Distributions

Оглавление

1.1.1Пространство основных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1Дифференцирование обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Замена переменной обобщенной функции . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3Сходимость в пространстве K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4Формула суммирования Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . 11

1.3.1Носитель обобщенной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2Обобщенные решения уравнения xmf (x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4СТЕПЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1Регуляризация степенных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2 Обобщенная функция P x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.3Обобщенные решения уравнения xmf (x) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.4Формулы Сохоцкого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1Классическая свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2Обобщенная свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . 17

1.6.1Обобщенные и классические решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.2Фундаментальные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.3Обобщенная задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.3Спектральное разложение функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2Равенство Парсеваля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3Соотношение неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА . . . . . . . . . . . . 27

2

2.2.3 Пространство S0 обобщенных функций медленного роста . . . . . . . 28

2.3ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Прямое произведение обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.3Фундаментальное решение уравнения теплопроводности . . . . . . . 37

3.2.4Фундаментальное решение уравнения Лапласа в R3 . . . . . . . . . . 37

3.2.5Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в R3 . . . . . . . . 38

4.1КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . . . . . . 39

4.2КРАЕВЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ; КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1Теорема Ковалевской и пример Адамара . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.1Формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.2Единственность внутренней смешанной задачи для волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.3Единственность внутренней смешанной задачи для уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.4Единственность внутренней краевой задачи для уравнения Пуассона 44

4.3.5Единственность внешних краевых задач для уравнения Пуассона . . 45

4.3.6Уравнение Гельмгольца, условия излучения и задача дифракции . . . 45

5.1ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.1Обобщенная задачи Коши для волнового уравнения . . . . . . . . . . . 48

5.1.2Распространение волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.3Функция Грина задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.4Формула Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.5Формулы Кирхгофа и Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.6Задачи Коши для уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . 53

5.2ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.1Метод отражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3

4

ГЛАВА 1

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Необходимость во введении понятий, называемых обобщенными функциями, возникла при попытке дать строгое описание сосредоточенных (в точке, на поверхности, т.д.) объектов, которые являются удобными физическими идеализациями. С другой стороны, обобщенные функции позволяют также с единой точки зрения рассматривать производные гладких и разрывных функций, преобразование Фурье убывающих и растущих функций и др., т.е. в них имеется и чисто математическая потребность. Как мы увидим ниже, по своим свойствам обобщенные функции мало похожи на обычные функции, поэтому за ними закрепился также термин распределения (distributions).

1.1ОСНОВНЫЕ (ПРОБНЫЕ) ФУНКЦИИ; ФУНКЦИОНАЛЫ НАД НИМИ

Обобщенная функция будет определена ниже как функционал, т.е. правило, с определенными свойствами, сопоставления пробная функция 7!число. Начнем с описания класса пробных функций.

1.1.1Пространство основных функций

Определение 1.1. Функции (x), которые непрерывно дифференцируемы любое коли- чество раз, 2 C1( 1; 1), и финитны, т.е. (x) 0 вне некоторого интервала [ a; b ], будем называть основными (пробными). Множество таких функций K назовем основным пространством. Совокупность всех точек, в которых основная функция (x) =6 0, называется ее носителем supp (x).

2 K ) (l) 2 K 8 l ; (iii) 2 K ) h(x) 2 K 8 h(x) 2 C1 (h(x) не обязательно финитная).

Определение 1.2. Последовательность функций n(x) будет называться сходящейся в

K

K, n(x) ! (x), åñëè (1) существует конечный интервал, содержащий носители всех

n!1

функций n(x), è (2) на этом интервале (nl)(x) (l)(x) 8 l. При этом предельная функция с необходимостью принадлежит K.

5

предела в смысле K.

1.1.2Обобщенные функции над пространством K

Определение 1.3. Обобщенными функциями назовем линейные непрерывные (как правило - вещественно-значные) функционалы, заданные на пространстве K. Число, сопоставляемое основной функции (x) функционалом f , обозначаем как (f; ) (и называем действием обобщенной функции f на пробную (x)).

