Установочная лекция по теме: «Колебания. Удар»

4.1. Основы теории колебаний

4.1.1. Классификация механических колебаний

Первое, что важно знать при исследовании колебательных движений упругих систем – число степеней свободы, т.е. число независимых переменных, необходимых и достаточных для описания состояния системы в любой момент времени.

В простейших случаях положение системы можно определить только одной величиной. Например, груз, подвешенный на пружине:

Число степеней свободы n=1.

Двумя степенями свободы обладает невесомая балка, несущая две массы:

Число степеней свободы n=2.

Балка с распределенной по всей длине массой обладает бесконечным числом степеней свободы:

Число степеней свободы n=

Различают следующие типы колебаний:

1. Свободные (собственные)– колебания, возникающие вследствие начального отклонения системы от положения равновесия, и происходящие только под действием сил упругости системы.

2. Вынужденные– колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил.

3. Параметрические– колебания, в процессе которых периодически изменяются параметры системы (например, при кручении стержня прямоугольного профиля, при потере устойчивости при пульсирующей нагрузке).

4. Автоколебания– колебания, возбуждаемые внешними силами, характер воздействия которых определяется самим колебательным процессом (например, колебания деформируемых тел в потоке жидкости или газа – флаттер).

Колебания классифицируют также по виду деформации. Так, для стержней различают продольные, поперечные и крутильные колебания.

4.1.2. Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы

Пусть тележка массой m, прикрепленная к стенке пружиной жесткостьюc, выводится из состояния равновесия кратковременным возмущением, действующим вдоль осиz.

На рассматриваемую систему действуют сила упругости и сила инерции(здесь– величина смещения тележки от положения равновесия,– ускорение). В соответствии с принципом Даламбера запишем сумму проекций сил на осьz:

,

.

Обозначим .

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивленияимеет вид:

.

Решение данного дифференциального уравнения можно представить в виде:

или

,

где – амплитуда,w– собственная частота колебаний упругой системы,j– начальная фаза.

Таким образом, свободные (собственные) колебания представляют собой простые гармонические колебания.

Запишем жесткость пружины в виде

,

где ₁₁–податливость упругой системы.

Тогда частота собственных колебаний

.

4.1.3. Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления

Добавим к числу сил, действующих на систему, силу сопротивления, пропорциональную скорости колебательного процесса :

Тогда сумма проекций сил на ось z:

,

.

Принято обозначать , гдеn–коэффициент затуханияколебаний.

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивленияимеет вид:

.

Общее решение данного дифференциального уравнения:

,

где .

Если в начальный момент времени при t = 0z = 0, то коэффициентC₂= 0, и уравнение колебательного процесса принимает вид– «синусоида» с уменьшающейся амплитудой:

Под периодомтакихколебанийпонимают время между двумя максимальными отклонениями:

.

Отношение двух последовательных максимальных амплитуд A_iиA_i+1равно

.

Логарифм этого отношения называетсялогарифмическимдекрементом колебательного процессаи являетсяосновной характеристикой затухания колебаний.

Рассмотрим природу сил сопротивления.

Различают силы внешнего сопротивления(трение в опорах, аэро- и гидродинамическое сопротивление) исилы внутреннего сопротивления(внутреннее трение, а также силы трения в сочленениях). К числу сил внешнего сопротивления относятся также специально создаваемые для гашения колебаний демпфирующие устройства.

По характеру зависимости сил сопротивления от обобщенных скоростей различают:

1 - силы линейного сопротивления;

2 - кулоново трение;

3 - сухое трение.

Если , то сила сопротивления совершает отрицательную работу, и происходит рассеивание энергии. Такая сила называется диссипативной.

Если , то происходит приток энергии в механическую систему, и сила называется силой отрицательного сопротивления.

Любой материал обладает демпфирующим свойством. Коэффициент демпфирования определяют при крутильных колебаниях по формуле:

,

где - первоначальный угол закручивания,- угол закручивания после 25 циклов крутильных колебаний.