Задачи для самостоятельного решения

Имеются статистические данные за ряд лет о доходах домашних хозяйств и их расходах на местный автотранспорт.

Таблица 7

Номер наблюдения, i	Доход домашнего хозяйства, ($)	Расходы домашнего хозяйства на местный автотранспорт, ($)
1	695,2	3,1
2	751,9	3,3
3	810,3	3,4
4	914	3,6
5	998,1	4
6	1096,2	4,4
7	1194,3	4,7
8	1313,5	5
9	1474,3	5,5
10	1650,5	6,2
11	1828,7	6,3
12	2040,9	6,2
13	2180,1	6,6
14	2333,2	6,6

1. Постройте линейную регрессионную модель связи переменных, где интерпретируется как объясняемая переменная, а – объясняющая, используя оценки наименьших квадратов.

2. Рассчитайте линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оцените статистическую значимость параметров регрессии и корреляции на уровне значимости α=0,05 с помощью -критерия Фишера и-критерия Стьюдента.

4. Выполните прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 110% от среднего уровня.

5. Оцените точность прогноза, рассчитав 95% доверительные интервалы для среднего и индивидуального значения объясняемой переменной при том же значении .

6. Найдите с надежностью 0,95 интервальные оценки параметров уравнения регрессии α и β.

7. На одном графике (графике подбора) постройте исходные данные и теоретическую прямую. Сделайте вывод.

Тестовые материалы

Задание 1. Значение коэффициента корреляции не характеризует…

1. корень из значения коэффициента детерминации;

2. тесноту связи;

3. силу связи;

4. статистическую значимость уравнения.

Задание 2. Если расчетное значение критерия Фишера больше табличного значения, то гипотеза о статистической значимости уравнения…

1. принимается;

2. отвергается;

3. не принимается;

4. не отвергается.

Задание 3. Если расчетное значение критерия Фишера меньше или равно табличному значению, то гипотеза о статистической не значимости уравнения…

1. не принимается;

2. не отвергается;

3. принимается;

4. отвергается.

Задание 4. Оценка значимости параметров уравнения регрессии осуществляется по…

1. критерию Фишера;

2. Стьюдента;

3. Дарбина-Уотсона;

4. Пирсона.

Задание 5. Общая дисперсия служит для оценки влияния…

1. учтенных в модели факторов;

2. случайных воздействий;

3. не учтенных в модели факторов;

4. как учтенных факторов, так и случайных воздействий.

Задание 6. Оценка значимости уравнения в целом осуществляется по критерию…

1. Стьюдента;

2. Фишера;

3. Дарбина-Уотсона;

4. Пирсона.

Задание 7. Фактораная дисперсия служит для оценки…

1. как учтенных факторов, так и случайных воздействий;

2. учтенных в модели факторов;

3. не учтенных в модели факторов;

4. случайных воздействий.

Задание 8. Минимальная дисперсия остатков характерна для оценок, обладающих свойством…

1. несостоятельности;

2. эффективности;

3. несмещенности;

4. состоятельности.

Задание 9. Остаточная дисперсия служит для оценки влияния…

1. учтенных явно в модели факторов;

2. величины постоянной составляющей в уравнении;

3. случайных воздействий;

4. как учтенных факторов, так и случайных воздействий.

Задание 10. Величина отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений представляет собой…

1. показатель эластичности;

2. ошибку корреляции;

3. значение критерия Фишера;

4. ошибку аппроксимации.

Задание 11. Для модели зависимости дохода населения (р.) от объема производства (млн. р.) получено уравнение y = 0.003x + 1200 + e. При изменении объема производства на 1 млн. р. Доход в среднем изменится на…

1. 1200 млн. руб.;

2. 0,003 млн. руб.;

3. 0,003 р.;

4. 1200 р.

Задание 12. В линейном уравнении парной регрессии коэффициентом регрессии является значение

1. переменной x;

2. параметра a;

3. параметров a и b;

4. параметра b.

Задание 13. Значение коэфициента корелляции равно 0,9. Следовательно, значение коэффициента детерминации равно…

1. 0,81;

2. 0,1;

3. 0,3;

4. 0,95.

Задание 14. Если предпосылки метода наименьших квадратов нарушены, то…

1. полученное уравнение статистически незначимо;

2. оценки параметров могут не обладать свойствами эффективности, состоятельности, несмещенности;

3. коэффициент регрессии является несущественным;

4. коэффициент корреляции является несущественным.

