Статфизика |
28 |
|||||
n |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
exp[ |
k − |
] |
||
|
|
kT |
||||
то при δ=0 – эта функция будет описывать распределение Больцмана. Если
exp[−kT ] 1
то можно пренебречь =±1 и получим распределение Больцмана. В начале лекции мы обсуждали что это приближение соответствует высоким температурам T>>T0. Если
exp[−kT ]~1
то говорят, что газ вырожден. величина exp[−kT ] называется фактором вырождения, а температура Т0 определяемая формулой (0) – температура вырождения.
Т 0= h2 n2 /3 2 mk
Так например, в случае
а) электронного газа в металлах m=9×10-28 г, n~1022 см-3 , Т0~104K
а) электронного газа в полупроводниках m=9×10-28 г, n~1017 см-3 , Т0~10K а) обычный газ m=9×10-24 г, n~3×1019 см-3 , Т0~0.02K
Т.е электронный газ в металле вырожден, тогда как в двух других случаях газ можно считать больцмановским.
5. Ферми- и Бозе-газы элементарных частиц
Рассмотрим идеальный газ, состоящий из элементарных частиц или частиц, которые в данных условиях можно считать элементарными. Это может быть газ электронов, фотонов, фононов или других элементарных возбуждений в кристаллах.
В отсутствие внешнего поля энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое всегда квазиклассично. Поэтому
и мы можем перейти от распределения по квантовым состояниям к распределению по фазовому пространству частицы.
Число частиц в элементе фазового объема dτ
(1)
где g = 2s + 1, s - спин частицы, g - степень вырождения, равная числу возможных проекций
Статфизика |
29 |
спина на некоторое заданное направление. Если частицы не имеют спина, s = 0, то g = 1. Для электронов s = 1/2 и g = 2.
Это выражение не зависит от координат. Поэтому интегрирование его по dV сводится к умножению на V.
Энергия частицы ε зависит только от квадрата ее импульса р и не зависит от направления р. Поэтому мы можем перейти к сферическим координатам в пространстве импульсов и проинтегрировать распределение (1) по всем возможным направлениям вектора р. В результате получаем распределение по абсолютной величине импульса р:
(2)
Если учесть, что p= 2m , то из (2) получим распределение по энергии частицы 
(3)
(4)
Интегрируя (3) по ε получим полное число частиц
∞ |
|
|
|
|
|
|
d |
||||||
N =VG∫ |
||||||
exp[ − |
|
]±1 |
||||
0 |
||||||
kT |
||||||
Сравним это соотношение с формулой (8)
N =∑ |
1 |
|
exp k /kT ±1 |
||
k |
Т.е. переход от суммирования по квантовым состояниям к интегрированию по энергии частицы проводится с помощью замены
∑ f k VG∫ f d
k
Поэтому в выражении для Ω, можно перейти от суммирования по к к интегрированию по ε :
Преобразуем этот интеграл. Имеем
В результате выражение для потенциала Ω, можно представить в форме
Статфизика |
30 |
(5)
Вычислим теперь полную энергию газа Е. Для этого умножим ε на dNε и проинтегрируем по ε от 0 до ∞:
(6) Сравнение (5) с (6) показывает, что
и, следовательно,
Это - уравнение состояния Ферми- и Бозе-газов.
В предельном случае больцмановского газа Е = 3/2NkT и полученное уравнение состояния переходит в уравнение Клапейрона-Менделева.
С помощью общих формул для энергии газа Е и числа частиц N можно получить уравнение состояния в области температур, где свойства квантового газа еще мало отличаются от свойств классического газа, т.е. где вырождение является слабым. В этом случае разложение
вформулах для Е и N по малому параметру exp / kT
и ограничиться двумя первыми членами разложения
Единица в квадратных скобках соответствует энергии газа в классическом пределе, а второе слагаемое представляет поправку, обусловленную неразличимостью тождественных частиц. Эта поправка является малой
При выполнении этого неравенства химический потенциал оказывается большой отрицательной величиной и свойства газа можно приближенно описывать распределением Больцмана.
Вырождение, обусловленное обменным взаимодействием, приводит к поправкам, которые имеют разные знаки для Ферми- и Бозе-газов. Энергия и, следовательно, давление Фермигаза увеличиваются по сравнению с их значениями в классическом пределе. Другими словами, квантовомеханические обменные эффекты в Ферми-газе приводят к появлению "отталкивания"между частицами (это является следствием принципа Паули: невозможность нахождения двух частиц в одном состоянии эквивалентна отталкиванию). В статистике Бозе значения энергии и давления отклоняются в обратную сторону - в сторону уменьшения по сравнению с классическими значениями. В этом случае между частицами как бы появляется "притяжение".
