Контрольные вопросы и задания
1. Объясните, что в цифровой электронной технике понимается под понятием кодовое слово. Что такое разряд кодового слова? Сколько комбинаций слов в 8-ми разрядном кодовом слове?
2. Дайте определение логическому (цифровому) устройству.
3. Перечислите и дайте объяснение 7-ми важнейшим логическим функциям двух переменных.
4. Докажите на выбор несколько из приведенных в п.1.1.2 теорем булевой алгебры.
5. Запишите совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) инверсии функции алгебры логики приведенной в комбинационной таблице в п.1.1.3.
6. Минимизируйте функцию вида
.
По полученной минимизированной функции нарисуйте структурную схему логического устройства. Сравните ее с рис. 1.2, приведенным в примере 1.2.
Глава 2. Арифметические основы цифровой техники
2.1. Системы счисления
Для представления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы.
Существующие системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. В непозиционных системах значение конкретной цифры постоянно и не зависит от ее расположения в записи числа. Примером такой системы счисления является Римская система записи числа. Например, в числе XXXVII значение цифры Х не зависит от ее местоположения в записи числа. Оно везде равно 10.
В позиционных системах счисления значимость конкретной цифры определяется ее местоположением в записи числа. Числа в таких системах счисления представляются последовательностью цифр (цифр разрядов), разделенных запятой на две группы: группу разрядов, изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную часть числа:
(2.1)
Здесь a0, a1, … обозначают цифры нулевого, первого и т.д. разрядов целой части числа, а-1, а-2, … – цифры первого, второго и т.д. разрядов дробной части числа.
Цифре разряда приписан вес pk, где p – основание системы счисления; k – номер разряда, равный индексу при обозначении цифр разрядов. Так, приведенная выше запись (2.1) означает следующее количество:
.
(2.2)
2.1.1. Десятичная, двоичная, шестнадцатеричная системы
Для представления цифр разрядов используется набор из p различных символов. Так, при p = 10 (т.е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2, … , 9. При этом запись 729,32410 (здесь и далее индекс при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее:
.
Используя такой принцип представления чисел, выбирая различные значения основания p, можно строить разнообразные системы счисления. На практике наряду с десятичной системой широкое распространение получили двоичные и шестнадцатеричные системы счисления.
В двоичной системе счисления основание системы p = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1. Следовательно, в двоичной системе счисления число представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 11011,1012 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:
.
В шестнадцатеричной системе счисления основание системы p = 16 и для записи цифр разрядов используется набор из 16 символов: 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F. В нем используются десять арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу A в десятичной системе счисления соответствует 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.
Запись AB9,C2F16 соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:
.
На практике также используют так называемую двоично-кодированную форму представления десятичных чисел. В этой форме при записи десятичного числа каждая цифра последнего представляется в двоичной форме. Например, число 765,9310 в двоично-кодированной десятичной системе представляется в следующем виде:
Следует заметить, что, несмотря на внешнее сходство двоично-кодированного десятичного числа, содержащего в разрядах лишь цифры 0 и 1, с двоичным числом, первое не является двоичным. Например, если целую часть приведенной выше записи рассматривать как двоичное число, то оно при переводе в десятичную форму означало бы 189310, что не совпадает с целой частью исходного числа 765.