- •2008 Г.
- •Введение
- •Вещественная форма ряда Фурье
- •Комплексная форма ряда Фурье
- •Спектр периодической функции
- •Преобразование Фурье
- •Свойства преобразования Фурье
- •Спектр дискретного сигнала
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Растекание спектра
- •Лабораторная установка и выполнение измерений
- •Задания
- •Приложение 1. Отрезок синусоиды
- •Литература
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
НАПРАВЛЕНИЕ
«ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА»
Описание лабораторной работы
Методы определения
спектральных характеристик
электрических сигналов
Санкт-Петербург
2008 Г.
Оглавление
Введение 3
Вещественная форма ряда Фурье 3
Комплексная форма ряда Фурье 4
Спектр периодической функции 5
Преобразование Фурье 6
Свойства преобразования Фурье 6
Спектр дискретного сигнала 8
Дискретное преобразование Фурье 11
Растекание спектра 13
Лабораторная установка и выполнение измерений 14
Задания 16
Приложение 1. Отрезок синусоиды 17
Литература 19
Введение
Данная работа является первой в цикле лабораторных работ в учебной лаборатории «Методов обработки и передачи информации» (МОПИ) физического факультета СПбГУ. Лаборатория выполняется на втором курсе и поддерживает курс лекций "Физические основы методов обработки и передачи информации". К этому времени курс уже прослушан студентами, лаборатория предназначена для закрепления и расширения знаний в этой области.
Представление о спектре сигнала необходимо для разработки устройств передачи информации, оно находит применение для косвенного измерения других физических величин, и просто расчёта электрической цепи. Знание спектра сигнала позволяет лучше понять его природу и не случайно цикл лабораторных работ начинается именно с этой работы.
Работа будет иметь и расчетный, и экспериментальный характер. Экспериментальная часть работы содержит важный инновационный элемент – применение цифровой обработки сигнала, оцифрованного с помощью системы сбора данных. Кроме того, вся расчетная часть работы, а также обработка результатов экспериментов выполняется на базе современного математического пакета МАТЛАБ и его дополнительной библиотеки – Signal Processing Toolbox. Используются заложенные в них возможности математического моделирования разнообразных типов сигналов, обработки данных.
Предполагается, что читатель знаком с основными приемами работы в этом пакете. Программы расчетов и различные дополнения будут отнесены в Приложения к работе.
Вещественная форма ряда Фурье
Рассмотрим периодическую функцию с периодом, равным:, где– любое целое число. При выполнении определенных условий эта функция может быть представлена в виде суммы, конечной или бесконечной, гармонических функций вида, период которых совпадает с периодом исходной функции, где– целое число,– константа. Линейная комбинация таких функций, называемая тригонометрическим полиномомN-го порядка, также будет иметь период, равный . Таким образом, мы будем решать задачу о разложении периодической функции в тригонометрический ряд:
(1)
Отдельное слагаемое этой суммы называетсяk-ой гармоникой функции . Наша задача заключается в том, чтобы подобрать такие коэффициентыи, при которых ряд (1) будет сходиться к заданной функции.
Слагаемые в (1) можно записать в другом виде, раскрыв косинус суммы:
(2)
где новые коэффициенты выражаются как ,и. Формула (2) называется вещественной формой тригонометрического ряда. Коэффициенты разложения в тригонометрический ряд Фурье:
(3)
Можно доказать, что тригонометрический ряд будет сходиться равномерно к функции , если сходятся рядыи. Это будет выполнено, если исходная функцияудовлетворяет условиям Дирихле:
функция имеет конечное число разрывов первого рода на периоде,
на периоде можно выделить конечное число отрезков, на которых функция изменяется монотонно.
Заметим, что для любых периодических электрических сигналов условие Дирихле выполняется. В точках разрыва ряд Фурье сходится к полусумме значений функции слева и справа от точки разрыва. В силу равномерной сходимости ряда каждый следующий его член вносит всё меньший вклад в сумму, поэтому функция может быть приближена с определённой точностью тригонометрическим полиномом порядкаN, то есть конечным числом слагаемых.