Задание 15. Расчетное значение критерия Фишера определяется как________факторной дисперсии и остаточной, рассчитанных на одну степень свободы.

1. произведение;

2. сумма;

3. отношение;

4. разность.

Задание 16. Математическое ожидание остатков равно нулю, если оценки параметров обладают свойством…

1. несмещенности;

2. эффективности;

3. смещенности;

4. состоятельности.

Задание 17. Случайный характер остатков предполагает…

1. зависимость остатков от величины предсказанных по модели значений результативного признака;

2. независимость остатков от величины предсказанных по модели значений результативного признака;

3. зависимость предсказанных по модели значений результативного признака от значений факторного признака;

4. независимость предсказанных по модели значений результативного признака от значений факторного признака;

Задание 18. При расчете коэффициента детерминации используется отношение…

1. математических ожиданий;

2. дисперсий;

3. остаточных величин;

4. параметров уравнения регрессии.

Задание 19. Если доверительный интервал для параметра проходит через точку ноль, следовательно…

1. параметр признается статистически значимым;

2. параметр является существенным;

3. параметр является несущественным;

4. значение параметра может принимать как отрицательные, так и положительные значения.

Задание 20. Смысл расчета средней ошибки аппроксимации состоит в определении среднего арифметического значения отклонений ε, выраженных в процентах от…

1. предсказанных значений случайных факторов;

2. фактических значений результативного признака;

3. наблюдаемых значений независимой переменной;

4. теоретических значений результативного признака.

Задание 21. Несмещенность оценки на практике означает …

1. невозможность перехода от точечного оценивания к интервальному;

2. что при большом числе выборочных оцениваний остатки не будут накапливаться;

3. уменьшение точности с увеличением объема выборки;

4. что найденное значение коэффициента регрессии нельзя рассматривать как среднее значение из возможно большего количества несмещенных оценок;

Задание 22. Оценки параметров, найденные при помощи метода наименьших квадратов обладают свойствами эффективности, состоятельности и несмещенности, если выполняются _________ метода наименьших квадратов.

1. альтернативные гипотезы;

2. допустимые значения;

3. нулевые гипотезы;

4. предпосылки.

Задание 23. Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного значения, то гипотеза о статистической не значимости уравнения…

1. отвергается;

2. несущественна;

3. принимается;

4. незначима.

Задание 24. Для уравнения y = 3,14 + 2x + ε значение коэффициента регрессии составило 2. Следовательно…

1. теснота связи в два раза сильнее, чем для функциональной связи;

2. связь функциональная;

3. при увеличении фактора на единицу значение результата увеличивается в 2 раза;

4. значение коэффициента корреляции рассчитано с ошибкой.

Задание 25. Оценки параметров уравнений регрессии при помощи метода наименьших квадратов находятся на основании решения…

1. системы нормальных уравнений;

2. уравнения регрессии;

3. системы нормальных неравенств;

4. двойственной задачи.

Задание 26. Значение коэффициента детерминации составило 0,9, следовательно…

1. уравнением регрессии объяснено 10% дисперсии результативного признака;

2. уравнением регрессии объяснено 90% дисперсии результативного признака;

3. доля дисперсии результативного признака, объясненная регрессией, в общей дисперсии результативного признака составила 0,1;

4. доля дисперсии факторного признака, объясненная регрессией, в общей дисперсии факторного признака составила 0,9.

Задание 27. Свойствами оценок МНК являются…

1. эффективность, состоятельность и смещенность;

2. эффективность, несостоятельность и несмещенность;

3. эффективность, состоятельность и несмещенность ;

4. эффективность, несостоятельность и смещенность.

Задание 28. Если оценка параметра эффективна, то это означает…

1. наименьшую дисперсию остатков;

2. уменьшение точности с увеличением объема выборки;

3. максимальную дисперсию остатков;

4. равенство нулю математического ожидания остатков.

Задание 29. Случайными воздействиями обусловлено 12% результативного признака, следовательно значение коэффициента детерминации составило…

1. 0,88;

2. 12;

3. 0,12;

4. 88.

Задание 30. В исходном соотношении МНК сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений…

1. приравнивается к системе нормальных уравнений;

2. минимизируется;

3. максимизируется;

4. приравнивается к нулю.

Задание 31. Качество подбора уравнения оценивает коэффициент…

1. регрессии;

2. эластичности;

3. корреляции;

4. детерминации.

