Лекция № 11
Дискретное преобразование Фурье
•Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к классу основных преобразований при цифровой обработке сигналов. Дискретное преобразование Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми методами, лежит в основе различных технологий спектрального анализа.
•Моделью последовательности из N дискретных отсчетов x(k) является сигнал из смещенных по
времени дельта-функций:
x(t) x(k) (t kT )
k
Дискретное преобразование Фурье
• Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом T1 NT |
|
Дискретный периодический сигнал можно представить |
|
рядом Фурье: |
|
|
|
xдп (t) c(n)e |
jn 1t |
|
|
•Коэффициенты c(n) этого ряда находят согласно формуле:
|
|
|
1 |
NT |
|
1 |
NT n 1 |
|||
c(n) |
0 |
x(t)e jn 1t dt |
0 |
x(k) (t kT )e jn 1t dt |
||||||
|
NT |
NT |
||||||||
|
|
|
|
|
k 0 |
|||||
|
1 |
|
N 1 |
|
NT |
|
|
|
||
|
|
x(k) (t kT )e jn 1t dt. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
NT k 0 |
|
0 |
|
|
|
||||
Дискретное преобразование Фурье
• Переходя к новой переменной t t
T, получим:
|
1 |
N 1 |
|
|
N |
|
|
|
1 |
N 1 |
|
|||||
c(n) |
x(k) |
(t k)e jn 1Tt dt |
|
x(k)e jn 1kT |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
N k 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
N k 0 |
|
||||
• Так как |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
, окончательно имеем: |
|
||||||||
T1 |
|
NT |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 N 1 |
|
j |
2 nk |
|
(11.1) |
||||||
c(n) |
|
|
|
x(k )e |
|
|
N |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
N k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 0,1,2,...,(N 1).
Дискретное преобразование Фурье
•Соотношение, позволяющее вычислить комплексные амплитуды гармоник дискретного сигнала, представляет собой линейную комбинацию отсчетов этого сигнала. Его называют прямым дискретным
преобразованием Фурье (ДПФ).
•Наряду с прямым ДПФ существует обратное дискретное преобразование Фурье:
N 1 |
2 |
kn , k 0,1,...,(N 1). |
|
x(k) c(n)e j |
N |
||
n 0 |
|
|
1N в выражении ДПФ |
• Замечание. В размещении множителя |
|||
нет полного единства. В некоторых источниках этот множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из формулы для прямого ДПФ.
Свойства дискретного преобразования Фурье
•Линейность.
|
Дискретное преобразование Фурье – линейное преобразование, |
|||||||||
|
то есть если последовательностям |
и |
x(k) |
|||||||
|
y(k) |
с одним и тем же периодом |
|
соответствуют наборы |
|
|||||
|
|
и |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
гармоник |
c1 |
|
, то последовательности |
|
|||||
|
|
|
|
(n) |
c2 |
(n) |
|
. |
||
|
|
будет соответствовать спектр |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
ax(k ) by(k ) |
|
|||
Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором выполняется |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ac1 |
(n) bc2 |
(n) |
|
|
|
ДПФ, представляет собой систему дискретных |
|
||||||||
|
экспоненциальных функций (ДЭФ), заданную на дискретной |
|
||||||||
|
временной оси |
|
отсчетами: |
|
|
|
|
|||
N
eN (k, n) exp( j 2N kn); k, n 0,1,..., N 1.
Свойства дискретного преобразования Фурье
•Симметрия.
Свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного сигнала, сохраняется и для спектра дискретного периодического сигнала. Если отсчеты вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно N
2 образуют сопряженные пары:
–
,
|
1 |
N 1 |
2 |
|
|
1 |
N 1 |
2 |
|
c(N n) |
x(k)e j |
N |
k ( N n) |
|
x(k)e j |
N |
kn c (n) |
||
|
|
|
|||||||
|
N k 0 |
|
|
|
N k 0 |
|
|
||
Из формулы следует, что спектр является сопряжено симметричным относительно N
2, то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал.
Свойства дискретного преобразования Фурье
•Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая) представляет собой среднее значение всех
отсчетов сигнала на одном периоде:
|
|
|
1 |
N 1 |
|||
с(0) |
x(k ) c(N ) |
||||||
|
|
||||||
|
|
|
N k 0 |
||||
• Если N четное число, то |
|||||||
|
|
|
|
1 |
N 1 |
||
c(N |
2 |
) |
x(k)( 1)k |
||||
|
|||||||
|
|
|
N k 0 |
||||
и амплитуда гармоники с номером N
2 определяется
суммой отсчетов с чередующимися знаками: c(N 2) N1 x(0) x(1) ... x(N 2) x(N 1)
Свойства дискретного преобразования Фурье
•ДПФ круговой свертки.
|
x (k) |
|
|
x (k) |
|
|
Возьмем две последовательности 1 |
|
и |
|
|
одинаковой |
|
c2 |
длины N , ДПФ которых соответственно равны c1(n) и |
|||||
(n) . Вычислим их круговую свертку по одному периоду: |
||||||
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
y(n) x1 (m)x2 (n m) |
|
|
|
||
m 0
Найдем N точечное ДПФ этой свертки:
|
1 |
N 1 |
|
j |
2 nk |
1 |
N 1 N 1 |
|
|
j 2 nk |
s(k) |
|
|
y(n)e |
|
N |
|
|
x (m)x |
(n m) e N |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
N n 0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
N n 0 m 0 |
|
|
|
|||
|
1 |
N 1 x (m) |
N 1 x |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
N m 0 |
|
n 0 |
|
k 0, 1,..., N 1.
(n m)e |
j |
2 k (n m) |
j |
2 km |
|
N e |
|
N c (k)c (k), |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
(11.2)
Свойства дискретного преобразования Фурье
Таким образом, круговой свертке дискретизированных и заданных на одном временном промежутке сигналов соответствует перемножение их спектров.
Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью ДПФ осуществляется по следующему алгоритму:
•вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле (11.1);
•перемножение коэффициентов полученных ДПФ согласно (11.2);
• вычисление сигнала y(n) с помощью обратного ДПФ |
|
полученной последовательности |
s(k) |
. |
|
Свойства дискретного преобразования Фурье
•Равенство Парсеваля для дискретных сигналов.
Определим значение |
N 1 |
|
c(n), |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
используя формулу |
|||||||||||||||
ДПФ: |
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
N 1 |
|
c(n) |
|
2 |
N 1 |
1 |
N 1 x(k)e%(k,n) |
1 |
N 1 x%(m)e |
|
(m,n) |
|
||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||||||
n 0 |
n 0 |
N k 0 |
|
|
|
N m 0 |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
N 1 N 1 x(k)x%(m) |
1 |
N 1 e%(k,n)e |
|
(m,n) |
|
1 |
N 1 |
x(k) |
|
2. |
||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
N |
|
|||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||||
|
N k 0 m 0 |
N n 0 |
|
|
|
|
N k 0 |
|
|
|
||||
Таким образом, мощность сигнала на отсчетах равна
N
сумме мощностей его частотных компонентов.