Краткий конспект лекций

ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Краткий конспект лекций по аналитической геометрии предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине «Алгебра и геометрия». Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение	4
Лекция 1. Метод координат	5
Лекция 2. Прямые на плоскости	8
Лекция 3. Прямые в пространстве	12
Лекция 4. Плоскости в пространстве	14
Лекция 5. Кривые второго порядка	18
Контрольные вопросы	23

ВВЕДЕНИЕ

Краткий конспект лекций по аналитической геометрии предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине «Алгебра и геометрия». Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.

Лекция 1

Метод координат

Контрольные вопросы:

1. Расстояние между двумя точками ина плоскости.

2. Нахождение координат точки М, делящей в отношении λ заданный отрезок.

3. Нахождение площади треугольника по координатам его вершин.

Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости, пространства) и их координатами – действительными числами при помощи системы координат.

Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок.

Координатами точки М в системе координат Оху называются координаты радиус-вектора .

Расстояние между двумя точками ина плоскости вычисляется по формуле

. (1)

Координаты точки М, делящей в заданном отношении λ отрезок АВ, где ,,, находятся по формулам

, . (2)

Если λ = 1, т.е. точка М делит отрезок АВ пополам, получаются формулы координат середины отрезка

, . (3)

Площадь треугольника с вершинами ,,вычисляется по формуле

, где . (4)

Пример 1. Отрезок AB четырьмя точками разделён на пять равных частей. Определить координату ближайшей к A точки деления, если A(-3), B(7).

Решение.

Пусть - искомая точка; тогда.

Следовательно, по формуле находим, т.е.С(-1).

Пример 2. Известны точки А(1), В(5) – концы отрезка АВ; вне этого отрезка расположена точка С, причем ее расстояние от точки А в три раза больше расстояния от точки В. Определить координату точки С.

Решение.

Отметим, что . Таким образом,

, т.е. C(7).

Пример 3. Определить расстояние между точками и.

Решение.

По формуле (1) получим

Пример 4. Даны вершины треугольника АВС: ,,. Определить координаты точки пересечения медиан треугольника.

Решение.

Найдем координаты точки D – середины отрезка АВ; имеем ,. ТочкаМ, в которой пересекаются медианы, делит отрезок СD в отношении 2:1, считая от вершины С. Следовательно, координаты точки М можно определить по формулам

, ,

т.е.

, .

В результате получаем

, .

Пример 5. Определить площадь треугольника с вершинами: ,,.

Решение.

Используя формулу (4), получим

(кв.ед.).

Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-2;-5) параллельно прямой .

Решение.

Разрешив последнее уравнение относительно y, получим . Следовательно, в силу условия параллельности угловой коэффициент искомой прямой равен -3/4. Воспользовавшись уравнением, получаем, т.е..

Пример 7. Даны вершины треугольника: А(2; 2), В(-2; -8) и С (-6;-2). Составить уравнение медиан треугольника.

Решение.

Находим координаты середин сторон ВС, АС и АВ:

, ,

, ,

, ,

Уравнения медиан находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение медианы АА₁:

, или , т.е..

Находим уравнение медианы ВВ₁: поскольку точки В(-2; -8) и В₁(-2;0) имеют одинаковые абсциссы, медиана ВВ₁ параллельна оси ординат. Ее уравнение .

Уравнение медианы СС₁: , или.

Пример 8. Даны вершины треугольника: А(0; 1), В(6; 5) и С(12; -1). Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.

Решение.

По формуле найдем угловой коэффициент стороныАВ; имеем . В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент высоты, проведенной их вершиныС, равен -3/2. уравнение этой высоты имеет вид , или.

Лекция 2