Определение 1.4. Нулевой обобщенной функцией называем такой функционал, значе- ния которого равны нулю на любой пробной функции. Две обобщенные функции равны

K0

(пишем f1 = f2), если значения соответствующих функционалов совпадают на всех пробных функциях (т.е. (f1; ) = (f2; ) 8 2 K).

Важный частный случай:

Определение 1.5. Пусть g(x) - произвольная локально-суммируемая функция (т.е. такая, которую можно под знаком модуля проинтегрировать по любому конечному интервалу; эта функция может иметь разрывы первого рода (скачки), а также слабые степенные, порядка O ((x x0) ), < 1, особенности). Регулярной обобщенной функцией назовем

грирование по всей вещественной оси).

Сходимость написанного интеграла обеспечивается на любом конечном интервале за счет предположений на функцию g(x), а на бесконечности - за счет финитности пробных функций. Линейность и непрерывность выше определенного функционала легко проверяются.

Пример 1.2. Классическая функция Хэвисайда (функция единичного скачка) определя-

Таким образом, пространство обобщенных функций (обозначаемое в дальнейшем через K0) не пусто и по крайней мере содержит регулярные обобщенные функции, которые, на первый взгляд, естественным образом отождествляются с обычными (локально-суммиру- емыми) функциями. Однако это отождествление не полное: действительно, две функции g1(x) è g2(x), отличающиеся своими значениями хотя бы в одной точке, в обычном смысле считаются различными. Однако они порождают одну и ту же обобщенную функцию, поскольку изменение подинтегрального выражения в одной точке не изменяет величины интеграла (в примере 1.2 не важно, какое значение приписывается классической (x) в

Напомним, что: линейность (в вещественном случае) означает (f; c1 1 + c2 2 ) = c1(f; 1 ) + c2(f; 2 );

под непрерывностью (над пространством K) понимается (f; n ) ! 0 для любой последовательности

n!1

K

n ! 0.

n!1

6

нуле). Обобщая, можно сказать, что регулярная обобщенная функция соответствует множеству локально-суммируемых функций, отличающихся на счетном множестве точек.

Из сказанного уже становится ясным принципиальное отличие понятия обобщенной функции от классического понимания функции: мы не можем говорить о значениях обобщенной функции в точках. Однако мы будем часто пользоваться обозначением f (x) для обобщенной функции, смысл которого прояснится ниже (будет также показано, что можно сравнивать обобщенные функции на интервалах).

Упражнение 1.1. Докажите, что если регулярные f1; f2 2 K0, порождаемые непрерывными функциями f1(x); f2(x), совпадают, то f1(x) f2(x).

Разумеется, пространство K0 не исчерпывается регулярными обобщенными функциями. Важный пример -функция Дирака.

Определение 1.6. -функцией называется функционал, определяемый равенством ( ; ) =(0) (линейность и непрерывность которого очевидны).

воречит значению левой части, которая вообще не зависит от ".

Определение 1.7. Линейные непрерывные функционалы, íå являющиеся регулярными обобщенными функциями, называются сингулярными обобщенными функциями.

1.2ДЕЙСТВИЯ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Введем линейные операции над обобщенными функциями.

Определение 1.8. 1) Сложение: (f1 + f2; ) := (f1; ) + (f2; ); 2) Умножение на число:

( f; ) := (f; )

Таким образом, K0 превращается в линейное пространство. Кроме того, обобщенные функции можно умножать на гладкие классические функции:

Определение 1.9. 8 h(x) 2 C1 (hf; ) := (f; h )

(определение корректно, т.к. произведение h(x) (x) тоже является пробной функцией).

R

Однако запись типа (x) (x)dx иногда используется чисто формально; под таким интегралом понимают, в соответствии с определением, число (0).

