала, а штрихованной линией его периодическое продолжение. Период повторения равен . Отрезок записанного сигнала можно также интерпретировать как исходный сигнал, свёрнутый с прямоугольным импульсом, определяющий отрезок времени, в который была сделана запись. Тогда согласно свойствам преобразования Фурье спектр записанного сигнала будет произведением исходного спектра со спектром прямоугольного импульса (рис. 4).

Рис. 4. Амплитудные спектры отрезков синусоиды, целое число периодов (сверху), нецелое (снизу).