Lektsii_1-50

2.4Наибольший общий делитель системы многочленов

Определение 3. Общий делитель системы многочленов f1(x), f2(x), : : :, fk(x) это многочлен, на который делится каждый из многочленов этой системы.

Пример 3. x ¡ 1 общий делитель системы многочленов x2 ¡ 1, x3 ¡ 1, x4 ¡ 1 и x2 ¡ 3x + 2.

Определение 4. Наибольщий общий делитель системы многочленов f1(x), f2(x), : : :, fk(x) это общий делитель этой системы многочленов, имеющий наибольшую степень.

Запись: НОД(f1(x); f2(x); : : : ; fk(x).

Замечание 0. НОД определен с точностью до постоянного множителя.

Лемма 7 Пусть f(x) = g(x)q(x) + r(x). Тогда:

1)Общий делитель пары многочленов f(x), g(x) является общим делителем пары g(x), r(x) и наоборот.

2)Множество общих делителей пары многочленов f(x), g(x) совпадает с множеством общих делителей g(x), r(x).

3)НОД(f(x); g(x)) = НОД(g(x); r(x)).

Для целых чисел верна аналогичная лемма.

Задача. Найти НОД чисел a = 201120122013 и b = 201020112012. Разложение на множители получить сложно:

a = 3 ¢ 23 ¢ 2 914 784 377; b = 22 ¢ 3 ¢ 16 751 676 001:

Другой способ решения. Разделим a на b с остатком: a = b ¢ 1 + c, где c = 100010001. По лемме НОД(a; b) = НОД(b; c). Разложить на простые множители c проще, чем a и b:

c = 3 ¢ 7 ¢ 13 ¢ 37 ¢ 9901:

Теперь несложно завершить решение.

11

2.5Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида позволяет найти d(x) = НОД(f(x); g(x)) по заданным многочленам f(x) и g(x). Для этого проводим деления с остатком до тех тех пор, пока не получим остаток, являющийся нулевым многочленом:

Потребуется конечное число делений, поскольку степени остатков строго убывают и неотрицательны.

Пример 4. Найдем НОД многочленов f(x) = 2x4 ¡ 3x3 ¡ 2x2 + 2x ¡ 1 и g(x) = 2x3 ¡ x2 ¡ 4x ¡ 1.

Решение. Проводим деления с остатком (до получения нулевого остатка):

В итоге получаем НОД(f(x); g(x)) = x + 1.

Алгоритм Евклида можно применять и для поиска НОД двух целых чисел. Вернемся к рассмотренной выше задаче. Проводим деления с остатком:

Следовательно, НОД(a; b) = 3.

Алгоритм Евклида можно применять и для поиска НОД двух целых чисел.

Задача. Найти НОД чисел a = 20112012 и b = 20102011. Разложение на множители чисел a и b получить сложно:

a = 22 ¢ 32 ¢ 421 ¢ 1 327; b = 443 ¢ 45 377:

12

Применим к числам a и b алгоритм Евклида:

Следовательно, НОД(a; b) = 1.

Расширенный алгоритм Евклида

Предложение 17 Пусть d(x) НОД многочленов f(x) и g(x) (с действительными или комплексными коэффициентами). Тогда найдутся многочлены u(x) и v(x) для которых

d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x):

Пример для целых чисел a = 67, b = 30.

Теперь выражаем через a и b остатки, полученные при делениях в алгоритме Евклида:

1)7 = a ¡ 2b.

2)2 = b ¡ 7 ¢ 4 = b ¡ (a ¡ 2b) ¢ 4 = ¡4a + 9b.

3)1 = 7 ¡ 2 ¢ 3 = (a ¡ 2b) ¡ (¡4a + 9b) ¢ 3 = 13a ¡ 29b

Пример для многочленов.

В выражаем через f(x) и g(x) остатки, полученные при делениях в алгоритме Евклида:

1)r1(x) = x2 ¡ x ¡ 2 = f(x) ¡ g(x) ¢ (x + 1).