7

Замечание 1.1. Здесь мы воспользовались следующим наводящим соображением: заметим, что для регулярных обобщенных функций имеет место цепочка равенств

Z Z

(hf; ) = (h(x)f (x)) (x)dx = f (x) (h(x) (x)) dx = (f; h ):

Затем принимаем это равенство по определению для âñåõ обобщенных функций. Подобного рода наводящие соображения лежат в основе всех дальнейших определений операций над обобщенными функциями.

Замечание 1.2. Не удается разумным образом определить произведение обобщенной функции на разрывную и, тем более, произведение обобщенных функций. О возникающих трудностях дает представление следующий пример: ясно, что для любого n следует считать равными n и ; но для такого произведения не могут выполняться обычные

правила дифференцирования.

1.2.1Дифференцирование обобщенных функций

Определение 1.10. Производной обобщенной функции f (коротко: обобщенной производной) назовем функционал f 0, действующий на пробную функцию по следующему правилу: (f 0; ) := (f; 0).

(Восстановите наводящее соображение, приводящее к этому определению!).

Легко проверить корректность определения, т.е. что f 0 является линейным непрерывным функционалом. Таким образом:

Следствие 1.1. Любая обобщенная функция имеет любое количество производных, при- чем: (f (m); ) = (f; ( 1)m (m))

Замечание 1.3. Заметьте, что при определении обобщенной производной функции не использовалось (в отличие от классических производных!) понятие сходимости в пространстве K0 (которое, тем не менее, будет обсуждаться ниже).

Пример 1.4. ( 0; ) = ( ; 0) = 0(0)

Как и положено дифференцированию, оно является линейной операцией (проверьте!). Кроме того, справедливо обычное правило дифференцирования h(x)f :

((hf )0; ) =

=(hf; 0) = (f; h 0) = (f; (h )0) + (f; h0 ) = (f 0; h ) + (f; h0 ) =

=(hf 0 + h0f; );

ò.å. (hf )0 = hf 0 + h0f

K0

Здесь и в дальнейшем вместо = пишем просто =, если это не может привести к недоразумениям.

8

Важный пример:

Утверждение 1.2. 0 =

R1

( 0; ) = ( ; 0) = ( 0)dx = (1) + (0) = (0) = ( ; )

0

Обозначение 1.1. Будем писать g+(x) для (классической) функции g(x), обрезанной

С использованием данного обозначения x0+ = (x), ò.å. = x00+. В действительности имеет место общая теорема (Л.Шварц)

Теорема 1.1. Любая функция из K0 является обобщенной производной (какого-то поряд-

ка) от некоторой регулярной обобщенной функции, порождаемой непрерывной функцией (без доказательства).

Обобщая результат утверждения 1.2, покажем, что:

Утверждение 1.3. Пусть функция f (x) непрерывна и дифференцируема всюду, кроме точки x = 0, где она имеет разрыв первого рода. Тогда обобщенная производная этой функции есть f 0 = f 0(x) + [f ]x=0 , ãäå f 0(x) - классическая производная (определенная

1.2.2Замена переменной обобщенной функции

Как уже отмечалось, говорить о значениях обобщенной функции в отдельных точках бессмысленно. Однако, начиная с данного момента, мы будем для обобщенной функции использовать обозначение f (x) (вместо f ) с тем, чтобы отличать обобщенную функцию f от другой обобщенной функции f (t(x)), которую мы введем следующим образом:

Определение 1.11. Пусть t(x) 2 C1 строго монотонная функция, т.е.существует обратная к ней: y = t(x) x = (y). Тогда под f (t(x)) понимается функционал, действу-

Утверждение (1.3) можно теперь обобщить, считая, что функция имеет конечное или счетное число разрывов первого рода в точках xk . Вклад каждого из этих разрывов в обобщенную производную составит [f (x)]x=xk (x xk ).

Пример 1.6. Пусть [x] означает целую часть числа x. Обобщенная производная этой

P1

функции есть [x]0 = (x n) (вопрос о сходимости ряда из обобщенных функций

n= 1

обсуждается в следующем разделе).

9