Лекция №5
Квантование сигналов по уровню
Постановка задачи.
•Процесс преобразования сигнала с непрерывным множеством значений в сигнал с дискретными значениями называют квантованием по уровню. По существу, операция квантования заключается в округлении значения непрерывной величины до разрешенных значений шкалы квантования в соответствии с принятым правилом.
•Обычно диапазон измеряемой величины, ограниченный значениями umin и umax , разбивают на n равных интервалов (шагов) квантования :
umax umin / n
Постановка задачи квантования
• Из множества мгновенных значений, принадлежащих
|
i |
му шагу квантования |
|
|
|
, только одно значение |
||||||
|
ui |
|
|
|
|
ui 1 u ui |
i |
|
||||
|
является разрешенным ( |
|
й уровень квантования). |
|
||||||||
|
Совокупность величин |
образует дискретную шкалу уровней |
||||||||||
|
квантования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
При выборе |
uiв качестве его значения принимают либо |
||||||||||
|
верхнюю границу интервала квантования, либо нижнюю, либо |
|||||||||||
|
середину интервала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
В результате возникает методическая погрешность квантования, |
|||||||||||
|
характеризуемая либо ее максимальным значением |
|
||||||||||
|
|
, либо среднеквадратичным отклонением |
для всего |
|||||||||
|
|
|
max |
|
max |
u u |
|
значений сигнала. |
|
|||
|
диапазона измененияm |
|
i |
мгновенныхi |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность квантования
•С позиций минимизации наибольшей возможной ошибки
квантования непрерывную шкалу мгновенных значений сигнала целесообразно разбить на n шагов квантования и уровни квантования разместить в середине каждого шага.
•Из анализа статической передаточной характеристики
такого преобразования, следует, что максимальная погрешность квантования m равна 
2.
• Если уровень квантования выбрать равным верхней или нижней границе интервала квантования, то максимальная
ошибка квантования возрастет до величины, равной .
Погрешность квантования
• Оценим величину среднеквадратической погрешности |
|
|||||
квантования при следующих условиях: во-первых, |
|
|||||
возможные значения измеряемого сигнала распределены |
||||||
равномерно, во-вторых, измеряемая величина и случайная |
||||||
погрешность независимы. |
|
umax umin ? , закон |
|
|||
Доказано, что при условии |
u |
|||||
распределения погрешности квантования не зависит от |
||||||
и близок к равномерному, т.е. плотность вероятности |
|
|||||
погрешности характеризуется постоянной величиной |
|
|||||
p( ) 1 . |
|
|
|
i м интервале может |
|
|
Погрешность квантования на |
|
|||||
быть оценена дисперсией и соответствующим |
|
|||||
среднеквадратическим отклонением: |
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
Di i2 |
|
2 p( )d |
|
|||
12 |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
Погрешность квантования
•Дисперсия полной ошибки квантования для всей непрерывной шкалы мгновенных значений сигнала может быть определена как математическое ожидание дисперсий
Di i 
12 на отдельных шагах квантования:
n |
2 |
n |
D i2 |
12 |
p(ui ) , |
i 1 |
i 1 |
где величина p(ui ) характеризует вероятность попадания
мгновенного значения сигнала в пределы данного шага.
n
• Так как p(ui ) 1, то величина дисперсии погрешности
i 1
будет равна:
D 2 2 
12
Погрешность квантования
•Таким образом, при квантовании с постоянным шагом и размещении уровней квантования в середине шага (равномерное
квантование) среднеквадратическая погрешность квантования связана с интервалом квантования соотношением:
|
|
или |
2 |
3 |
2 3 |
Шум квантования
•При квантовании сигнала по уровню реализация, представляющая собой случайный процесс u(t) , заменяется ступенчатой зависимостью u (t).
Изменяющуюся во времени погрешность квантования, также представляющую собой случайный процесс, называют шумом квантования:
(t) u(t) u (t)
•Сохраняя ранее введенные предположения (о малости шага квантования и равномерности распределения в
нем мгновенных значений сигнала) и считая случайные процессы u(t) и (t) эргодическими,
среднеквадратическую ошибку равномерного квантования можно определить по реализации 1 (t) .
Шум квантования
• В пределах каждого шага квантования зависимость
можно заменить прямой t tg , где переменный угол наклона прямой. При размещении уровней квантования в середине каждого шага математическое ожидание погрешности квантования равно нулю, а ее среднеквадратическое значение определяется из
дисперсии погрешности: |
|
|
|
|
||||
|
1 |
T 2 |
|
|
1 |
T 2 |
|
2 |
D |
|
|
(t tg )2 dt |
|
|
|
(t )2 dt |
|
|
|
|
||||||
|
T |
T 2 |
T |
T 2 |
T |
12 |
||
исоответствует ранее полученному значению:
2 3
Квантование сигналов при наличии помех
•В реальных условиях на квантуемый сигнал всегда воздействует помеха. Выберем интервал квантования с учетом вероятностных характеристик этой помехи и условия ее аддитивности с u ,сигналом. Очевидно, что мгновенное значение сигнала
попадавшее ранее в |
i й шаг квантования и |
|
|||||
сопоставлявшееся с уровнем квантования |
|
ui , в результате |
|||||
действия помехи примет значение ( |
u |
|
) и может быть |
uk . |
|||
поставлено в соответствие другому уровню квантования |
|||||||
Такой исход приводит к искажению информации и вероятность |
|||||||
его не должна превышать допустимого значения. |
|
||||||
• Обозначим через pi (k) |
условную вероятность сопоставления |
||||||
значения сигнала уровню квантования |
uk |
вместо уровня uiпри |
|||||
условии, что сигнал принадлежит |
i |
му шагу квантования. |
|||||
Очевидно, что при наличии помехи условная вероятность |
|
||||||
ошибочного решения |
pi (k) |
>0, а |
p (i) |
<0. |
|
||
|
i |
|
|
||||
Квантование сигналов при наличии помех
• Полная вероятность того, что величина ( u ) останется в
пределах i го шага квантования, равна:
ui
Pi pi (i) p(u)du
ui 1
• Эту вероятность можно также найти, используя совместную плотность вероятности p(u, ) двух случайных величин u и :
Pi p(u, )dud ,
S
где S |
некоторая область интегрирования, границы |
которой |
найдем, исходя из рисунка на след. слайде |