2)r2(x) = g(x)¡(x2¡x¡2)(x+1) = g(x)¡[f(x)¡g(x)¢(x+1)](x+1) = :::

Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби Задача 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 7¡1p3. Ясно, что надо умножить числитель и знаменатель на сопряженный к

знаменателю множитель 7 + p3.

13

1

Задача 2. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби p25¡p5+2. Как найти сопряженный множитель?

3 3

Предложение 18 Пусть f(x) и g(x) взаимно простые многочлены с целыми коэффициентами, ® корень многочлена f(x) и A = . Пусть

Выражаем число 58 через f(x) и g(x):

f(x) ¢ (x ¡ 8) + g(x) ¢ (¡x2 + 7x + 9) = 58:

p

Подставляем в равенство x = ®, где ® = 3 5, и учитываем, что f(®) = 0:

2.6Кратные корни многочлена

Определение 5. Число x0 называется корнем кратности k многочлена f(x), если f(x) делится на (x ¡ x0)k, но не делится на (x ¡ x0)k+1.

Иными словами, найдется многочлен g(x), для которого f(x) = (x ¡ x0)k ¢ g(x)

и степень k нельзя увеличить.

Пример 5. Многочлен f(x) = (x ¡1)2 ¢(x + 2) ¢(x + 4)3 имеет корень x = 1 кратности 2, корень x = ¡2 кратности 1 и корень x = ¡4 кратности 3.

Корень, кратность которого ¸ 2, называется кратным корнем; корень кратности 1 это обычный корень. Поэтому корни x = 1 и x = ¡4 в последнем примере кратные, а корень x = ¡2 обычный.

14

Пример 6. Найти кратность корня x = ¡1 многочлена

f(x) = x4 + 2x3 ¡ 8x2 ¡ 18x ¡ 9:

Применяя кратную схему Горнера, получаем f(x) = (x+1)2(x2 ¡9). Поэтому кратность корня x = ¡1 равна 2.

Для целых чисел можно сформулировать сходную задачу: с каким показателем входит число 2 в разложение числа 1960 на простые множители? Ясно, что надо делить исходное число 1960 на 2 до тех пор, пока деление будет происходить нацело. Отметим, что 1960 = 23 ¢ 5 ¢ 72.

Предложение 19 Пусть x0 корень кратности k ¸ 2 многочлена f(x). Тогда x0 корень кратности k ¡ 1 многочлена f0(x).

Пример 7. Найти кратные корни многочлена f(x) = x3 ¡ 3x2 + 4. Находим f0(x) = 3x2 ¡ 6x и приравниваем нулю. ...

f(x) = (x ¡ 2)2 ¢ (x + 1).

Предложение 20 Пусть x0 корень кратности k ¸ 2 многочлена f(x). Тогда f(x0) = 0, f0(x0) = 0, : : : , f(k¡1)(x0) = 0.

Доказательство. Случай k = 4.

Отметим, что последнее предложение можно обратить.

Предложение 21 Пусть x0 корень кратности k ¸ 2 многочлена f(x). Пусть d(x) = НОД(f(x); f0(x)) Тогда d(x0) = 0.

Многочлен d(x) обычно находит с помощью алгоритма Евклида.

2.7Основная теорема алгебры

Теорема 3 Многочлен положительной степени с комплексными коэффициетами имеет хотя бы один комплексный корень.

Теорема 4 Многочлен f(x) степени n ¸ 1 с комплексными коэффициентами может быть представлен в виде

f(x) = a0(x ¡ x1)(x ¡ x2) : : : (x ¡ xn);

где a0 старший коэффициент, а x1, x2, : : :, xn корни многочлена.

15

Следствие 4 Пусть f(x) многочлен с комплексными коэффициентами. Тогда число его комплексных корней (с учетом их кратности) равно степени многочлена.

