матан

§13. Теорема Вейерштрасса (о равномерном приближении непрерывной функции многочленами)

ТЕОРЕМА 13.1 (Вейерштрасса). Всякая непрерывная

на отрезке [a, b] функция может быть равномерно при-

n

ближена на этом отрезке многочленами αkxk или, го-

k=0

воря иначе, система функций 1, x, x2, x3, ... полна в пространстве всех непрерывных на [a, b] функций.

Доказательство. Докажем сначала данное утверждение для отрезка [−1, 1]. Пусть f(x) — непрерывная на [−1, 1] функция. Тогда f(cos t) — непрерывная функция на [0, π]. Так как система функций 1, cos t, cos 2t, ... полна в пространстве непрерывных на [0, π] функций, то для любого ε > 0 существует четный тригонометрический многочлен

Tn(t) = α20 + n αk cos kt

k=1

такой, что

|f(cos t) − Tn(t)| < ε

для всех t [0, π]. Однако, согласно предыдущему параграфу, многочлен Tn(t) можно записать в виде Tn(t) = Pn(cos t), где Pn(x) — алгебраический многочлен степени n. Таким образом,

|f(cos t) − Pn(cos t)| < ε

для всех t [0, π], или

|f(x) − Pn(x)| < ε

для всех x [−1, 1]. Таким образом теорема для отрезка [−1, 1] доказана. Рассмотрим общий случай непрерывной на [a, b] функции f(x). Сделаем подстановку

x = a + b −2 a(z + 1),

взаимно однозначно и непрерывно переводящую отрезок [−1, 1] в [a, b]. Тогда функция F (z) = f(a+ b−2a(z+1)) непрерывна на

[−1, 1] и, по доказанному выше, существует многочлен Pn(z) такой, что

|F (z) − Pn(z)| < ε

превращает определенную функцию F (z) в функцию f(x) на [a, b], а многочлен Pn(z) в некоторый новый многочлен

заданый на [a, b]. Для них имеем

|f(x) − Rn(x)| < ε

для всех x [a, b], что и требовалось доказать.

§14. Другие доказательства теоремы Вейерштрасса.

Приведенное выше доказательство принадлежит Л. Фейеру. Ниже мы приводим доказательство аппроксимационной теоремы Вейерштрасса, принадлежащее С.Н. Бернштейну.

ТЕОРЕМА 14.1. Для произвольной функции f C[0, 1] последовательность полиномов

равномерно на [0, 1] сходится к f при n → ∞.

Доказательство. Продифференцируем при n ≥ 2 дважды по переменной a тождество

414 Глава 16. Ряды Фурье

Первое из равенств умножим на a, а второе — на a2 и по-

Теперь очевидно, что при достаточно больших n правая часть соотношения станет меньше 2ε сразу для всех x [0, 1].

Полиномы Bn называются полиномами Бернштейна или, по предложению Н.Н. Лузина — изящными.

Интересно заметить, что только до 1913 года свои доказательства теоремы Вейерштрасса были предложены Лебегом, Пикаром, Фрагменом, Миттаг – Леффлером, Лерчем, Вольтерра. См. препринт Р.М. Тригуба "Вокруг аппроксимационной теоремы К. Вейерштрасса", стр. 19, Донецк: изд-во ДонГУ, 2005.

§15. Замкнутость тригонометрической системы функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15.1. Если для каждой непрерывной (интегрируемой) на [a, b] функции f(x) выполнено условие замкнутости, иначе говоря, справедливо равенство Парсеваля

то ортонормированная система функций {ωn(x)} называется замкнутой. Здесь {αn} — коэффициенты Фурье функции f(x) в системе {ωn(x)}∞n=0.

ТЕОРЕМА 15.1. Тригонометрическая система функций 1, cos x, sin x, ... является замкнутой на [−π, π].

Доказательство. Пусть f(x) — произвольная непрерывная на [−π, π] функция, а Sn(x) — частичные суммы ее ряда Фурье. Система замкнута тогда и только тогда (см. параграф "Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля."), когда

π

−π

Рассмотрим вспомогательную функцию

где k, b = const выбраны так, чтобы f˜(x) была непрерывной на [−π, π] и принимала на его концах равные значения, т. е.

k(−π) + b = f(π),

k(−π + α) + b = f(−π + α).

Продолжим f˜(x) по периодичности на всю числовую прямую.

˜

Обозначим через Sn(x) частичную сумму ряда Фурье функции f˜. Заметим, что

−π

Зададим произвольно ε > 0. Из неравенства (3) сразу следует, что найдется число N1(ε), такое, что при n > N1(ε) второе слагаемое в (2) будет меньше 3ε .

Таким образом, для всех n > max{N1(ε), N2(ε), N3(ε)} из неравенства (2) получаем

π

(Sn(x) − f(x))2dx < 3ε + 3ε + 3ε = ε,

−π

что доказывает теорему.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что равенство (1) имеет место для кусочно-непрерывных функций на отрезке [−π, π].

УПРАЖНЕНИЕ 2. Попробуйте доказать приведенное выше утверждение для интегрируемых с квадратом функций.

Заметим, что строгое доказательство (для ограниченных функций) впервые было дано А.М. Ляпуновым10.

§16. Комплексная форма записи ряда Фурье

ЗАМЕЧАНИЕ. Напомним формулу Эйлера

eiτ = cos τ + i sin τ.

Отсюда, учитывая

e−iτ = cos τ − i sin τ,

Пусть ak, bk — коэффициенты Фурье кусочно-непрерывной функции f(x). На основании формулы Эйлера имеем:

10Ляпунов Александр Михайлович (6.6.1857 – 3.11.1918) – русский математик и механик, академик Петербургской АН (1901). Род. в Ярославле. Окончил Петербургский университет. Работал в Харьковском и Петербургском университетах. Один из создателей современной теории устойчивости. Получил ряд фундаментальных результатов в области дифференциальных уравнений, математической физики, теории вероятностей.

Из формулы (1) получаем

Таким образом коэффициенты ck вычисляются по единой формуле для всех k.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если f(x) — действительно-значная функция, то коэффициенты ak, bk—действительные, а числа ck, c−k хотя и комплексные, но комплексно сопряжены, т. е.

Обратно (проверьте!), комплексная сопряженность ck, c−k влечет за собой действительность коэффициентов Фурье ak, bk у функции f(x).

Учитывая (1) выводим, что n-ая частичная сумма ряда Фурье функции f(x) может быть записана в виде

Будем говорить, что ряд (5) сходится при данном значении x, если существует

образуют ортонормированную систему функций на [0, 2π]. Действительно (проверьте!),

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16.1. Числа ck, определяемые формулой (2), называются коэффициентами Фурье функции f(x) в си-

стеме

{eikx}kk==∞−∞. (7)

Ряд (5), полученный из обычного тригонометрического ряда Фурье, является рядом Фурье функции f(x) в системе (6). Его называют тригонометрическим рядом Фурье функции f(x) в комплексной форме записи.

§17. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Пусть y = f(x) — непрерывная, 2π–периодическая функция с кусочно-непрерывной производной. Применяя формулу интегрирования по частям, для всех k = ±1, ±2, ... имеем:

— коэффициенты Фурье производной f (x).

ЗАМЕЧАНИЕ. Ранее нами была доказана формула интегрирования по частям для функций, имеющих непрерывную производную. Та же формула верна и для функции с кусочнонепрерывной производной (проверить!).

Если функция f(x) является 2π–периодической и имеет кусочно-непрерывную производную порядка s > 1, то процесс интегрирования по частям (1) можно повторить s раз, и