Статфизика |
31 |
6 Вырожденный электронный газ
Свойства вырожденного Ферми-газа резко отличаются от свойств больцмановского газа. Это отличие особенно проявляется в условиях сильного вырождения, которое наступает при низких температурах. Под низкими в данном случае следует понимать такие, при которых энергия теплового движения kТ много меньше химического потенциала. С обычной точки зрения это могут быть весьма высокие температуры.
Наиболее важным примером Ферми-газа является электронный газ. Спин электрона s = 1/2, так что величина g = 2. Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры.
Рассмотрим функцию распределения Ферми
Устремим Т —> 0. Очевидно, что при ε < μ экспонента в знаменателе обращается в нуль, так что п(ε) = 1, т.е. все состояния с энергиями, меньшими μ, оказываются заполненными. Наоборот, при ε > μ экспонента обращается в бесконечность, а п (ε) - в нуль, так что эти состояния оказываются полностью свободными. Таким образом, значение химпотенциала μ при Т = 0 и представляет собой граничную энергию электронов, которую назовем энергией Ферми т.е.
При этом функция Ферми имеет вид ступеньки единичной высоты:
Рис. 1: Функция Ферми при Т=0
В этом случае говорят, что электронный газ полностью вырожден. В полностью вырожденном газе электроны распределяются по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не больше одного электрона, то электроны занимают все состояния с энергиями от наименьшей (нулевой) до некоторой наибольшей равной энергии Ферми.
Вычислим энергию Ферми и импульс Ферми и покажем, что их величина определяется концентрацией электронного газа.
Число электронов с абсолютной величиной импульса в интервале от р до р + dp, причем p<pF равно
dN p =g |
4 p2 dpV |
lim |
1 |
|
|
=g |
4 p2 dpV |
|
|
2 3 |
1 exp |
− |
|
2 3 |
(1) |
||||
|
T 0 |
|
|||||||
|
|
|
kT |
|
|
|
Статистический вес электрона g = 2. Чтобы получить полное число квантовых состояний проинтегрируем это выражение
Статфизика
pF
N =∫dN p
0
Отсюда находим граничный импульс Ферми
где n=N/V – число частиц в единице объема. Соответствующая ему граничная энергия Ферми есть
p2
F =2 mF
Полная энергия электронного газа
pF p2
E=∫0 2m dN p
или, подставляя сюда значение рF,
Подставляя это выражение в уравнение состояния
PV = 2/3Е ,
находим давление полностью вырожденного электронного газа:
32
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) Таким образом, при абсолютном нуле температуры давление электронного газа оказывается пропорциональным его плотности п в степени 5/3.
Используя определение энергии Ферми рF , выражение для полной энергии газа Е можно записать также в форме
Полученные формулы применимы не только при Т = 0, но и при конечных достаточно низких температурах. Они приближенно справедливы, если энергия кТ мала по сравнению с граничной энергией Ферми εF :
Это - условие сильного вырождения. (это соотношение выписано с точностью до константы)
При абсолютном нуле температуры функция Ферми п(ε) имеет вид ступеньки (см.
Статфизика |
33 |
рис. 1). При температурах, малых по сравнению с температурой |
вырождения |
(кТ <εF), функция Ферми заметно отличается от ступеньки только в узком интервале значений энергии, близких к граничной энергии εF. Тепловое движение электронов приводит к "размытию"ступеньки (рис. 2). Ширина этой области размытия - порядка
кТ.
Рис. 2: Функция Ферми при температуре Т
Полученное выше выражение для Е при Т = 0, представляет первый член разложения полной энергии Ферми-газа по степеням малого параметра кТ/εF. Порядок величины следующего члена разложения можно определить следующим образом. При конечной температуре часть электронов, находившихся в состояниях с энергиями вблизи края ступеньки, переходит в состояния с ε > εF. Относительная доля этих электронов
так что
Соответствующее увеличение энергии Ферми-газа
Таким образом, энергия Ферми-газа при температуре Т есть
Выражение для Е (Т) можно записать в форме
здесь а - численный коэффициент. Точный расчет дает для а значение
Таким образом, энергия электронного Ферми-газа есть
Теплоемкость Ферми-газа при постоянном объеме равна