Пример 8. Многочлен f(x) = (x + 1 + i)3 ¢ (x + 3 ¡ 5i) ¢ (x ¡ 2)4 имеет корень x = ¡1 ¡ i кратности 3, корень x = ¡3 + 5i кратности 1 и корень x = 2 кратности 4. Сумма кратностей корней 3 + 1 + 4 = 8, что совпадает со степенью многочлена f(x). В то же время число различных корней этого многочлена меньше степени многочлена.

Последнее следствие нельзя перенести на многочлены с действительными коэффициентами. Например, многочлен f(x) = x5 + 1 имеет степень 5 и только один действительный корень x = ¡1 кратности 1.

2.8Формулы Виета

Формулы Виета связывают значения корней многочлена со значениями его коэффициентов.

Соответствующие формулы Виета можно выписать для многочленов степени 4, 5 и т. д. .

Задача. Найти сумму квадратов всех комплексных корней следующих уравнений: а) 2x2 ¡ 17x + 29 = 0; б) 5x3 ¡ 6x2 + 11x ¡ 21 = 0. Найти также сумму величин, обратных корням этих уравнений.

16

Схема решения. Надо воспользоваться тождествами

а также формулами Виета.

2.9Многочлены над R

Лемма 8 Пусть f(x) многочлен с действительными коэффициентами и z = a + bi его комплексный корень. Тогда z = a ¡ bi также является корнем.

Теорема 5 Многочлен f(x) степени n ¸ 1 с действительными коэффициетами может быть представлен в виде произведения множителей первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Вид множителей: ax + b и x2 + px + q, где a 6= 0, p2 ¡ 4q > 0.

2.10Рациональные корни многочлена

Теорема 6 Пусть f(x) многочлен с целыми коэффициентами и x0 = = pqего рациональный корень. Пусть числа p и q целые, а дробь pq несократима. Тогда p делитель свободного члена, а q делитель старшего коэффициента.

Можно также считать, что знаменатель q дроби pq положителен.

Пример 9. Рациональные корни многочлена

f(x) = 2x4 ¡ x3 ¡ x2 ¡ x ¡ 3

надо искать в виде x0 = pq , где p принимает значения §1; §3, а q значения 1 или 2. Отметим, что f(x) имеет только два рациональных корня x1 = ¡1 и x2 = 32. Отметим также, что f(x) можно представить в виде f(x) = (2x ¡

3)(x + 1)(x2 + 1).

17

2.11Целые корни многочлена

Теорема 7 Пусть f(x) многочлен с целыми коэффициентами и x0 его целый корень. Тогда x0 делитель свободного члена.

Пример 10. Целые корни многочлена

f(x) = 6x5 ¡ x4 + 11x3 ¡ 5x2 + 3x + 8

надо искать среди чисел §1; §2; §4; §8.

2.12Числовые кольца и поля

Числовым кольцом называется накое непустое подмножество S множества комплексных чисел, которое замкнуто относильно операций сложения, вычитания и умножения, то есть S удовлетворяет следующему условию:

Если a; b 2 S, то a + b 2 S, a ¡ b 2 S и ab 2 S.

Примеры числовых колец:

а) Кольцо Z целых чисел.

б) Кольцо nZ = f: : : ; ¡2n; ¡n; 0; n; 2n; : : :g целых чисел, кратных заданному целому числу n > 1.

в) Кольцо рациональных чисел со знаменателями вида 2n. г) Кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида a + bi,

где a и b целые, а i мнимая единица.

Множество действительных чисел отрезка [0; 1] числовой прямой кольца не образует, поскольку оно не замнуто относительно сложения (например, числа 0:6 и 0:7 лежат на этом отрезке, а их сумма не лежит). Множество N = f1; 2; 3; : : :g натуральных чисел также не образует кольца, поскольку оно не замнуто относительно вычитания (так, 2; 3 2 N, но 2 ¡ 3 = ¡1 2= N). Не образует кольца и множество полуцелых чисел

( )

: : : ; ¡52; ¡2; ¡32; ¡1; ¡12; 0; 12; 1; 32; 2; 52; : : : :

Например, числа 12 и 32 являются полуцелыми, а их произведение 12 ¢ 32 = 34 не будет полуцелым.