Задание 32. Критические значения критерия Фишера определяются по…

1. уровню значимости и степеням свободы факторной и остаточной дисперсии;

2. уровню значимости и степени свободы общей дисперсии;

3. уровню значимости;

4. степеням свободы факторной и остаточной дисперсии;

Задание 33. Состоятельность оценки характеризуется…

1. уменьшением ее точности с увеличением объема выборки;

2. увеличением ее точности с увеличением объема выборки;

3. независимостью от объема выборки значения математического ожидания остатков;

4. зависимостью от объема выборки значения математического ожидания остатков;

Задание 34. Величина параметра a в уравнении парной линейной регрессии характеризует значение…

1. факторной переменной при нулевом значении случайного фактора;

2. факторной переменной при нулевом значении результата;

3. результирующей переменной при нулевом значении фактора;

4. результирующей переменной при нулевом значении случайной величины.

Задание 35. Доверительный интервал характеризует…

1. интервал значений параметра, куда с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра;

2. интервал значений фактора, куда с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра;

3. интервал значений результата, куда с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра;

4. интервал значений коэффициента корреляции, куда с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра.

Задание 36. При применении метода наименьших квадратов исследуются свойства…

1. оценок переменных и параметров уравнения регрессии;

2. оценок параметров уравнения регрессии;

3. оценок случайных величин уравнения регрессии;

4. оценок переменных уравнения регрессии.

Задание 37. Переход от точечного оценивания к интервальному возможен, если оценки являются…

1. эффективными и несмещенными;

2. состоятельными и смещенными;

3. неэффективными и состоятельными;

4. эффективными и несостоятельными.

Задание 38. Предпосылкой метода наименьших квадратов является …

1. отсутствие корреляции между результатом и фактором;

2. присутствие автокорреляции между результатом и фактором;

3. присутствие автокорреляции в остатках;

4. отсутствие автокорреляции в остатках.

Задание 39. Критерий Фишера используется для оценки значимости…

1. параметров;

2. коэффициента детерминации;

3. коэффициента регрессии;

4. построенного уравнения.

Задание 40. Стандартная ошибка рассчитывается для проверки существенности…

1. коэффициента корреляции;

2. параметра;

3. случайной величины;

4. коэффициента детерминации.

Задание 41. Увеличение точности оценок с увеличением объема выборки описывает свойство __________ оценки.

1. состоятельности;

2. смещенности;

3. несмещенности;

4. эффективности.

Задание 42. Расчет значений коэффициента детерминации не позволяет оценить…

1. существенность коэффициента регрессии;

2. долю остаточной дисперсии результативного признака в общей дисперсии результативного признака;

3. долю факторной дисперсии результативного признака в общей дисперсии результативного признака;

4. качество подбора уравнения регрессии.

Задание 43. Табличное значение критерия Фишера служит для…

1. проверки статистической гипотезы о равенстве факторной и остаточной дисперсии;

2. проверки статистической гипотезы о равенстве двух математических ожиданий;

3. проверки статистической гипотезы о равенстве математического ожидания некоторой гипотетической величине;

4. проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсии некоторой гипотетической величине.

Задание 44. В качестве показателя тесноты связи для линейного уравнения парной регрессии используется…

1. множественный коэффициент линейной корреляции;

2. линейный коэффициент корреляции;

3. линейный коэффициент регрессии;

4. линейный коэффициент детерминации.

Задание 45. Расчетное значение критерия Фишера определяется как отношение…

1. математических ожиданий;

2. дисперсий;

3. результата к фактору;

4. случайных величин.

Задание 46. Предпосылки метода наименьших квадратов исследуют поведение…

1. остаточных величин;

2. неслучайных величин;

3. переменных уравнения регрессии;

4. параметров уравнения регрессии.

Задание 47. Эффективность оценки на практике характеризуется…

1. невозможностью перехода от точечного оценивания к интервальному;

2. уменьшением точности с увеличением объема выборки;

3. возможностью перехода от точечного оценивания к интервальному;

4. отсутствием накапливаниязначений остатков при большом числе выборочных оцениваний.

Задание 48. В основе метода наименьших квадратов лежит…

1. минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его средних значений;

2. максимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений;

3. равенство нулю суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений;

4. минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений.

Задание 49. Значение индекса детерминации, рассчитывается как отношение дисперсии результативного признака, объясненной регрессией, к __________ дисперсии результативного признака

1. средней;

2. остаточной;

3. факторной;

4. общей.