2.1.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления достигается представлением цифр шестнадцатеричного числа четырехразрядными двоичными числами. Например,

.

При обратном переводе чисел необходимо разряды двоичного числа, отсчитывая их от запятой влево и вправо, разбить на группы по четыре разряда. Неполные крайние группы дополняются нулями. Затем каждая двоичная группа представляется цифрой шестнадцатеричной системы счисления. Например,

Рассмотрим перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Последовательно деля на 16 целую часть десятичного числа и образующиеся частные, получаем в последнем частном и остатках цифры всех разрядов шестнадцатеричного представления целой части числа. Например,

Аналогичным образом осуществляется перевод из десятичной системы счисления в двоичную:

Преобразование дробной части десятичного числа в шестнадцатеричную или двоичную системы счисления осуществляется последовательным умножением на основание системы (16 или 2) дробной части исходного десятичного числа и дробных частей образующихся произведений. При этом целые части полученных произведений будут являться цифрами новой системы счисления. Например,

2.2. Двоичная арифметика

Основной операцией, которая используется в цифровых устройствах при различных вычислениях, является операция алгебраического сложения чисел (сложения, в котором могут участвовать как положительные, так и отрицательные числа). Вычитание легко сводится к сложению путем изменения на обратный знака вычитаемого. Операции умножения и деления также выполняются с помощью операции сложения и некоторых логических действий.

2.2.1. Сложение положительных двоичных чисел

Выполнение этой операции рассмотрим на примере:

Цифры разрядов суммы формируются последовательно, начиная с младшего разряда. Цифра младшего разряда суммы образуется суммированием цифр младших разрядов слагаемых. При этом кроме цифры разряда суммы формируется цифра переноса в следующий, более старший разряд. Таким образом, в разрядах, начиная со второго, суммируются три цифры: цифры соответствующего разряда слагаемых и перенос, поступающий в данный разряд из предыдущего.

Перенос равен 1 во всех случаях, когда результат суммирования цифр в разряде равен или больше 2 (основание системы счисления). При этом в разряд суммы записывается цифра, на 2 единицы меньшая результата суммирования.

2.2.2. Алгебраическое сложение с использованием дополнительного кода

При записи кода числа знак числа представляется цифрами 0 (для положительных чисел) и 1 (для отрицательных чисел).

Для пояснения сущности излагаемого ниже метода сложения рассмотрим следующий пример. Пусть требуется сложить два десятичных числа 0 831₁₀ и 1 376₁₀. Так как второе слагаемое – отрицательное число, пользование обычным приемом вычитания потребовало бы последовательности действий с займами из старших разрядов. Предусматривать в цифровом устройстве дополнительно такую последовательность действий не обязательно. Достаточно отрицательное число 1 376₁₀ предварительно преобразовать в так называемый дополнительный код следующим образом: во всех разрядах, кроме знакового, запишем дополнение до 9 к цифрам этих разрядов и затем прибавим 1 в младший разряд. Число 1 376 в дополнительном коде есть 1 624.

Далее произведем сложение по правилам сложения с передачей переносов в старшие разряды (т.е. так, как складываются положительные числа). При сложении складываются и двоичные цифры знаковых разрядов с отбрасыванием возникающего из этого разряда переноса:

В двоичной системе счисления дополнительный код отрицательного числа формируется по следующему правилу: инвертируются (путем замены 0 на 1 и 1 на 0) цифры всех разрядов, кроме знакового, и в младший разряд прибавляется 1. Например, дополнительный код числа 1 10110₂ выглядит как 1 01010₂. Обратное преобразование из дополнительного кода в прямой код производится по тому же правилу.

Пример 2.1. Сложить положительное число 0 10110₂ и отрицательное число 1 01101₂.

Решение. Дополнительный код числа 1 01101₂ составит 1 10011, тогда сложение будет иметь вид

Как указывалось выше, перенос, возникающий из знакового разряда, отбрасывается. Если результат сложения есть отрицательное число, то оно оказывается в дополнительном коде.