18

Предложение 24 Числовое кольцо S содержит число 0 и вместе с каждым числом a содержит противоположное число (¡a).

Доказательство. Выберем произвольное число b 2 S. Тогда b ¡ b 2 S, поэтому 0 2 S. Пусть a 2 S. Тогда 0 ¡ a = ¡a 2 S.

Числовое кольцо S называют числовым полем, если вместе с каждым ненулевым элементом оно содержит и его обратный элемент, то есть выполнено следующее свойство:

Если a 2 S и a 6= 0, то a¡1 2 S.

Ясно, что всякое числовое поле является в то же время и числовым кольцом, но не всякое кольцо является полем.

Примеры числовых полей: а) Поле C комплексных чисел. б) Поле R действительных чисел. в) Поле Q рациональных чисел.

Отметим, что в алгебре рассматриваются также кольца и поля, не являющиеся числовыми. Приведем некоторые примеры:

а) Кольцо многочленов от переменной x с действительными коэффициентами.

б) Кольцо вещественных функций, непрерывных на числовой прямой.

в) Поле рациональных дробей, то есть дробей вида

где f(x) и g(x) многочлены с действительными коэффициентами.

2.13Приводимые и неприводимые многочлены

Пусть задан многочлен f(x) положительной степени с коэффициентами из некоторого числового кольца (или поля) S (в этом случае говорят, что f(x) многочлен над S). Этот многочлен называется приводимым над кольцом (или полем) S, если его можно представить в виде произведения двух многочленов положительной степени с коэффициентами из S. Если указанное представление невозможно, то многочлен называют неприводимым. Например, многочен x2 ¡ 3 приводим над полем R действительных чисел (поскольку x2 ¡ 3 =

19

(x ¡p3)(x + p3)), но неприводим над полем Q рациональных чисел (так как его нельзя представить в виде произведения (ax+b)(cx+d) с рациональными a, b, c и d).

Если многочлен f(x) можно представить в виде произведения трех или более многочленов положительной степени, то он приводим, поскольку его можно представить в виде f(x) = g(x)h(x), где g(x) первый множитель, а h(x) произведение всех остальных сомножителей.

Многочлены нулевой степени (то есть константы), а также нулевой многочлен не относят ни к приводимым ни к неприводимым многочленам.

Предложение 25 Многочен вида ax + b, a 6= 0, неприводим над любым кольцом или полем.

Предложение 26 Пусть многочлен f(x) степени ¸ 2 имеет некоторый корень x0. Тогда f(x) приводим.

Доказательство. По теореме Безу f(x) делится на (x¡x0), то есть найдется многочлен g(x), для которого f(x) = (x ¡ x0)g(x). При этом степени множителей (x ¡ x0) и g(x) положительны.

Предложение 27 Пусть степень многочлена f(x) равна 2 или 3. Тогда f(x) приводим над некоторым полем тогда и только тогда, когда f(x) имеет корень в этом поле.

Доказательство. Если f(x) имеет корень, то он приводим по предыдущему предложению. Пусть теперь f(x) приводим. Тогда f(x) = g(x)h(x) для некоторых многочленов g(x), h(x) положительной степени. При этом хотя бы один

корень g(x). Но тогда f(x0) = g(x0)g(x0) = 0 ¢ h(x0) = 0, то есть x0 корень f(x).

Отметим, что существуют приводимые многочлены (степени ¸ 4), не имеющие корней. Так, например, многочлен f(x) = (x2 +1)(x2 +4) приводим над полем R (а также над полем Q), но не имеет действительных (а тем болеерациональных) корней. Более общий результат: если многочен f(x) можно

20