а молярная теплоемкость

Таким образом, теплоемкость вырожденного Ферми-газа меньше теплоемкости

классического газа в меру малости отношения кТ/εF.

Выше мы определяли температуру вырождения для электронного газа, которая составила величину ~104. Температуру вырождения можно определить с.о.

так что при обычных температурах теплоемкость электронного газа оказывается примерно в сто раз меньше теплоемкости атомов. Понимание этого обстоятельства устранило одно из важнейших противоречий, с которыми столкнулась статистическая физика в конце 19-го и начале 20-го веков.

Электронная теория металлов была развита во второй половине 19-го века. Она исходила из предположения, что каждый атом одновалентного металла отдает свой валентный электрон, который может свободно перемещаться по всему кристаллу. Это представление оказалось весьма плодотворным. Оно позволило объяснить высокую электропроводность и теплопроводность металлов и вывести хорошо подтвержденный на опыте закон Видемана-Франца. Таким образом, существование свободных электронов в металлах было установлено экспериментально. Однако с точки зрения классической статистики электроны проводимости должны вести себя подобно одноатомному газу, вследствие чего теплоемкость металлов должна была бы быть значительно больше теплоемкости диэлектриков. Однако это противоречило эксперименту. Таким образом, возникло необъяснимое противоречие между опытом и самыми общими положениями классической статистики. Некоторые физики считали это противоречие настолько фундаментальным, что предлагали вообще отказаться от электронной теории металлов, несмотря на все ее успехи. Противоречие было устранено в 1928 году Зоммерфельдом, который показал, что если к электронному газу в металлах применить статистику Ферми, основанную на принципе Паули, то теплоемкость электронного газа оказывается пренебрежимо малой по сравнению с теплоемкостью атомов.

7 Черное излучение

Рассмотрим свойства электромагнитного излучения, находящегося в состоянии теплового равновесия. Такое равновесное излучение, называемое черным, является важнейшим примером Бозе-газа.

Черное излучение можно рассматривать как газ, состоящий из электромагнитных квантов - фотонов. Фотоны не взаимодействуют друг с другом, так что фотонный газ является идеальным. Если излучение находится не в вакууме, а в материальной среде, то условие идеальности газа требует также малости взаимодействия излучения с веществом. Это условие обычно выполняется в газах во всем спектре частот, за исключением частот, близких к линиям поглощения вещества.

Наличие некоторого количества вещества является необходимым для установления равновесия в излучении, поскольку взаимодействие между самими фотонами полностью отсутствует. Равновесие устанавливается в результате поглощения и испускания фотонов

атомами вещества. Это приводит к очень важному свойству фотонного газа: число частиц N является переменной величиной, а не постоянной, как в обычном газе. Поэтому N должно само определяться из условий теплового равновесия. В состоянии равновесия должен быть минимален соответствующий термодинамический потенциал. Если температура Т и объем V постоянны, то минимум имеет свободная энергия F, т.е. дифференциал свободной энергии (система в термостате)

Дифференциалы Т и V равны нулю, но dN¹ 0. Отсюда следует, что dF может быть равен нулю, только если

Таким образом, химический потенциал газа фотонов равен нулю.

Распределение фотонов по различным квантовым состояниям определяется распределением Бозе (18) с μ = 0 :

Это - распределение Планка.

Оценим число состояний фотона Энергия фотона е связана с его частотой ω соотношением

аего волновой вектор k связан с импульсом

p= k = c n

где с - скорость света, n - единичный вектор в направлении распространения фотона. Элемент фазового пространства

d=g 4 p2 dp

2 3

получим

d =V 2 d

2 c3

Умножая теперь это число на распределение Планка, получим число равновесных фотонов в интервале частот dw:

Умножение этого числа на энергию фотона дает энергию излучения в интервале частот между ω и ω + dω :

Это - формула Планка для спектрального распределения энергии черного излучения.

формула Планка переходит в формулу Рэлея - Джинса:

Эта формула не содержит квантовой постоянной h и может быть получена в результате умножения кТ на число состояний. В этом смысле она соответствует классической статистике, в которой согласно закону равнораспределения на каждую колебательную степень свободы приходится энергия кТ.

В обратном предельном случае высоких частот, где kT , формула Планка переходит в формулу Вина:

Запишем формулу Планка для плотности спектрального распределения, которая определяется как энергия излучения, приходящаяся на единичный интервал частот

Плотность спектрального распределения возрастает пропорционально ω2 при низких частотах и экспоненциально уменьшается пропорционально 3 exp /kT при высоких частотах. График функции изображен на рис. 3.

Рис. 3: Плотность спектрального распределения черного излучения

Эта функция имеет максимум при х = хт = 2.8. Это означает, что плотность спектрального распределения имеет максимум при частоте ωт, определяемой соотношением

Э этой формулы следует, что при повышении температуры положение максимума распределения смещается в сторону высоких частот пропорционально Т. Это правило называется законом смещения Вина.

Вычислим термодинамические функции черного излучения. Поскольку свободная энергия F связана с термодинамическим потенциалом Ω соотношением

а химический потенциал черного излучения равен нулю, то Ω и F совпадают:

F = Ω.

Термодинамический потенциал Ω для Бозе-газа определяется формулой

где константа G имеет вид

Здесь есть одна проблема: в константу входит масса частицы, она появилась вследствие того, что энергию задавали в виде:

ε=p2/2m

Вообще говоря, когда мы определяли распределение Гиббса, то у нас фигурировали импульсы и координаты. Поэтому соотношение (*) - это уже видоизмененный потенциал сообразно нашей задаче. Для того, чтобы получить правильную формулу нам нужно вернуться к такому виду, когда у нас подынтегральное выражение есть функция от импульса. Таким образом, чтобы исключить массу преобразуем подынтегральное выражение и сделаем

переход от ε к p , а затем учтем, что p= , =cp , =c

Это позволит преобразовать к виду

Здесь учтено что μ=0. Если ввести новую безразмерную переменную интегрирования

х, тогда формула принимает вид

Последний интеграл представляет собой число, равное —π4/45. С учетом этого получаем

Энтропия черного излучения

т.е. S~T3 пропорциональна кубу абсолютной температуры. Внутренняя энергия излучения

пропорциональна Т4 . Это - закон Болъцмана.

Уравнение состояния излучения получается из соотношений Ω = —PV и Е = —3Ω. Оно имеет вид

Последнее отличается от общего уравнения состояния Ферми- и Бозе-газов

Это кажущееся противоречие объясняется тем, что уравнение было получено для газов, состоящих из частиц с массой покоя т, энергия которых пропорциональна квадрату